扭Yangian代數Y(o2)的Verma模

摘要： 考慮扭Yangian代數Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約的充分必要條件. 如果M（μ（u））的權由某個有理函數決定， 則通過構造法可得到M（μ（u））的一個真子模， 進而證明M（μ（u））可約; 若M（μ（u））可約， 則可得到一個關于u的有理函數， 從而給出了M（μ（u））可約的必要條件為該有理函數是在u=∞處的Laurent展開.

關鍵詞： 扭Yangian代數; Verma模; 可約性

中圖分類號： O152.5""文獻標志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1285-06

Verma Modules of Twisted Yangian Y（o2）

GE Wanli， TAN Yilan， XU Senrong

（School of Mathematical Sciences， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， Jiangsu Province， China）

Abstract： We considered necessary and sufficient conditions for the Verma modules M（μ（u）） of twisted Yangian Y（o2）

to be reducible. If the weight of M（μ（u）） was determined by a certain rational function， "we could obtain a proper submodule of

M（μ（u）） through construction method， thus proving "that M（μ（u）） was reducible. If M（μ（u）） was reducible， we could obtain a rational function associated with u，

thus "we gave a necessary condition for M（μ（u）） to be reducible was that the rational function was a Laurent expansion at u=∞.

Keywords： twisted Yangian; Verma module; reducibility

0"引"言

設gN是復數域上的正交李代數oN或辛李代數spN（N∈ N且N≥2）. 目前在有界可積系統的研究中， Yangian代數Y（glN）的余理想子代數Y（gN）受到廣泛關注^［1-4］. 文獻［5-8］研究了該代數的有限維不可約模， 文獻［9-11］討論了它的無限維非最高權且非最低權的權模.

Y（gN）的有限維不可約模由一系列Drinfeld多項式唯一決定. Y（gN）存在有限維不可約模的必要條件是其所對應的Verma模可約. 文獻［12］給出了Y（sp2）的Verma模M（μ（u））可約的充分必要條件， 即M（μ（u））可約當且僅當

2μ（u）μ（u）+μ（-u）=P（u）Q（u2），（1）

其中P（u）和Q（u）是首1多項式， 且deg（P（u））=2deg（Q（u））.

本文考慮Y（o2）的Verma模， 并證明了如下結果.

定理1"設μ（u）=1+μ^（1）u^-1+μ^（2）u^-2+…是一個關于u^-1的形式冪級數， 則Y（o2）的

Verma模M（μ（u））可約的充分必要條件為4uμ（u）（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u）是一個關于u的有理函數在u=∞處的Laurent展開， 即

4uμ（u）（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u）=P（u）Q（u），（2）

其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項式.

推論1"Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約當且

僅當μ（-u）μ（u）=S（u）T（u）， 其中S（u）和T（u）是同次的首1多項式.

1"預備知識

扭Yang代數Y（o2）是由一族生成元{e^（2i+2），h^（i），f^（2i+2）i∈N}生成的結合代數， 其滿足如下生成關系：

［e^（i），e^（j）］=0，""［f^（i），f^（j）］=0，（3）

［h^（i），h^（j）］=-∑ja=1（h^（i+a-1）h^（j-a）-h^（j-a）h^（i+a-1））+∑jb=1（-1）b（f^（i+

^b-1）e^（j-b）-f^（j-b）e^（i+b-1））-∑［j/2］c=1（f^i+2c-2）e^（j-2c）-f^（j-2c）e^（i+2c-2）），

［e^（i），f^（j）］=-∑j-1a=1（h^{（i+j-1-a）}h^（a）1-h^（a）h^{（i+j-1-a）}1）+∑j-1b=1（-1）b（h^{（i+j-1-b）}1h^（b）1-h^（

^b）h^{（i+j-1-b）}）-∑［j/2］c=1（h^（i+j-2c）h^（2c-2）1-h^（2c-2）h^（i+j-2c）1）-4h^（i+j-1），（4）

［h^（i），f^（j）］=-∑ja=1（h^（i+j-a）f^（a-1）-h^（a-1）f^（i+j-a））

+∑jb=1（-1）b（f^（i+j-b）h^（b-1）1-f^（b-1）h^（i+j-b））

-∑［j/2］c=1（f^（i+j-2c）h^（2c-2）1-f^（2c-2）h^（i+j-2c）1），（5）

［e^（i），h^（j）］=-∑ja=1（h^（i+a-1）e^（j-a）-h^（j-a）e^（i+a-1））

+∑jb=1（-1）b（h^（i+b-1）1e^（j-b）-h^（j-b）e^（i+b-1））-

∑［j/2］c=1（h^（i+2c-2）e^（j-2c）-h^（j-2c）e^（i+2c-2）），

其中h^（0）=h^（0）1=1， e^（0）=f^（0）=0， 且對任意的r∈N， 均有e^（2r+1）=f^（2r+1）=0， h^（2r+1）1=-h^（2r+1）， h^（2r+2）1=h^（2r+2）+h^（2r+1）.

命題1^［5］"設

x（u）∈{e（u）=e^（1）u+e^（2）u2+…， h（u）=1+h^（1）u+h^（2）u2+…， f（u）=f^（1）u+f^（2）u2+…}，

形式冪級數g（u）=1+g^（2）u^-2+g^（4）u^-4+…， 則映射

νg： x（u）g（u）x（u）（6）

定義了Y（o2）的一個自同構.

設μ（u）=1+μ^（1）u^-1+μ^（2）u^-2+…是一個關于u^-1的形式冪級數. Y（o2）的Verma模為Y（o2）商去所有e^（i）和h^（i）-μ^（i）生成的左理想， Y（o2）的Verma模M（μ（u））是最高權模， 其中最高權為μ（u）， 最高權向量是Y（o2）中的元素1在商中的像， 記為1μ（u）. 形如

f^（r1）…f^（rk）1μ（u）（7）

的有序向量構成了M（μ（u）） 的一組基， 這里k≥0.

2"定理1必要性的證明

引理1^［13］"設復系數形式冪級數μ（u）=1+μ^（1）u^-1+μ^（2）u^-2+…. 如果存在一個正整數N和一組不全為零的復數c0，c1，…，cm， 使形式冪級數μ（u）的系數u^（r）， 對任意的r≥N， 均滿足

c0μ^（r）+c1μ^（r+1）+…+cmμ^（r+m）=0，（8）

則μ（u）是一個形如P（u）Q（u）的有理函數在u=∞處的Laurent展開， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項式.

命題2"如果Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約， 則式（2）成立， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項式.

證明： 設g（u）=4u（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u），

且ν（u）=g（u）μ（u）. 易見g（u）=g（-u）， 且常數項為1. 根據自同構（6）可知， M（μ（u））和M（ν（u））=M（g（u）μ（u））具有相同的可約性. 即研究M（μ（u））的可約性等價于研究M（ν（u））的可約性.

設K是M（ν（u））的非平凡子模. 下面分5步證明.

1） K繼承M（ν（u））的權空間分解.

如果將M（ν（u））視為一個o2-模， 其中o2=spanC{h^（1）}， 則可得它的一個權空間分解M（ν（u））= νM（ν（u））ν，其中M（ν（u））ν={η∈M（ν（u））h^（1）η=νη}. 事實上， 它的權ν形如ν^（1）+2k， 其中k是一個非負整數. 根據［h^（1），f^（r）］=2f^（r）可知， 單項式（7）對某個確定的k構成了M（ν（u））ν的一組基， 其中ν=ν^（1）+2k. 如果K是M（ν（u））的一個非平凡子模， 則可得K的權空間分解

K= νKν，""Kν=K∩M（ν（u））ν，（9）

這是因為

K=K∩M（ν（u））=K∩（νM（ν（u））ν）= ν（K∩M（ν（u））ν）.

對于權ν=ν^（1）+2k， 可以選定最小整數k使得Kν≠{0}. 顯然k≥1， 否則1ν（u）∈K. 因為Kν≠{0}， 所以存在非零向量

ζ=∑rcrf^（r1）…f^（rk）1ν（u）∈Kν，""cr∈C，（10）

其中k元數組r=（r1，…，rk）， 1≤r1≤…≤rk， 并滿足 maxr{r1+…+rk}存在.

2） e^（t）ζ=0.

對任意的非零向量ξ∈Kν， 均有e^（t）ξ=0. 否則， 有

h^（1）e^（t）ξ=［h^（1），e^（t）］ξ+e^（t）h^（1）ξ=（ν-2）e^（t）ξ ，

表明非零向量e^（t）ξ∈Kν-2={0}， 從而有e^（t）ζ=0.

3） e^（t）ζ=∑rdrf^（r1）…f^（rk-1）1ν（u）.

注意到e^（t）f^（r1）…f^（rk）1ν（u）=∑ki=1f^（r1）…f^（ri-1）［e^（t），f^（ri）］f^（ri+1）…f^（rk）1ν（u）.（11）

根據式（4）以及定義關系h^（2r-1）1=-h^（2r-1）和h^（2r）1=h^（2r）+h^（2r-1）， 可將［e^（t），f^（ri）］寫成一些h^（r′）h^（t′）和的形式;

再利用式（5）， 又可將h^（t′）f^（m）=［h^（t′），f^（m）］+f^（m）h^（t′）寫成一些f^（r″）h^（t″）和的形式.

因此， 將式（11）右端適當整理后， 可寫成一些單項式f^（r1）…f^（rk-1）1ν（u）線性組合的形式.

設N=maxr{r1+…+rk}， 且式（10）中f^（m1）…f^（mk）1ν（u）的系數cm≠0， 其中m1≤…≤mk， 且m1+…+mk=N. 本文考慮t≥N的情形.

4） 當t≥N時， e^（t）ζ展開項中f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數dm=a0ν^（t）+a1ν^（t+1）+…+aN-k

ν^（t+N-k）=0， 其中a0，a1，…，aN-k是一些常值復數.

利用式（4）和式（5）， 再結合定義關系h^（2r-1）1=-h^（2r-1）和h^（2r）1=h^（2r）+h^（2r-1）計算e^（t）ζ，

可得單項式f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數dm. 注意到m1+…+mk-1≤N-1， 且1≤mk≤N-k+1， 所以易見dm是ν^（t），ν^（t+1），…，ν^（t+N-k）的線性組合， 即dm=a0ν^（t）+a1ν^（t+1）+…+aN-kν^（t+N-k）. 根據2）和3）可知， dm=0， 即有a0ν^（t）+a1ν^（t+1）+…+aN-kν^（t+N-k）=0.

事實上， 每個ν^（t+i）的系數ai都是復系數cr的線性組合， 每個cr的系數又是1，ν^（1），ν^（2），

…，ν^（N-k）的線性組合. 當t≥N時， ai的計算方式完全相同， 且與t的取值無關， 即a0，a1，…，aN-k是一些常值復數.

5） ν^（t+mk-1）的系數amk-1≠0.

通過計算e^（t）ζ展開項中單項式f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數dm可知， ν^（t+mk-1）的系數amk-1僅由cme^（t）f^（m1）…f^（mk）1ν（u）提供. 事實上， 這是因為e^（t）f^（r1）…f^（rk）1ν（u）按照式（11）展開， 當r1+…+rklt;N時， 無法提供ν^（t+mk-1）f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）這一項； 當r1+…+rk=N時， 計算f^（m

^1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數， 即e^（t）ζ=∑rcre^（t）f^（r1）…f^（rk）1ν（u）

=∑rcr∑ki=1f^（r1）…f^（ri-1）［e^（t），f^（ri）］f^（ri+1）…f^（rk

^）1ν（u）=∑rcr∑ki=1f^（r1）…f

^（ri-1）f^（ri+1）…f^（rk）［e^（t），f^（ri）］1ν（u）=

∑r-4cr∑ki=1f^（r1）…f^（ri-1）f^（ri+1）…f^（rk）h^（t+ri-1）

1ν（u）=∑r-4cr∑ki=1ν^（t+ri-1）f^（r1）…f^（ri-1）f^（ri+1）…f^（rk）1ν（u）=-4mcmν^（t+mk-1）f^（m1）…f^（mk-1），其中m是指標1≤j≤k時mj=mk的個數， 顯然m≥1; 這里“=”右端表示可能參與組成系數amk-1的項. 因此， 當m1，…，mk-1確定時， 可得amk-1=-4cm≠0. 根據引理1可知ν（u）是有理函數P（u）Q（u）在u=∞處的Laurent展開， 即式（2）成立， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項式.

3"定理1充分性的證明

命題3"如果式（2）成立， 則Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項式.

證明： 設deg（P（u））=deg（Q（u））=p， 下面分4步證明.

1） 假設Y（o2）的Verma模M（μ（u））的權μ（u）是關于u^-1的次數不超過2p的多項式.

設ν（u）=（-1）p4uQ（u）Q（-u）u^-2p（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u），

易見ν（u）=ν（-u）且常數項為1， 即ν（u）=1+ν^（2）u^-2+ν^（4）u^-4+…. 對于Y（o2）的Verma模M（μ（u））， 利用自同構（6）， 可得一個Y（o2） 的模， 且這個模與Y（o2）的Verma模M（ν（u）μ（u））具有相同的可約性， 其中ν（u）μ（u）=（-1）pP（u）Q（-u）u^-2p是一個關于u^-1的次數不超過2p的多項式.

因此， 研究M（μ（u））的可約性即等價于研究M（ν（u）μ（u））的可約性. 不失一般性， 假設μ（u）是一個關于u^-1的次數不超過2p的多項式， 可見對任意正整數mgt;2p， 均有h^（m）1μ（u）=h^（m）11μ（u）=0.

注意到Verma模M（μ（u））由向量f^（r1）…f^（rk）1μ（u）線性張成， 且如有必要可對f^（ri）進行任意排序， 所以本文假設r1≤…

≤rk. 設M（μ（u））的子空間K=spanC{f^（r1）…f^（rk）1μ（u）rkgt;2p}， 根據Y（o2）的定義關系可知， 對任意的正整數r恒有e^（2r-1）=f^（2r-1）=0， 所以這里的ri全部取偶數即可. 下面的證明默認ri是偶數且rkgt;2p.

2） h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

使用數學歸納法證明， 設k=1. 定義關系（5）等價于

［f^（r1），h^（t）］=-∑ta=1（f^（r1+a-1）h^（t-a）-f^（t-a）h^（r1+a

^-1））+∑tb=1（-1）b（f^（r1+b-1）h^（t-b）-f^（t-b）h^（r1+b-1）1）

-∑［t/2］c=1（f^{（r1+2c-2）}h^（t-2c）-f^（t-2c）h^{（r1+2c-2）}）.（12）

因為對任意的正整數mgt;2p， 均有h^（m）1μ（u）=h^（m）11μ（u）=0， 所以

［f^（r1），h^（t）］1μ（u）=-∑ta=1（f^（r1+a-1）h^（t-a）1μ（u）-f

（t-a）h^（r1+a-1）1μ（u））+∑tb=1（-1）b（f^（r1+b-1）h^（t-b）1μ（u）-f^（t-b）h1^（r1+b-1）1μ（u））-∑［t/2］c=1（f^{（r1+2c-2）}h^（t-2c）1μ（u）-f^（t-2c）h^{（r1+2c-2）}1μ（u））=-∑ta=1μ^（t-a）f^（r1+a-1）1

μ（u）+∑tb=1（-1）bμ^（t-b）f^（r1+b-1）1

μ（u）-∑［t/2］c=1μ^（t-2c）f^{（r1+2c-2）}1μ（u）.

因此［f^（r1），h^（t）］1μ（u）∈K. 又因為f^（r1）h^（t）1μ（u）=μ^（t）f^（r1）∈K， 所以h^（t）f

^（r1）1μ（u）∈K.

假設h^（t）f^（r1）…f^（rk-1）1μ（u）∈K. 下面證明h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K. 計算可得

h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）=-［f^（r1），h^（t）］f^（r2）…f^（rk）1μ（u

）+f^（r1）h^（t）f^（r2）…f^（rk）1μ（u）.

根據誘導假設可知， 對任意的正整數r， 均有f^（r）h^（t）f^（r2）…f^（rk）1μ（u）∈K. 由定義關系h^（2r-1）1=-h^（2r-1

^）， h^（2r）1=h^（2r）+h^（2r-1）以及式（12）可知［f^（r1），h^（t）］f^（r2）…f^（rk）1μ（u）∈K. 因此， 由數學歸納法可知h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

3） e^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

根據定義關系（4）， 可得［e^（t），f^（r）］1μ（u）=-∑r-1a=1（h^{（r+t-1-a）}h^（a）11μ（u）-h^（a）h^{（r+t-1-a）}11μ（u））+∑r-1b=1（-1）b（h1^{（r+t-1-b）}h^（b）11μ（u）-h^（b）h^{（r+t-1-b）}1μ（u））-∑［r/2］c=1（h^（r+t-2c）h^（2c-2）11μ（u）-h^（2c-2）h^（r+t-2c）1μ（u））-4h^（r+t-1）1μ（u）.

與2）類似， 利用數學歸納法， 可以證明e^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

4） K是M（μ（u））的非平凡子模.

易見子空間K的生成元在Y（o2）的作用下是穩定的. 事實上， 易知f^（t）對K的作用是穩定的； 由2）和3）可知， K在h^（t）

和e^（t）下的作用也是穩定的. 又因為K是M（μ（u））的非平凡子空間， 所以可知K是M（μ（u））的非平凡子模.

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（責任編輯： 李"琦）