Schr?dinger代數的局部自同構

摘要： 用李代數和線性代數的理論和方法研究Schr?dinger代數的局部自同構問題， 結合特殊線性李代數的局部自同構結果和Schr?dinger代數的自同構形式， 刻畫Schr?dinger代數的局部自同構.

關鍵詞： Schr?dinger代數； 局部自同構； 李代數； 自同構

中圖分類號： O152.5""文獻標志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1291-05

Local Automorphisms of Schr?dinger Algebra

SHENG Yuqiu

（College of Mathematical Sciences， Bohai University， Jinzhou 121013， Liaoning Province， China）

Abstract： Using the theories and methods of Lie algebra and linear algebra， the author studied local automorphism problem of Schr?dinger algebra. Combining

the results of local automorphisms of special linear Lie algebra and the forms of automorphisms of Schr?dinger algebra， the author characterized local automorphis

ms of Schr?dinger algebra.

Keywords： Schr?dinger algebra； local automorphism； Lie algebra； automorphism

1"引言與預備知識

自同構是研究代數結構的重要課題之一. 局部自同構^［1］主要考察其是否是自同構. 目前， 關于各種代數上的局部自同構問題研究備受關注， 研究對象也從結合代數擴展到非結合代數. Larson等^［1］證明了無限維Banach空間的所有緊算子構成的代數的局部自同構都是自同構， 復數域上的n階矩陣代數的局部自同構是自同構或反自同構; Costantini^［2］證明了有限維單李代數的局部自同構都是自同構; Becker等^［3］證明了復數域上n階特殊線性李代數的局部自同構都是自同構或反自同構. Schr?dinger代數是Schr?dinger群的李代數， 而Schr?dinger群可以描述自由粒子Schr?dinger的對稱性， 在量子力學和數學物理中有重要作用^［4］. Schr?dinger代數S是一個六維的非半單李代數， 具有基{h，e，f，g，l，z}， 其非零李積如下：

［h，e］=2e，"［h，f］=-2f，"［e，f］=h，

［h，g］=g，"［h，l］=-l，"［e，l］

=g，"［f，g］=l，"［g，l］=z.

Ballesteros等^［5］研究了Schr?dinger上的李雙代數結構; Yang等^［6］刻畫了Schr?dinger代數的導子和雙導子; 王鵬等^［7］證明了Schr?dinger代數的局部導子都是導子; Jiang等^［8］證明了Schr?dinger-Virasoro的2-局部導子都是導子; Lei等^［9］給出了n次Schr?dinger代數上的導子代數和自同構群. 本文在上述研究的基礎上用矩陣方法刻畫Schr?dinger代數的局部自同構.

本文中所有的矩陣、 線性空間和代數都在復數域上， GL2和SL2分別表示2階一般線性群和2階特殊線性群， Mn表示n階全矩陣空間， PSL2表示2階射影特殊線性群， 即SL2對其中心的商群， sl2表示所有跡為0的2階方陣構成的2階特殊線性李代數. Schr?dinger代數是sl2與三維Heisenberg李代數η1=Span{g，l，z}的半直積. 對于方陣A， 用A表示A

的行列式， 用AT表示A的轉置矩陣， I表示單位矩陣， Eij表示（i，j）處元素為1、 其余元素都為0的矩陣單位， ei表示第i個分量為1、 其余分量都為0的單位向量. 特殊正交群SO3={A∈M3ATA=I且A=1}. 對于方陣A和B， AB表示準對角陣AB.

定義1^［3］"設σ是李代數L的一個可逆線性變換， 若對任意的x，y∈L都有σ（［x，y］）=［σ（x），σ（y）］， 則稱σ是李代數L的一個自同構.

定義2^［3］"設σ是李代數L的一個線性變換， 若對任意的x∈L都有李代數L的一個自同構σx， 使得σ（x）=σx（x）， 則稱σ是李代數L的一個局部自同構.

記L所有自同構和所有局部自同構的集合分別為Aut（L）和LAut（L）. Aut（L）可以成為一個乘法群， 當L為有限維時， LAut（L）也可成為一個乘法群. 顯然h=E11-E22， e=E12， f=E21是sl2的一組基. 令u1=1201-10，"u2=12-10110，"u3=12-1100-1，則{u1，u2，u3}也是sl2的一組基， 且有以下結論.

引理1^［10］"設σ是sl2的一個可逆線性變換， 且σ在基{u1，u2，u3}下的矩陣為A， 則σ是sl2的一個李代數自同構當且僅當A∈SO3.

引理1給出了李代數sl2的自同構的矩陣形式， Jacobson^［11］給出了sl2的自同構的映射形式， Becker等^［3］給出了sl2的局部自同構的映射形式.

引理2^［11］"設σ是sl2的一個線性變換， 則σ是sl2的一個李代數自同構當且僅當存在P∈GL2， 使得σ（X）=P^-1XP， X∈sl2.

引理3^［3］"σ∈LAut（sl2）當且僅當存在P∈GL

2， 使得σ（X）=P^-1XP（X∈sl2）或σ（X）=P^-1XTP（X∈sl2）.對任意的B=（bij）2×2∈GL2， 記

NB=B^-1b11b22+b12b21-b11b21b12b22-2b11b12b211-b2122b21b22-b221b222.

記Δ為李代數sl2的所有自同構在基{h，e，f}下的矩陣構成的乘法群. 由引理2經過直接計算可得：

推論1"Δ={NBB=（bij）2×2∈GL2}={NBB=（bij）2×2∈SL2}.

命題1"ΔSO3Aut（sl2）PSL2.

證明： 由引理1知只需證明Aut（sl2）PSL2. 對任意的P∈SL2， 定義σP（X）=P^-1XP， X∈sl2. 由引理2知Aut（sl2）={σPP∈SL2}.

定義f： Aut（sl2）→PSL2; σP→^-1. 設σP，σL∈Aut（sl2）， 若σP=σL， 則X∈sl2， P^-1XP=L^-1XL

， 故LP^-1在SL2的中心內， 從而=， f的定義合理. 顯然， f是滿

射. 若f（σL）=f（σP）， 則^-1=

^-1， 故PL^-1在SL2的中心內， 即P=±L.

于是σP=σL， f是單射. 又

f（σLσP）=σPL=^-1=

^-1-1=f（σL）f（σP），

因此f是同構映射.

下面所討論的Schr?dinger代數S的所有線性變換的矩陣都是在基{h，e，f，

g，l，z}下的. 記Γ為S的所有李代數自同構的矩陣構成的乘法群.

引理4^［9］"Γ={M（B，x，y）B∈GL2， x，y是復數}， 其中

M（B，x，y）=NBBC（x，y）BBα（x，y

）Bβ（x，y）B，""C（x，y）=xy0-y0x，

α（x，y）=xyy22-x22，""β（x，y）=y-x.

由引理4和推論1易知下列結論成立.

引理5"1） 若A*****∈Γ， 則A∈Δ；

2） 若A∈Δ， 則存在B∈GL2， 使得ABB∈Γ.

2"主要結果

定理1"設σ∈LAut（S）， 則σ∈Aut（S）或-σ∈Aut（S）.

證明： 設T是σ的矩陣. 由局部自同構的定義知， 對任意的六維向量Y， 存在由Y確定的TY∈Γ， 使得

TY=TYY.（1）

由引理4， 將Y=ei（i=4，5，6）分別代入式（1）可得

T=ACBαβc，"A∈M3，"B∈M2.（2）

若T不可逆， 則存在非零向量Z使得0=TZ=T

ZZ， 與TZ可逆矛盾， 故T可逆， 從而方陣A和B

都是可逆的. 對任意的三維向量X， 由式（1），（2）和引理5可知， 存在AX

∈Δ， 使得AX=AXX， 即σsl2是sl2的一個局

部自同構. 由引理3知， 存在P∈SL2， 使得σ（Z）=P^-1ZP（Z∈sl2）或σ（Z）=P^-1ZTP（Z∈sl2）.

情形1） σ（Z）=P^-1ZTP， Z∈sl2.

此時， -σ∈Aut（sl2）， 故-A∈Δ. 由引理5可知， 存在D∈GL2， 使得T1=-ADD∈Γ. 令

T2=T^-11T=-IC1B1α1β1c1=-1000000-1000000-1000a41a42a43a44a450a51a52a53a54a550a61a62a63a64a65a66，則T2仍是S的一個局部自同構的矩陣. 由局部自同構定義可知， 對任意的六維向量Y， 存在由Y確定的TY∈Γ， 使得T2Y=TYY.（3）

由引理4， 可設TY=NB2B2C（x，y）B2B2α（x，y）B2β2（x，y）B2，其中B2=b11b12b21b22∈GL2， C（x，y），α（x，y）和β（x，y）如引理4所述. 顯然， B2，x，y都與Y有關.下面將Y用不同的向量代入式（3）以確定T2中的aij. B2的可逆性表明B2的每一行（列）的兩個元素不能都是0.

① 將Y=e1代入式（3）可得a61=a41a51；

② 將Y=e2代入式（3）可得a52=0， a62=-12a242；

③ 將Y=e3代入式（3）可得a43=0， a63=12a253；

④ 將Y=e2+e4代入式（3）可得a54=0；

⑤ 將Y=e1+e4代入式（3）可得a64=a44a51；

⑥ 將Y=e3+e5代入式（3）可得a45=0；

⑦ 將Y=e1+e5代入式（3）可得a65=a41a55；

⑧ 將Y=e1+e4+e5-e6代入式（3）可得a66=-a44a55；

⑨ 將Y=e1+e2代入式（3）可得a42=-a51；

⑩ 將Y=e1+e3代入式（3）可得a41=a53；

將Y=e3+e5-12e6代入式（3）可得a44=a55.

由于推導過程類似， 因此下面僅給出其中兩種典型情形的推導過程.情形（i） "將Y=e1代入式（3）可得a61=a41a51. 此時， 由式（3）可得b11b22+b12b21=-b11b22+b12b21，""b11b12=b21b22=0，a41=b11x-b12y，"a51=b21x-b22y，"a61=bxy.于是， b11=b22=0， a41=-b12y， a51=b21x. 因此， a61=-b12b21xy=a41a51.

情形（ii） "將Y=e1+e2代入式（3）可得a42=-a51.

注意到此時已經有a61=a41a51， a52=0， a62=-12a242. 由式（3）得

b21（2b22-b21）=b11（2b22-b21）=0， （4）

-2b11b12+b211=-b11b22+b12b21，（5）

-b22x-b12y-b22y=a41+a42，（6）2b22x+b22y=a51，（7）

（-b222-2b22b12）xy+12y2=a41a51-12a242.（8）

由式（4）得b21=2b22. 由式（5）得（b11+b22）（2b12-b11）=0. 若2b12-b11=0， 考慮到b21=2b22， 表明B2不可逆， 矛盾. 所以2b12-b11≠0， 從而b11=-b22. 由于

（-b22x-b12y-b22y）（2b22x+b22y）=-1

2（2b22x+b22y）2+（-b222-2b22b12）xy+12y2，

故由式（6）～（8）可得（a41+a42）a51=-12a251+a41a51-12a242.

于是a42=-a51.記a44=-c， a41=-cu， a42=-cv. 綜合上述結果有T2=T^-11T=-IC1B1α1β1c1=-1000000-1000000-1000-cu-cv0-c00cv0-cu0-c0-c2uv-12c2v212c2u2-c2vc2u-c2.

由引理4知-T2=M（cI2，u，v）∈Γ， 故-T∈Γ， 從而有-σ∈Aut（S）.

情形2） σ（Z）=P^-1ZP， Z∈sl2.

類似于情形1）的證明可推得T∈Γ， 從而有σ∈Aut（S）.

定理2"σ∈LAut（S）當且僅當σ∈Aut（S）或-σ∈Aut（S）.

證明： 由定理1知， 只需證明當-σ∈Aut（S）時σ∈LAut（S）. 由于-idS=（-σ）^-1σ（其中idS為S的恒等映射）， 故只需證明-idS∈LAut（S）

. 由局部自同構的定義知， 只需證明對任意的X=（x1，x2，x3，x4，x5，x6）T， 存在由X確定的MX∈Γ， 使得-X=MXX. 當然， 只需考慮X為非零向量. 下面分情況討論.

情形1） x4=x5=0.

情形① x1=0. 令B=E11-E22， 則M（B，0，0）X=-X.

情形② x1≠0且x2=0. 令B=-x^-11x3E11+2E12+2^-1（1-x^-21x23）E21+x^-11x

3E22， 則M（B，0，0）X=-X.

情形③ x1≠0且x2≠0. 令B=-E11+E22

+2x^-12x1E21， 則M（B，0，0）X=-X.

情形2） x4，x5不全為0.

此時存在B∈GL2， 使得B（x4，x5）T=（1，0）T. 記M（

B，0，0）X=Y=（y1，y2，y3，1，0，y6）T. 只需證明存在MY∈Γ使得MY=-Y.

情形① y3≠0. 令B1=-E11+E22+2y1y^-13E12， 則M（B1，0，0）Y=-Y.

情形② y3=y1=0. 令B2=-E11+E2

2， 則M（B2，0，0）Y=-Y.

情形③ y3=y2=0且y1≠0. 令B3=E12+E21， 則M（B3，-y^-11，y^-11）Y=-Y.

情形④ y3=0且y1y2≠0. 令B4=-E11+E22+2y1y^-12E21， 則M（B4，-2y^-11，2y^-12）Y=-Y.

綜上可知， 當-σ∈Aut（S）時σ∈LAut（S）.

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（責任編輯： 趙立芹）