Gorenstein(L,A)-投射模的穩定性

摘要： 設R是有單位元的交換環， （L，A）是完備的對偶對. 先引入一種相對于完備對偶對（L，A）的Gorenstein同調模類GP^（2）L， 再研究GP^（2）L的一些性質. 最后， 借助一些特殊的模類證明GP^（2）L與Gorenstein（L，A）-投射模類一致.

關鍵詞： Gorenstein（L，A）-投射模； 穩定性; Gorenstein平坦模； 正合序列; 對偶對

中圖分類號： O153.3""文獻標志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1296-05

Stability of Gorenstein （L，A）-Projective Modules

LUO Hongrong， CHEN Wenjing

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let R be an associative ring with an identity， and （L，A） be a complete duality pair. Firstly， we introduce the class

GP^（2）L of Gorenstein homological modules with respect to the complete duality pair （L，A）. Secondly， "we study some proper

ties of GP^（2）L. Finally， we prove that GP^（2）L coincides wi

th the class of Gorenstein （L，A）-projective modules with the help of some special classes of modules.

Keywords： Gorenstein （L，A）-projective module; stability; Gorenstein flat module; exact sequence; duality pair

0"引"言

穩定模理論^［1］的發展與Gorenstein同調代數的發展密切相關.在Gorenstein同調代數中， 可用Gorenstein投射模、 Gorenstein內射模和Gorenstein平坦模代替經典同調代數中的投射模、 內射模和平坦模. 如果存在一個平坦R-模的正合序列F=…→F2→F1→F0→F-1→F-2→…，使得MIm（F0→F-1）， 并且對任意的內射右R-模I， IRF是正合的， 則稱R-模M為Gorenstein平坦模（簡稱G-平坦模）^［2］.

用GF（R）表示Gorenstein平坦模類. 文獻［3］引入了兩種Gorenstein同調模類G^（2）F（R）和G^（2）IF（R）， 即R-模M∈G^（2）F（R）， 當且僅當存在Gorenstein平坦模的正合序列

G=…→G2→G1→G0→G-1→G-2→…，（1）使得MIm（G0→G-1）， 并且對任意的Gorenstein內射右R-模H， HRG是正合的; R-模M∈G^（2）IF（R）， 當且僅當存在Gorenstein平坦模的正合序列（1）， 使得MIm（G0→G-1）， 并且對任意的內射右R-模I， IRG是正合的. 文獻［3］證明了GF（R）=G^（2）F（R）=G^（2）IF（R）， 從而得到了Gorenstein平坦模的穩定性. 目前， 關于Gorenstein同調模類的研究備受關注. Holm等^［4］引入了對偶對的概念， 對相對同調代數的研究具有重要作用. Gillespie^［5］引入了Gorenstein（L，A）-投射模、 內射模和平坦模， 即相對于完備對偶對（L，A）的Gorenstein投射模、 內射模和平坦模， 研究了一些與相對于完備對偶對的Gorenstein同調模有關的模型結構. Wang等^［6］研究了相對于完備對偶對的Gorenstein平坦模. Chen等^［7］建立了一些與Gorenstein（L，A）-投射模有關的粘合. 事實上， 相對于完備對偶對的Gorenstein投射模是相對于完備對偶對的Gorenstein平坦模， 而相對于完備對偶對的Gorenstein平坦模是Gorenstein平坦模.

受上述研究的啟發， 本文引入一種相對于完備對偶對（L，A）的Gorenstein同調模類GP^（2）L.

用GP表示相對于完備對偶對（L，A）的Gorenstein投射模類， 證明GP=GP^（2）L， 從而得到Gorenstein（L，A）-投射模的穩定性. 本文所討論的環均為有單位元的交換環， 如果無特殊說明， 模都表示左R-模.

1"預備知識

對任意的R-模M， M+=Hom（M，/）表示M的示性模.

定義1（對偶對）^［4］"如果（L，A）滿足以下條件：

1） L∈L當且僅當L+∈A；

2） A關于直和項和有限直和封閉.

則稱（L，A）是環R上的對偶對， 其中L是左R-模類， A是右R-模類.

定義2（完全對偶對）^［4］"如果R∈L， 并且L關于直和及擴張封閉， 則稱對偶對（L，A）是完全的.

定義3（對稱對偶對）^［4］"如果（L，A）和（A，L）都是對偶對， 則稱對偶對{L，A}是對稱的.

定義4（完備對偶對）^［4］"如果{L，A}是對稱對偶對， 并且（L，A）是完全對偶對， 則稱對偶對（L，A）是完備的.

定義5（Gorenstein（L，A）-投射模）^［5］"如果存在一個HomR（-，L）-正合的正合序列P： …→P1→P0→P-1→P-2→…， 使得MKer（P-1→P-2）， 則稱R-模M是Gorenstein（L，A）-投射模， 其中每個Pi是投射模.

由文獻［5］知， GP關于擴張、 直和、 直和項及滿同態的核封閉. 用P表示投射R-模類. 由文獻［8］知， PGP， P的所有核、 像、 余核都是Gorenstein（L，A）-投射模， 并且對任意的Gorenstein（L，A）-投射模M、 任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）=0.

2"主要結果

用GP^（2）L表示滿足下列條件的所有R-模M構成的模類： 存在一個HomR（-，L）-正合的正合序列G： …→G1→G0→G-1→G-2→…， 使得MKer（G-1→G-2）， 其中每個Gi是Gorenstein（L，A）-投射模. 顯然G的所有核、 像以及余核都屬于GP^（2）L， 并且GPGP^（2）L. 用S-GP^（2）L表示滿足下列條件的所有R-模N構成的模類，

即有一個HomR（-，L）-正合的正合列0→N→G→N→0， 其中G是Gorenstein（L，A）-投射模.

顯然S-GP^（2）LGP^（2）L.

命題1"設M∈GP^（2）L， 則對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）=0.

證明： 設M∈GP^（2）L， 則存在一個HomR（-，L）-正合的正合序列…→G1→G0→G-1→G-2→…， 使得MKer（G-1→G-2）， 其中Gi是Gorenstein（L，A）-投射模. 令K0=Ker（G0→G-1）∈GP^（2）L， 則有正合列0→K0→G0→M→0. 設L∈L， 則有正合列0→HomR（M，L）→HomR（G0，L）→HomR（K0，L）→0. 由長正合列引理^［9］知， 有正合序列0→HomR（M，L）→HomR（G0，L）→HomR（K0，L）→Ext1R（M，L）→Ext1R（G0，L）.

因為G0是Gorenstein（L，A）-投射模， 所以有Ext1R（G0，L）=0. 于是有行正合的交換圖：

從而由五引理^［9］知Ext1R（M，L）=0. 即對任意的G∈GP^（2）L及任意的L∈L， 有Ext1R（G，L）=0. 令Ki-2=Ker（Gi-2→Gi-3）∈GP^（2）L， 則由維數轉移知， 對任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）Ext1R（Ki-2，L）=0. 即對任意的L∈L及任意的i≥1， 有 ExtiR（M，L）=0.

命題2"設M是一個R-模， 則下列敘述等價：

1） M∈S-GP^（2）L；

2） 存在一個R-模的正合列0→M→G→M→0， 使得G是Gorenstein（L，A）-投射模， 并且對任意的L∈L， 有Ext1R（M，L）=0;

3） 存在一個R-模的正合列0→M→G→M→0， 使得G是Gorenstein（L，A）

-投射模， 并且對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）=0.

證明： 1）2）. 設M∈S-GP^（2）L， 則有HomR（-，L）-正合的正合列0→M→G→M→0， 其中G是Gorenstein（L，A）-投射模. 設L∈L， 則有正合列0→HomR（M，L）→HomR（G，L）→HomR（M，L）→0. 由長正合列引理^［9］知， 有正合序列0→HomR（M，L）→HomR（G，L）→HomR（M，L）→Ext1R（M，L）→Ext1R（G，L）.

因為G是Gorenstein（L，A）-投射模， 所以Ext1R（G，L）=0. 于是有如下行正合的交換圖：

從而由五引理^［9］知Ext1R（M，L）=0.

2）3）. 存在正合列0→M→G→M→0， 使得G是Gorenstein（L，A）-投射

模， 并且對任意的L∈L， 有Ext1R（M，L）=0. 于是由長正合列引理^［9］知， 有正合序列

…→ExtiR（G，L）→ExtiR（M，L）→Extⁱ⁺¹R（M，L）→Extⁱ⁺¹R（G，L）→…，

其中i≥1. 因為G是Gorenstein（L，A）-投射模， 所以對任意的j≥1， 有ExtjR（G，L）=0. 因此對任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）Extⁱ⁺¹R（M，L）. 即對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）Ext1R（M，L）=0.

3）1）. 存在正合列0→M→G→M→0， 使得G是Gorenstein（L，A）-投射模， 并且對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）=0. 于是由長正合列引理^［9］知， 有正合序列

0→HomR（M，L）→HomR（G，L）→HomR（M，L）→0，

故M∈S-GP^（2）L.

Chen等^［8］證明了一個模是Gorenstein（L，A）-投射模當且僅當它是某個強Gorenstein（L，A）

-投射模的直和項. 對于GP^（2）L中的模， 本文給出如下結論.

命題3"若M∈GP^（2）L， 則M是

S-GP^（2）L中某個模的直和項.

證明： 設M∈GP^（2）L， 則存在一個HomR（-，L）-正

合的正合序列…→G1→G0→G-1→G-2→…， 使得MKer（G-1→G-2）， 其中每個Gi是Gorenstein（L，A）-投射模. 令Ki=Ker（Gi→Gi-1）∈GP^（2）L， 其中i∈， K-1=M. 于是可得下列HomR（-，L）-正合的正合列：

0→K-2→G-2→K-3→0，

0→M→G-1→K-2→0，0→K0→G0→M→0，

0→K1→G1→K0→0，0→K2→G2→K1→0，……

因此有正合列0→N→G→N→0， 其中N=i≤-2KiMi≥0Ki， G=i∈ZGi. 因為Gorenstein（L，A）

-投射模關于直和封閉， 所以G是Gorenstein（L，A）-投射模， 并且HomR（-，L）作用在正合列0→N→G→N→0上仍保

持正合. 從而N∈S-GP^（2）L， 并且M是N的直和項.

定義6"設M∈S-GP^（2）L， 如

果存在一個R-模的正合列0→M→N→G→0， 使得G是Gorenstein（L，A）-投射模， 則稱R-模N是M-型模.

命題4"設M∈S-GP^（2）L， N是M-型模， 則下列結論成立：

1） 對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（N，L）=0；

2） 有一個HomR（-，L）-正合的正合列0→N→P→K→0， 其中P是投射模， K是M-型模.

證明： 1） 因為N是M-型模， 所以存在正合列0→M→N→G→0， 使得G是Gorenstein（L，A）-投射模. 設L∈L， 則由長正

合列引理^［9］知， 有正合序列

…→ExtiR（G，L）→ExtiR（N，L）→ExtiR（M，L）→…，

其中i≥1. 因為M∈S-GP^（2）L， 所以由命題2中3）知， 對

任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（M，L）=0. 又因為G是Gorenstein（L，A）

-投射模， 所以對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（G，L）=0. 因此對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（N，L）=0.

2） 因為M∈S-GP^（2）L， 所以有正合列0→M→G′→M→0， 其中G′是Gorenstein（L，A）

-投射模. 因為N是M-型模， 所以存在正合列0→M→N→G→0， 使得G是Gorenstein（L，A）-投射模. 考慮推出圖：

因為Gorenstein（L，A）-投射模關于擴張封閉， 所以由正合列0→G′→X→G→0知， X是Gorenstein（L，A）-投射模. 由文獻［8］的命題3.1中（3）知， 存在正合列0→X→P→X′→0， 其中P是投射模， X′是Gorenstein（L，A）-投射模. 考慮推出圖：

因為X′是Gorenstein（L，A）-投射模， 所以由正合列0→M→K→X′→0知， K是M-型

模. 由1）知， 對任意的L∈L， 有Ext1R（K，L）=0， 因此0→HomR（K，L）→HomR（P，L）→HomR（N，L）→0是正合的.

推論1"設M∈S-GP^（2）L， N是M-型模， 則N是Gorenstein（L，A）-投射模.

證明： 因為N是M-型模， 所以由命題4中2）知， 有一個HomR（-，L）-正合的正合列0→N→P0→K0→0， 其中P0是投射模，

K0是M-型模. 因為K0是M-型模， 所以有一個HomR（-，L）-正合的正合列0→K0→P1→K1→0， 其中P1是投射模， K1是M-型模. 繼續上述過程可得一個HomR（-，L）-正合的正合列0→N→P0→P1→…， 其中每個Pi是投射模. 因為N是M-型模， 所以由命題4中

1）知， 對任意的L∈L及任意的i≥1， 有ExtiR（N，L）=0. 于是由文獻［8］的命題3.1中（2）知， N是Gorenstein（L，A）-投射模.

定理1"GP=GP^（2）L.

證明： 只需證明GP^（2）LGP. 設M∈S-GP^（2）L

， 則有正合列0→M→G→M→0， 其中G是Gorenstein（L，A）-投射模. 因為G是Gorenstein（L，A）

-投射模， 所以由文獻［8］的命題3.1中（3）知， 存在正合序列0→G→P→G′→0， 其中P是投射模， G′是Gorenstein（L，A）-投射模. 考慮下列推出圖：

因為G′是Gorenstein（L，A）-投射模， 所以由正合列0→M→X→G′→0可知， X是M-型模. 由推論1知， X是Gorenstein（L，A）-投射模. 又因為Gorenstein（L，A）-投射模關于滿同態的核封閉， 所以M是Gorenstein

（L，A）-投射模， 即M∈GP， 因此S-GP^（2）L GP. 下證GP^（2）LGP. 設N∈GP^（2）L， 則N是S-GP^（2）L中某個模的直和項. 因為S-GP^（2）LGP， 所以N是GP中某個模的直和項. 又因為GP關于直和項封閉， 所以N∈GP. 于是

GP^（2）LGP.

參考文獻

［1］"AUSLANDER M， BRIDGER M. Stable Module Theory ［J/OL］. Memoirs of the A

merican Mathematical Society， （1969-12-31）＼2］"ENOCHS E E， JENDA O M G， TORRECILLAS B. Gorenstein Flat Modules ［J］. Journal of Nanjing University （Mathematical Biquarterly）， 1993， 10（1）： 1-9.

［3］"BOUCHIBA S， KHALOUI M. Stability of Gorenstein Flat Modules ［J］. Glasgow Mathematical Journal， 2012， 54（1）： 169-175.

［4］"HOLM H， JRGENSEN P. Cotorsion Pairs Induced by Duality Pairs ［J］. Journal of Commutative Algebra， 2009， 1（4）： 621-633.

［5］"GILLESPIE J. Duality Pairs and Stable Module Categories ［J］. Journal of Pure Applied Algebra， 2019， 223（8）： 3425-3435.

［6］"WANG Z P， YANG G， ZHU R M. Gorenstein Flat Modules with Respect to Duality Pairs ［J］. Com

munications in Algebra， 2019， 47（12）： 4989-5006.

［7］"CHEN W J， LIU Z K. Model Structures， Recollements and Duality Pairs ［J］.

Journal of Algebra and Its Applications， 2023， 22（1）： 2350017-1-2350017-34.

［8］"CHEN W J， LI L， RAO Y P. Model Structures and Recollements Induced by Duality Pairs ［J］. Bulletin of the Korean Mathematical Society， 2023， 60（2）： 405-423.

［9］"佟文廷. 同調代數引論 ［M］. 北京： 高等教育出版社， 1998： 53-201. （TONG W T. An Introduction to Homological Algebra

［M］. Beijing： Higher Education Press， 1998： 53-201.）

（責任編輯： 趙立芹）