閉型離散更新截斷δ沖擊模型的壽命分布

摘要： 采用取條件法、 概率法研究閉型離散更新截斷δ沖擊模型的壽命問題， 得到了該模型的可靠度、 壽命的矩等壽命性質(zhì)的顯式表達(dá)式， 并將該模型的壽命分布和平均壽命應(yīng)用在具體分布中進(jìn)行數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞： 離散更新； 閉型截斷； δ沖擊模型； 系統(tǒng)壽命

中圖分類號： O213.2""文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1334-11

Lifetime Distribution of Closed DiscreteRenewal Censored δ Shock Model

MA Ming， HUANG Ai

（School of Mathematics and Computer Science， Northwest Minzu University， Lanzhou 730030， China）

Abstract： The lifetime problem of a closed discrete renewal censored δ shock model was studied by using condition method and probabil

ity method. The explicit expressions of the lifetime properties such as reliability and moment of lifetime of the model were obtained， the lifetime distribution

and the mean lifetime of the model were applied to specific distributions and performed numerical simulations.

Keywords： discrete renewal; closed censored; δ shock model; system lifetime

沖擊模型廣泛應(yīng)用于金融、 貨幣政策、 維修等領(lǐng)域， 沖擊模型研究的中心問題是系統(tǒng)失效時間（稱為系統(tǒng)壽命）. 沖擊模型主要有傳統(tǒng)沖擊模型和δ沖擊模型等， 其中δ沖擊模型可分為經(jīng)典δ沖擊模型和截斷δ沖擊模型兩類. 經(jīng)典δ沖擊模型是李澤慧^［1］在研究城市交通擁擠問題中抽象出來的一種模型， 其以沖擊時間間隔小于一個閾值δ時系統(tǒng)失效為失效機(jī)制. 在此基礎(chǔ)上， Ma等［2］在研究客戶關(guān)系管理時提出了截斷δ沖擊模型， 其以沖擊時間間隔大于一個閾值δ時系統(tǒng)失效為失效機(jī)制. 目前， 關(guān)于開型離散截斷δ沖擊模型的研究已取得了豐富的結(jié)果. 例如： 張攀等^［3］考慮一種沖擊僅可能發(fā)生在整數(shù)時刻點上， 并且在整數(shù)時刻點上沖擊是否到達(dá)服從0-1分布的截斷δ沖擊模型， 得到了系統(tǒng)壽命的分布和系統(tǒng)壽命的期望； 冶建華等^［4］定義了一般開型離散截斷δ沖擊模型， 并討論了沖擊間隔服從格點分布的開型離散截斷δ沖擊模型的壽命性質(zhì)， 得到了系統(tǒng)壽命的概率分布列及平均壽命； 馬明等^［5］在開型離散截斷δ沖擊模型的基礎(chǔ)上， 得到了格點更新開型離散截斷δ沖擊模型系統(tǒng)的可靠度、 失效率、 平均壽命、 平均剩余壽命等指標(biāo); Bian等^［6］研究了格點更新二項截斷δ沖擊模型和Markov截斷δ沖擊模型的可靠度， 并通過使用概率生成函數(shù)的方法得到了系統(tǒng)壽命的期望和方差； 姜偉欣等^［7］研究了非負(fù)幾何開型離散截斷δ沖擊模型的壽命性質(zhì)， 得到了系統(tǒng)的壽命分布、 平均壽命、 可靠度與失效率等指標(biāo)； Ma等^［8］研究了一種沖擊時間間隔按照離散時間Markov鏈到達(dá)的截斷δ沖擊模型， 給出了系統(tǒng)的壽命分布和期望； Chadjiconstantinidis等^［9］研究了沖擊時間間隔具有離散和連續(xù)分布時的截斷δ

沖擊模型的可靠性指標(biāo)， 并給出了系統(tǒng)壽命的分布和矩； 彭博等^［10］利用Bayes估計方法， 在最小均方誤差原則下， 基于壽命終止時總沖擊次數(shù)及沖擊到達(dá)時間這兩類樣本數(shù)據(jù)， 得到了Poisson截斷δ沖擊模型沖擊參數(shù)λ的Bayes估計量； 馬明等^［11］針對Poisson截斷δ沖擊模型失效參數(shù)的估計問題， 利用Bayes估計方法， 在最小均方誤差原則下， 基于壽命終止時總沖擊次數(shù)及沖擊到達(dá)時間這兩類樣本數(shù)據(jù)， 在不同的先驗假設(shè)下， 給出了Poisson截斷δ沖擊模型失效參數(shù)δ的Bayes估計量； Bian等^［12］利用多元分析方法和技術(shù)， 得到了極端沖擊模型和累積沖擊模型下k-out-of-n（G）系統(tǒng)可靠性函數(shù)的閉合形式， 并采用Monte Carlo模擬作為輔助方法計算了系統(tǒng)可靠度; 馬明等［13］得到了3個定積分的顯示表達(dá)式， 其對Poisson截斷δ沖擊模型中的可靠性計算具有重要作用； Bian等^［14］采用廣義Pólya過程進(jìn)行建模， 給出了相遇的沖擊模型、 可靠性函數(shù)、 可靠性函數(shù)的上界、 平均壽命、 故障率和壽命分布類型， 確定了最優(yōu)更換策略.

本文在開型截斷δ沖擊模型的基礎(chǔ)上， 通過擴(kuò)展系統(tǒng)失效條件， 提出一種閉型截斷δ沖擊模型， 并以閉型離散截斷δ沖擊模型為基礎(chǔ)， 對一類沖擊的時間間隔相互獨立且服

從同一個格點分布的系統(tǒng)進(jìn)行研究， 討論模型系統(tǒng)壽命T與失效閾值δ的關(guān)系， 給出相關(guān)沖擊模型系統(tǒng)壽命的分布、 平均壽命等可靠性指標(biāo).

1"閉型離散更新截斷δ沖擊模型

考慮一個沖擊的時間間隔相互獨立且服從同一個格點分布（設(shè)其周期為1）的沖擊模型， 記Sn（n=1，2，…）為第n次沖擊到達(dá)的時刻， Zn（n=1，2，…）為第（n-1）次與第n次沖擊之間的時間間隔， N（n）（n=0，1，…）為直到時刻n系統(tǒng)受到的沖擊總次數(shù). 對n=0，1，2，…， 記pk=P（Zk=i）， k=0，1，2，…， 其中∑∞k=0pk=1（不考慮P（Zn=∞）gt;0的情形）， Zn的生存函數(shù)為（i）=P（Zngt;i）. 若該系統(tǒng)經(jīng)某次沖擊后時長達(dá)到正整數(shù)δ才有新沖擊到達(dá)或仍沒有新沖擊到達(dá)， 系統(tǒng)就失效， 則該系統(tǒng)稱為失效參數(shù)為δ的閉型離散更新截斷δ沖擊模型， 簡記為SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}（其中SM表示shock model， RE表示renewal， CDc表示closed discrete censored）， δ也稱為系統(tǒng)失效閾值.

與開型截斷δ沖擊模型相比， 閉型比開型多了一個失效條件， 即沖擊間隔為δ時長時系統(tǒng)也失效. 在SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}中， 設(shè)M表示系統(tǒng)失效前的總沖擊次數(shù)， 即{M=m}={Z0lt;δ， Z1lt;δ， …， Zmlt;δ， Zm+1≥δ}，""m=0，1，…，（1）其中Z0恒為0， 則根據(jù)截斷δ沖擊模型的失效機(jī)制有系統(tǒng)壽命T=∑Mn=0Zn+δ， 并滿足P（T≥δ）=1， 此時可記作T～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}. 當(dāng)M=m時SM［RE（pk）］，CDc（δ）}的樣本軌道如圖1所示.

2"主要結(jié)果

若無特殊說明， 本文系統(tǒng)均指SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}. 先考察系統(tǒng)壽命T的概率分布列. 首先不考慮p0恒為1這種平凡情形. 顯然， 若∑δ-1k=0pk=

1， 則由模型失效機(jī)制可得系統(tǒng)永不失效， 即有P（T=∞）=1. 此外， 若∑δ-1k=0pk=0， 則由式及T=∑Mn=0Zn+δ， 可得P（T=δ）=1. 所以以下僅考慮0lt;∑δ-1k=0pklt;1的情形.

設(shè)δ=1， 若使事件{T=1}發(fā)生， 則系統(tǒng)從時刻t=0出發(fā)需時間長度等于1或超過1才有可能發(fā)生沖擊（該沖擊發(fā)生概率為P（Z≥1）=1-p0， 其中Z表示沖擊時間間隔）. 但若p0≠0， 則發(fā)生該沖擊前可能在t=0時刻發(fā)生若干個時間間隔為0的沖擊概率為∑∞n=0pn0， 此時有P（T=1）=P（Z≥1）∑∞n=0pn0， 即P（T=1）=P（Z≥1），p0=0，（1-p0）∑∞n=0pn0，p0≠0.于是可得如下定理.

定理1"設(shè)p0lt;1， T～SM{［RE（pk）］，CDc（1）}， 則P（T=1）=1.

當(dāng)δ=2時系統(tǒng)的壽命分布有如下結(jié)果.

定理2"設(shè)p0lt;1， T～SM{［RE（pk）］， CDc（2）}， 則系統(tǒng)壽命的分布P（T=m）=（1-p0-p1）p^m-21（1-p0）^m-1，m=2，3，…，0，其他，（2）其中規(guī)定00=1.

證明： 由于壽命T滿足T≥δ， 即T≥2， 所以P（T=1）=0.

若使事件{T=2}發(fā)生， 則系統(tǒng)從時刻t=0出發(fā)需時間長度等于2或超過2才有可能發(fā)生沖擊（該沖擊發(fā)生概率為P（Z≥2）=1-p0-p1， 其中Z表示沖擊時間間隔）. 但若p0≠0， 則發(fā)生該沖擊前可能在t=0時刻發(fā)生若干個時間間隔為0的沖擊概率為∑∞n=0pn0， 所以有

P（T=2）=P（Z≥2），p0=0，P（Z≥2）∑∞n=0pn0，p0≠0=1-p1，p0=0，1-p0-p11-p0，p0≠0=1-p0-p11-p0.（3）

當(dāng)整數(shù)mgt;2時， 因為δ=2， 故根據(jù)壽命T的定義有{T=m}∪∞n=0{Z0+Z1+…+Zn=m-2， Z0lt;2， Z1lt;2， …， Znlt;2， Zn+1≥2}，從而有P（T=m）= "P（Z0=m-2， Z0lt;2， Z1≥2）+ "∑∞n=1P（Z0+Z1+…+Zn=m-2， Z0lt;2， Z1lt;2， …， Znlt;2， Zn+1≥2）.

由于Z0恒為0， mgt;2， 即P（Z0=m-2， Z0lt;2， Z1≥2）=0， 所以有P（T=m）=∑∞n=1P（Z1+Z2+…+Zn=m-2， Z1≤1， Z2≤1， …， Zn≤1， Zn+1gt;1）.（4）

對n=1，2，…， 若{Zi≤1， i=1，2，…，n}發(fā)生， 則有{Z1+Z2+…+Zn≤n}， 所以要使{Z1+Z2+…+Zn=m-2， Z1≤1， Z1≤1，…，Zn≤1， Zn+1gt;1}發(fā)生， 必須有m-2≤n， 于是式（4）等價于P（T=m）=∑∞n=m-2P（Z1+Z2+…+Zn=m-2， Z1≤1， Z2≤1， …， Zn≤1， Zn+1gt;1）.

又由于Zi（i=1，2，…，n）是獨立同分布的， 所以P（T=m）=∑∞n=m-2∑k1+k2+…+kn=m-2ki=0，1， i=1，2，…，nP（Z1=k1， Z2=k2， …， Zn=kn， Zn+1gt;1）=（1）∑∞n=m-2∑k1+k2+…+kn=m-2ki=0，1， i=1，2，…，npk1pk2…pkn.（5）

設(shè)整數(shù)n≥m-2， 則在非負(fù)整數(shù)ki≤1（i=1，2，…，n）條件下， k1+k2+…+kn=m-2表示從n個ki（i=1，2，…，n）中選中（m-2）個令其值為1， 剩余

的（n-m+2）個取值為0， 這種取法總數(shù)為nm-2， 因此

∑k1+k2+…+kn=m-2ki=0，1， i=1，2，…，n

pk1pk2…pkn=nm-2p^m-21p^n-m+20，（6）

將式（6）代入式（5）有

P（T=m）=（1）∑∞n=m-2nm-2p^m-21p^n-m+2

0=（1）p^m-21∑∞n=m-2nm-2p^n-m+20.（7）

為計算∑∞n=m-2nm-2p^n-m+20， 先考察參數(shù)為m-2和1-p0的正值Pascal分布的期望， 有

∑∞n=m-2nn-1（m-2）-1（1-p0）^m-2p^n-（m-2）0=m-21-p0，（8）

再由nn-1（m-2）-1=（m-2）nm-2得

∑∞n=m-2nn-1（m-2）-1（1-p0）^m-2p^n-（m-2）0=（m-2）（1-p0）^m-2∑∞n=m-2nm-2p^n-（m-2）0.（9）

將式（8）代入式（9）， 計算得

∑∞n=m-2nm-2p^n-m+20=1（1-p0）^m-1.（10）

將式（10）代入式（7）， 得

P（T=m）=（1-p0-p1）p^m-21（1-p0）^m-1.（11）

顯然， 式（11）對式（3）m=2的情形也成立（其中若p1=0， 規(guī)定00=1）. 證畢.

下面證明式（2）滿足正則性. 因為

∑∞m=0P（T=m）=∑∞m=2（1-p0-p1）p^m-21（1-p0）

^m-1=（1-p0-p1）1-p0∑∞m=0p11-p0m，（12）

由于僅考慮0lt;∑δ-1k=0pklt;1的情形， 所以有0lt;p0+p1lt;1， 滿足∑∞m=0p11-p0

m=1-p01-p0-p1，將其代入式（12）得∑∞m=0P（T=m）=1.

于是可得如下推論.

推論1"設(shè)0lt;p0+p1lt;1， T～SM{［RE（pk）］，CDc（2）}， 則P（Tlt;∞）=1.

定理2表明當(dāng)δ=2時， 系統(tǒng)壽命T的分布完全由p0和p1決定， 而推論1表明T是有限的.

下面討論δ≥2時SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}模型系統(tǒng)壽命T的分布. 記x表示不小于x的最小整數(shù)， x表示不大于x的最大整數(shù).

定理3"設(shè)p0lt;1， δ≥2， T～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}， 則系統(tǒng)壽命的分布為

P（T=m）=0，m=0，1，…，δ，（δ-1）1-p0，m=δ，（δ-1）∑∞i=m-δδ-1∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj=m-δ∏ij=1pkj，m=δ+1，δ+2，…，（13）其中（δ-1）=1-∑δ-1k=0pk.

證明： 根據(jù)系統(tǒng)壽命T的定義， 對m=δ， δ+1，…， 有P（T=m）=P∑Mn=0Zn=m-δ.（14）

若m=δ， 對式（14）關(guān)于M取條件， 得P（T=m）=P∑Mn=0Zn=0=∑∞i=0P∑in=0Zn=0， M=i.

對i=0，1，…， 事件∑in=0Zn=0， M=i發(fā)生等價于{Z0恒為0， Z1=0， …， Zi=0， Zi+1gt;δ-1}發(fā)生， 所以P（T=m）=∑∞i=0P（Z0恒為0， Z1=0， …， Zi=0， Zi+1gt;δ-1）.（15）

由獨立性， 對i=0，1，…， 有

P（Z0恒為0， Z1=0， …， Zi=0， Zi+1gt;δ-1）=pi0（δ-1），（16）

其中對i=0， 若p0=0， 規(guī)定00=1. 將式（16）代入式（15）， 得

P（T=m）=（δ-1）∑∞i=0pi0=（δ-1）1-p0.

若mgt;δ， 同理可得

P（T=m）=∑∞i=0P∑in=0Zn=m-δ， M=i.（17）

由式（1）， 對i=0，1，…， {M=i}{Z0≤δ-1， Z1≤δ-1， …， Zi≤δ-1， Zi+1gt;δ-1}， 其中Z0恒為0， 所以由沖擊間隔獨立同分布式（17）有

P（T=m）= "P（Z0=m-δ， Z0≤δ-1， Z1gt;δ-1）+ "∑∞i=1P∑in=1Zn=m-δ， Z1≤δ-1， Z2≤δ-1， …，

Zi≤δ-1， Zi+1gt;δ-1= "（δ-1）∑∞i=1

P∑in=1Zn=m-δ， Z1≤δ-1， Z2≤δ-1， …， Zi≤δ-1.（18）

對i=1，2，…， 若Z1≤δ-1， Z2≤δ-1， …， Zi≤δ-1發(fā)生， 則有Z1+Z2+…+Zi≤i（δ-1）， 所以若使事件∑in=1Zn=m-δ， Z1≤δ-1， Z2≤δ-1， …， Z

i≤δ-1發(fā)生， 必須滿足m-δ≤i（δ-1）. 因為mgt;δ≥2， 即i≥m-δδ-1≥1， 所以根據(jù)式（18）有P（T=m）= "（δ-1）∑∞i=m-δδ-1∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj=m-δP（Z1=k1， Z2=k2， …， Zi=ki） = "（δ-1）∑∞i=m-δδ-1∑

0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj=m-δ∏ij=1pkj.

證畢.

由定理3可見， 系統(tǒng)壽命T的分布列只與p0，p1，…，pδ-1有關(guān)， 即閉型離散更新截斷δ沖擊模型的系統(tǒng)壽命T的分布完全由沖擊間隔分布列的前δ

個值決定. 此外， 若p0=0， 則考察式（13）的變形. 首先若m=δ， 則根據(jù)式（13）有P（T=δ）=（δ-1）. 其次， 再考察整數(shù)mgt;δ的情形， 因為p0=0， 式（13）中kj的范圍變?yōu)?≤kj≤δ-1， 所以對i=m-δδ-1，

m-δδ-1+1，…， 若1≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i， 則k1+k2+…+ki≥i， 因此只有i≤m-δ時，

∑ij=1kj=m-δ， 1≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i

才不為空. 從而根據(jù)式（13）有

P（T=m）=（δ-1）∑m-δi=m-δδ-1∑

1≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m∏ij=1pkj.

綜上可得如下無沖擊重點情形的系統(tǒng)壽命分布.

推論2"設(shè)p0=0， δ≥2， T～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}， 則系統(tǒng)壽命分布為

P（T=m）=0，m=0，1，…，δ，（δ-1），m=δ，（δ-1）∑m-δi=

m-δδ-1∑1≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i

∑ij=1kj=m-δ∏ij=1pkj，m=δ+1，δ+2，….（19）

如果對i=1，2，…， ∏ij=1pkj可寫成k1，k2，…，ki和的函數(shù)， 其中0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i， 則SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}的壽命分布有以下顯式表示.

推論3"設(shè)p0lt;1， δ≥2， T～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}， 若x∈（-∞，∞）， 存在非負(fù)二元函數(shù)f（x，y）=

px0，y=0，0，ylt;0， 使得對i=1，2，…及kj=0，1，…，δ-1， j=1，2，…，i滿足∏ij=1pkj=fi，∑

ij=1kj， 則對m=0，1，…， 有

P（T=m）=（δ-1）∑∞i=m-δδ-1f（i，m-δ）∑

m-δδj=0（-1）jijm-δ-δj+i-1i-1，

其中（δ-1）=1-∑δ-1k=0pk， 規(guī)定-1-1=1.

證明： 考察式（13）中mgt;δ的情形， 因為對i=m-δδ-1，

m-δδ-1+1，…， 有

∏ij=1pkj=fi，∑ij=1kj，

則

∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=mpk1pk2…pki=f（i，m-δ）∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m1.（20）

對i=m-δδ-1，m-δδ-1

+1，…， 由文獻(xiàn)［15］可知： 滿足條件0≤kj≤δ-1（j=1，2，…，i）的關(guān)于k1，k2，…，ki的不定方程k1+k2+…+ki=m-δ的整數(shù)解數(shù)目為

∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m1=∑ij=0（-1）

jijm-δ-δj+i-1i-1.（21）

在式（21）中， 要求m-δ-δj+i-1≥i-1， 此時可得j≤m-δδ， 而在δ≥2， i≥m-δδ-1條件下， 必有m-δδlt;i， 所以式（21）應(yīng)記為

∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m1=∑

m-δδj=0（-1）jijm-δ-δj+i-1i-1.（22）

將式（20），（22）代入式（13）的mgt;δ情形中， 得

P（T=m）=（δ-1）∑∞i=m-δδ-1f（i，m-δ）∑

m-δδj=0（-1）jijm-δ-δj+i-1i-1.（23）

若規(guī)定-1-1=1， 因為f（i，0）=pi0（i=0，1，…）， 將m=δ代入式（23）的等式右邊， 得

（δ-1）∑∞i=0f（i，0）（-1）0i0i-1i-1=（δ-1）∑∞

i=0pi0=（δ-1）1-p0.

所以式（23）包含m=δ的情形.

此外， 對整數(shù)mlt;δ， 因為f（·，m-δ）=0， 所以式（23）也包含mlt;δ的情形. 證畢.

推論4"設(shè)p0=0， δ≥2， T～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}， 若x∈（-∞，∞）， 存在非負(fù)二元函數(shù)f（x，y）=1，x=y

=0，0，ylt;0， 使得對i=1，2，…及kj=1，2，…，i， j=1，2，…，i滿足∏ij=1pkj=fi，∑ij=1kj， 則對m=0，1，…， 有

P（T=m）=（δ-1）∑m-δi=m-δδ-1f（i，m-δ）∑

m-δ-iδ-1j=0（-1）jijm-δ-（δ-1）j-1i-1，

其中（δ-1）=1-∑∞k=0pk， 規(guī)定-1-1=1.

證明： 考慮式（19）中mgt;δ的情形， 將∏ij=1pkj=fi，∑ij=1kj代入其中得

P（T=m）=（δ-1）∑m-δi=m-δδ-1f（i，m-δ）∑

0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m1.（24）

對i=m-δδ-1，m-δδ-1

+1，…，m-δ， 由文獻(xiàn)［15］可知： 滿足條件δ≥2， 1≤kj≤δ-1（j=1，2，…，i）的關(guān)于k1，k2，…，ki的不定方程k1+k2+…+ki=m-δ的整數(shù)解數(shù)目為

∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m1=∑ij=0（-1）

jijm-δ-（δ-1）j-1i-1.（25）

在式（25）中， 要求m-δ-（δ-1）j-1≥i-1， 此時可得j≤m-δ-iδ-1， 而當(dāng)m-δδ-1≤i≤m-δ時， 必有0≤m-δ-iδ-1

≤i， 所以式（25）應(yīng)記為

∑0≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj+δ=m1=∑

m-δ-iδ-1j=0（-1）jijm-δ-（δ-1）j-1i-1.

從而式（24）等價于

P（T=m）=（δ-1）∑m-δi=m-δδ-1f（i，m-δ）∑

m-δ-iδ-1j=0（-1）jijm

-δ-（δ-1）j-1i-1.（26）

若規(guī)定-1-1=1， 因為f（0，0）=1， 將m=δ代入式（26）的等式右邊， 得

（δ-1）f（0，0）（-1）000-1-1=（δ-1）=（δ-1），

所以式（26）包含m=δ的情形.

此外， 對整數(shù)mlt;δ， 因為f（·，m-δ）=0， 所以式（26）包含mlt;δ的情形. 證畢.

下面研究系統(tǒng)平均壽命.

定理4"設(shè)T～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}， 若E（T）lt;∞， 0lt;∑δ-1k=0pklt;1， 則系統(tǒng)平均壽命為

E（T）=∑δ-1n=0npn（δ-1）+δ.

證明： 對系統(tǒng)壽命T關(guān)于Z1取條件， 有

E（T）= "E（E（TZ1））=∑∞n=0E（TZ1=n）pn= "∑δ-1n=0E（TZ1=n）

pn+∑∞n=δE（TZ1=n）pn.（27）

在SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}中， 當(dāng)n=δ，δ+1，…時， 因為（δ-1）≠0， {Z1=n}是有可能發(fā)生的， 而{Z1=n}表明Z1≥δ發(fā)生， 此時有T=δ， 所以E（TZ1=n）=δ.

若n=0，1，…，δ-1， 由于{Z1=n}{Z1lt;δ}， 因此系統(tǒng)在時刻n壽命還未結(jié)束， 所以系統(tǒng)壽命等于存活到n的時長再附加從n

開始直到壽命結(jié)束的剩余壽命， 由更新過程的再生性（即在概率意義上， 從任一沖擊點作為新起點， 過程重新開始）知， 系統(tǒng)剩余壽命與原壽命T是同分布的， 所以E（TZ1=n）=n+E（T）. 因此， 由式（27）有

E（T）=∑δ-1n=0（n+E（T））pn+∑∞n=δδpn= "∑δ-1n=0npn+E（T）∑δ-

1n=0pn+δ∑∞n=δpn=∑δ-1n=0npn+E（T）∑δ-

1n=0pn+δ1-∑δ-1n=0pn.（28）

對式（28）解方程得

E（T）=∑δ-1n=0npn1-∑δ-1n=0pn+δ=∑δ-1n=0npn（δ-1）+δ.（29）

證畢.

3"數(shù)值模擬

上面結(jié)合SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}模型的構(gòu)造， 給出了該模型系統(tǒng)的可靠度、 沖擊度、 平均壽命等

可靠性指標(biāo).下面將給出該模型時間間隔服從參數(shù)為n的離散均勻分布， 即P（Zi=k）=1n， k=1，2，…，n且δlt;n.

kj=1，2，…，n， 得離散均勻分布的分布列為

∏ij=1pkj=∏ij=11n=1ni=n^-i，（30）

離散均勻分布在δ處的生存函數(shù)為

（δ）= "1-F（δ）= "1-［P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=δ-1）］= "1-1n+1n+…+1n=1-δ-1n.（31）

將式（30），（31）分別代入式（19），（29）， 得

P（T=m）=0，m=0，1，…，δ，1-δ-1n，m=δ，1-δ-1n∑m-δi=m-δ

δ-1∑1≤kj≤δ-1， j=1，2，…，i∑ij=1kj=m-δ

（n^-i），m=δ+1，δ+2，…=0，m=0，1，…，δ，1-δ-1n，m=δ，

1-δ-1n∑m-δi=m-δδ-1

n^-i∑m-δ-iδ-1j=0（-1）jijm-δ-（δ-1）j-1i-1，m=δ+1，δ+2，…

以及E（T）=δ2n-δ.

通過數(shù)值模擬， 可得E（T）和P（T=m）的變化趨勢分別如圖2和圖3所示. 由圖2可見， E（T）關(guān)于參數(shù)n是單調(diào)遞增的， 并且δ越大E（T）關(guān)于

參數(shù)n的變化趨勢越平緩. 由圖3可見， 從m=δ點開始曲線大幅度上升， 到達(dá)一個最大值后又下降至零值， 并且δ值越大曲線下降越慢， 而且P（T=m）的曲線變化幅度與n值沒有太大關(guān)系.

4"總"結(jié)

根據(jù)本文的定理1、 定理4與文獻(xiàn)［4］的定理2， 表1和表2分別列出了當(dāng)p0lt;1時SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}和SM{［RE（pk）］，CDo（δ）}（其中CDo表示open discrete censored）的系統(tǒng)壽命分布與系統(tǒng)平均壽命.

假設(shè)Tc（δ）～SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}， To（δ）～SM{［RE（pk）］，CDo（δ）}. 由表1可知， Tc（δ）同分布于To（δ-1）+1， 即Tc（δ）dTo（δ-1）+1， 因此理論上只需要計算SM{［RE（pk）］，CDo（δ-1）}在點m-1處的壽命分布即可得到SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}在點m處的壽命分布. 由表2可見， 只需把SM{［RE（pk）］，CDo（-1）}平均壽命附加一個單位時間，

即可得到SM{［RE（pk）］，CDc（δ）}的平均壽命， 這一點也可由Tc（δ）dTo（δ-1）+1得出.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）