幾何一般觀念指引助力學生思維發展

編者按：幾何一般觀念和代數一般觀念分別是什么？體現在哪些內容的學習中？怎樣指引教師規劃教學過程、設計問題？怎樣引導學生理性地、自覺地提出系列問題？怎樣構建體現數學本質的知識結構體系？本專題的兩篇文章對此進行了全面分析和系統闡述，旨在引導廣大教師認真研讀教材，理解和應用一般觀念，助力學生思維能力的發展. 本專題文章持續刊登，歡迎廣大教師圍繞一般觀念做研究，踴躍投稿！

摘" 要：幾何中的一般觀念是指幾何的組成元素及其相關元素的關系. 認識幾何體是通過觀察其組成元素及相互關系來實現的，研究直線、平面的位置關系可以轉化為研究其基本組成元素及相關元素之間的位置關系. 這樣的研究思路包含通常所說的化歸思想，但又遠不止于此. 幾何一般觀念還表現在與幾何有關的研究中，如向量的應用、平面解析幾何等. 理解了幾何的一般觀念，就能讓學生有序提出值得研究的系列問題，就能讓學生學會數學地思考，從而發展思維能力.

關鍵詞：幾何；一般觀念；方法論；向量的應用；解析幾何

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0004-06

引用格式：藺平愛，王曉玲，薛紅霞. 幾何一般觀念指引助力學生思維發展［J］. 中國數學教育（高中版），2024（4）：4-9.

2024年初，山西省教育科學研究院組織了一次小學、初中、高中的跨學段數學教學研討活動，旨在探討一般觀念的統攝作用. 其中，小學的課題是“長方形的面積”，初中的課題是“矩形的性質與判定”，高中的課題是“直線與平面垂直的性質”.

在開始上課之前有一個聽課指引，介紹為什么選擇這三節課，在幾何一般觀念的指導下如何設計這三節課的教學. 在上完課之后有一個點評，評析一般觀念指引下這三節課反映出來的研究思路和研究方法的一致性等. 聽課對象是小學、初中、高中各學科教師. 在互動環節，不同學科教師的分析引發了大家的共鳴，他們都認為這三節課體現了相同的研究思路，即都是按照幾何研究對象組成元素及其相互關系展開研究的. 這就是章建躍博士提出的“一般觀念”之“幾何性質指什么”. 如果小學、初中、高中都能在一般觀念指引下開展教學，這將會對學生思維能力的發展產生正向的促進作用. 即使小學、初中未能按照這樣的方法教學，在高中階段依然可為而且應該為之.

下面我們將具體分析在一般觀念指引下應該如何開展高中幾何教學，從而發展學生的思維能力.

一、在立體幾何初步的學習中理解典型的幾何一般觀念

幾何一般觀念在立體幾何學習中體現得最為典型. 人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第二冊第八章“立體幾何初步”可以劃分為兩部分：前三節是整體認識幾何體；后三節是微觀研究基本圖形的位置關系. 無論哪一部分，都體現了幾何的一般觀念.

1. 依據組成元素及其相互關系認識簡單幾何體

（1）定性認識簡單幾何體.

對于如何認識幾何體，在“8.1 基本立體圖形”的節引言中指出：“本節我們主要從幾何體的組成元素及其相互關系的角度，認識幾種最基本的空間幾何體.”接下來，先從整體入手，通過觀察想象圍成物體的每個面的形狀、面與面之間的關系. 首先，將幾何體劃分為多面體和旋轉體；緊接著指出：“下面，我們從多面體和旋轉體組成元素的形狀、位置關系入手，進一步認識一些特殊的多面體和旋轉體.”再次明確研究的方法. 這兩段話指明了研究本節內容的方法論，如圖1所示.

在此方法論的指導下，教學中引領學生研究棱柱的程序是：首先，觀察圍成棱柱的面的形狀、位置關系，以及棱的位置關系，形成定義，明確其內涵；其次，研究其外延，根據底面形狀不同，可以將棱柱劃分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……；再次，進一步研究其外延，依據側棱和底面位置關系的不同，可以將棱柱劃分為直棱柱和斜棱柱；最后，研究特殊情況，依據底面形狀特點，可以找到特殊的棱柱，包括正棱柱和平行六面體等.

這種研究方法可以遷移到認識棱錐，因此可以讓學生通過類比研究棱錐.

事實上，可以類比多面體，用同樣的方法認識旋轉體. 例如，圓柱有兩個面是平行且全等的圓面，側面垂直于這兩個面，而且是光滑的曲面. 這樣做，“8.1 基本立體圖形”的研究思路就完全統一了，只是不容易表述. 在此基礎上，再研究旋轉體的形成過程，得到其定義. 這樣設計能讓學生感受到立體幾何研究思想的一致性，體會到教材中采取的發生定義法表述的簡潔性和準確性.

（2）定量認識簡單幾何體.

“8.3 簡單幾何體的表面積與體積”中表面積的計算完全體現了幾何一般觀念，正如教材必修第二冊第114頁所述：“多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.”教材必修第二冊第116頁再次強調了這一點：“與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個面的面積和.” 從簡單幾何體的體積公式可以看出，所有公式都是用確定幾何體的基本元素表示的，即其表面積、高、半徑.

如果用祖暅原理推導幾何體的體積，可以看出，該原理是將幾何體的體積問題轉化為對其基本組成元素的度量問題：一是度量兩個幾何體的高，即“夾在兩個平行平面之間的幾何體，其高相等”；二是度量組成幾何體的所有面的大小，即“被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等”. 完成這兩個度量，并且度量結果是“相等”，那么就可以得到結論，即“這兩個幾何體的體積相等”.

“8.2 立體圖形的直觀圖”也是抓住幾何體的基本量進行繪制.

據此，教學中在設計問題串時思路就會很清晰，即先引導學生觀察圍成幾何體的面的形狀，再觀察特殊的棱（即高）. 這樣的設計思路，起點應該在小學，如在“長方形的面積”的探索發現過程中，并一以貫之. 如果這樣做了，到了高中階段，方法的應用則已經嫻熟自然. 這是我們的期盼.

2. 借助組成元素及其相互關系認識簡單幾何體

（1）依據一般觀念首先要明確組成幾何體的基本圖形.

從“8.4 空間點、直線、平面之間的位置關系”開始，微觀研究組成幾何體的基本圖形及其位置關系，為此要先明確研究對象，即空間中的點、直線和平面. 在平面幾何中，已經明確了點和直線，此處只需要明確平面即可，于是就有了“8.4.1 平面”. 明確平面的方法是按照平面的組成元素——點、直線依次進行的. 基本事實1是用點與平面的位置關系表示平面具有的特征，基本事實2是用直線與平面的位置關系表示平面具有的特征，基本事實3是用兩個平面的位置關系表示平面具有的特征，而且是借助其相交線表示的. 這種思路依然體現了幾何的一般觀念.

“8.4.2 空間點、直線、平面之間的位置關系”全部借助于各自組成元素的特點表達. 可以說是用公共點個數定義了“空間中直線與直線的位置關系”“空間中直線與平面的位置關系”“空間中平面與平面的位置關系”，只是在“兩個平面相交”這種位置關系中，因為要表達兩層含義：有無窮多個公共點，并且這些公共點都共線，所以合并為“有一條公共直線”，簡潔明了，其本質依然是用公共點及其位置關系表達平面與平面的位置關系.

在日常教學中，就要依據這樣的研究方法設計問題，引導學生觀察、思考和表達，并形成一種思維的自覺.

（2）在直線與平面的特殊位置關系研究中彰顯一般觀念的方法論作用.

空間直線、平面的平行與垂直關系是特殊的位置關系，刻畫這些位置關系要借助其組成元素及其位置關系.

“8.5.2 直線與平面平行”中的判定定理和性質定理，都是借助直線與平面內的直線間的位置關系表達的. 通俗地說，要研究直線、平面平行，就是研究直線與平面的組成元素——直線之間的位置關系. 因此，教學中設計問題的思路，就是要引導學生觀察直線與平面內直線的位置關系. 從定義出發判定直線與平面是否平行，只需要判定直線與平面有沒有公共點. 直觀上看，平面內任意一條直線與所給直線有兩種位置關系：一種是異面；另一種是平行. 而后者容易轉化為平面問題解決，于是得到直線與平面平行的判定定理. 這種研究思路如圖2所示. 當直線與平面平行時，同樣要借助平面得到性質定理. 教材必修第二冊在第137頁明確了該研究方法：“下面我們研究在直線a平行于平面α的條件下，直線a與平面α內的直線的位置關系.”

[問題：如何判定直線與平面平行][幾何一般觀念][研究直線與平面內直線的位置關系][直線與平面內一條直線平行][指導] [思路][圖2] [依據] [定義][直線與平面內直線沒有公共點][轉化] [選擇] [更多關系][引入其他元素]

后續研究平面與平面平行的思路與此完全一致. 如果再引入一些相關元素，那么就可以得到更多的線面平行的位置關系. 例如，引入直線的一條平行線，于是得到：若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b[?]α，則b∥α. 又如，引入直線所在的平面及一條平行線，于是得到：若α ∩ β = a，b[?]α，c[?]β，b∥c，則a∥b∥c. 這兩個結論分別是教材必修第二冊第139頁練習的第3題第（4）小題和第4題. 順著這樣的思路，還可以繼續提出問題.

在“8.5.2 直線與平面平行”中，要學習新知識，更重要的是將如圖2所示的探索發現思路揭示給學生，即要求學生自覺地將研究對象整體拆分為組成元素及其位置關系，并通過引入相關元素提出更多值得研究的問題，從而將教材中的例題和練習題統整起來.

按照這樣的研究思路，可以展開對“8.5.3 平面與平面平行”的研究，教材必修第二冊第139頁指出：“類似于研究直線與平面平行的判定，我們自然想到要把平面與平面平行的問題轉化為直線與平面平行的問題.”對平面與平面平行的性質的探索，教材必修第二冊在141頁指出：“根據已有的研究經驗，我們先探究兩個平行平面內的直線具有什么位置關系.” 這些方法都很明確地告訴我們如何依據幾何一般觀念展開研究.

同樣的研究思路，也適用于對“8.6 空間直線、平面的垂直”的研究，而且更加精彩. 因為隨著學習進程的推進，學生的知識積累更加豐富，思路更加靈活，可以提出的問題會更多. 這就是幾何一般觀念方法論的威力所在.

綜上所述，貫穿“立體幾何初步”的靈魂是幾何一般觀念，如圖3所示. 教材中在必要的地方都明確地寫著應該怎樣做，關鍵就看我們如何落實.

要落實如上一般觀念，在教學實踐中要有單元意識，注重單元教學的整體性和遞進性. 整體性體現為這一章研究方法本質上的一致性. 遞進性的具體表現分兩個階段，即在第一次研究時注重揭示方法，為后續研究奠定基礎，認識柱體、研究直線與平面平行的學習分別起著這樣的作用. 之后，注重在一般觀念的指引下運用類似的方法展開研究. 單元教學遞進性的具體表現是：隨著學習進程的推進，學生對方法的應用越來越自覺. 這就是思維能力得到發展的體現.

二、在與幾何相關內容的學習中靈活應用幾何一般觀念

與幾何相關的內容包括向量在幾何中的應用和平面解析幾何.

1. 在向量的應用中充分發揮幾何一般觀念

向量的應用包括在平面幾何和立體幾何中的應用. 前者包括教材必修第二冊“6.4.3 余弦定理、正弦定理”“數學探究" 用向量法研究三角形的性質”. 后者包括教材選擇性必修第一冊“1.4 空間向量的應用”.

（1）在平面向量的應用中依據幾何一般觀念有序提出系列問題展開探索.

向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，本文側重從幾何的角度分析如何研究向量的應用. 類比圖4提出問題的層級性，針對每個研究對象，都可以由易到難地提出系列問題. 在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”的教學中，將設計的出發點確定為：借助數量積運算探索三角形的幾何性質，能獲得哪些有用的結論？按照向量法的步驟，先將△ABC表示為一個向量關系，如a + b = c. 接下來，提出由易到難的三個層級問題：第一層級，直接乘以三角形的基本元素，如在a + b = c兩端同乘a，b或c，或a + b，等等；第二層級，乘三角形的相關元素，如在a + b = c兩端同乘邊BC上的高，即與a垂直的向量，或∠A平分線上的向量，或邊BC中線對應的向量，等等；第三層級，在a + b = c兩端同乘任意一個向量，即教材必修第二冊第62頁第19題，如圖5所示. 這樣做，學生不但可以學到基礎知識，還能學會如何提出問題，并為后續開展“數學探究" 用向量法研究三角形的性質”奠定方法論基礎.

與“6.4.3 余弦定理、正弦定理”相比，“數學探究" 用向量法研究三角形的性質”的學習更具有挑戰性. 因為研究過程中，既要選擇方法，又要選擇三角形的組成元素及相關元素. 兩條線索交織前行，將學生帶入一個數學探究的樂園. 但提出問題的思路是一致的，遵循幾何一般觀念，結合圖6可以得到如圖7所示的探究線路. 從研究對象△ABC出發，沿著圖7中的箭頭方向前進，越往后，所提出問題的層級越高，難度越大. 當然，該探究還不止于此，還可以對所得結論進行代數探究，發現更多值得研究的問題并解決問題.

（2）在空間向量的應用中依據幾何一般觀念確定研究順序和思路.

要研究立體圖形，依據幾何一般觀念，先要明確其基本元素——點、直線與平面. 于是，在教材必修第二冊先有“8.4.1 平面”. 同理，要用向量法研究立體幾何問題，先要給出點、直線、平面的向量表示，于是就有了教材選擇性必修第一冊“1.4.1.1 空間中點、直線和平面的向量表示”. 教材內容編排結構的一致性是由研究對象自身特點決定的.

進入具體的研究環節，依然遵循幾何一般觀念. 首先，研究點P的向量表示，在空間中，要找到一個基點O作為參照確定點的位置，這兩個點構成的向量[OP]就是點P的位置向量. 這是借助相關元素來刻畫點. 其次，研究空間中直線的向量表示，確定直線的基本元素是一個點和一個向量，而直線的組成元素是點，所以只要建立三者之間的關系式，就可以得到直線的向量表達式；最后，研究平面的向量表示，根據基本事實2，需要兩條不共線的向量才能確定一個平面. 與直線類似，平面的組成元素也是點，因此只要建立它們之間的關系式就可以得到平面的向量表達式. 由此可見，整個研究過程就是在尋找所研究對象的組成元素及其相互關系，并用向量表達.

建立了空間中點、直線與平面的向量表示之后，再研究位置關系、夾角和距離，就只需要找到各自的“代言人”將其轉化為向量問題求解即可.

2. 在平面解析幾何中升華幾何一般觀念

平面解析幾何是要用代數方法研究幾何問題，與向量的應用本質相同，內容結構也類似. 先要將平面幾何中的研究對象用代數表示，即點的坐標、直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程. 之后再基于方程研究點、直線、圓、圓錐曲線的性質及其位置關系.

為了表示直線，要先建立直線的基本元素，即兩個點[P1x1，y1]，[P2x2，y2]的坐標與直線的傾斜角α之間的關系，tan α =[y2-y1x2-x1]，將之定義為直線的斜率，并建立斜率與向量之間的聯系，從而將不同的確定直線的方法有機地聯系起來.

建立直線的點斜式方程就是求出直線的基本元素與直線上任意一點之間的關系式；建立圓的方程，就是求出確定圓的基本元素——圓心、半徑與圓上任意一點的關系式；圓錐曲線方程的建立也是如此，它們與“1.4.1.1 空間中點、直線和平面的向量表示”有異曲同工之效. 這體現了向量法是沒有坐標系的解析幾何這一本質，體現了幾何一般觀念在不同內容中的一致表現.

確定橢圓的基本元素是長軸的頂點和橢圓的焦點，在推導橢圓的標準方程時引入參數b，從幾何意義上又有了短軸上的2個頂點. 在研究橢圓的幾何性質時，這6個點起著重要作用. 橢圓位于由長軸和短軸確定的矩形內，這個矩形控制了橢圓的形狀. 同樣地，在研究雙曲線時，也有6個點（頂點、焦點、虛頂點），類比橢圓，4個頂點將確定雙曲線的形狀. 經過試驗可以發現，如果以實軸、虛軸為兩條對稱軸構造長方形，雙曲線位于該長方形外部，但這個長方形不能控制雙曲線的形狀. 再進一步探索，可以連接該長方形的對角線，經過觀察發現雙曲線被這一對對角線所在的直線控制，從而發現漸近線，之后從代數的角度進行論證即可.

如上內容是從幾何到與幾何相關的內容來敘述的，而不是按照教材中內容的編排順序來敘述的. 教師關鍵是要理解幾何一般觀念，在此基礎上根據教學內容的特點自覺應用. 與幾何相關的內容還有很多，但是其中蘊含的幾何一般觀念不夠集中、不夠典型，所以此處不再贅述. 事實上，只要理解了幾何一般觀念，并自覺應用，就可以發現其作為方法論引發思維的巨大威力，就會感受到沉浸在數學探究中的快樂，從而樂此不疲，愛上數學，學好數學.

參考文獻：

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