基于數據驅動的波動率模型研究進展

摘" 要：" 波動率是度量標的資產投資收益不確定性的重要指標，在金融、能源和環境等領域有廣泛的應用。由于真實的波動率無法直接觀測，因此構建合理的波動率模型來估計真實波動率顯得尤為重要。本文試圖從數據驅動的角度入手，基于低頻、高頻和混頻數據三個方面對國內外波動率模型的研究成果進行綜述，以期為該主題的后續研究提供借鑒。

關鍵詞：" 波動率；金融市場；低頻數據；高頻數據；混頻數據

中圖分類號：" F 830

文獻標志碼：" A

收稿日期：2024-07-29

作者簡介：許敏（1992—），女，江蘇揚州人，碩士研究生，研究方向：金融統計和數據挖掘。

文章編號：1005-9679（2024）06-0050-06

The Advancement in Data-driven Volatility Models

XU Min

（Shanghai Xingwei College， Shanghai 201300， China）

Abstract： Volatility， as an important index for evaluation of uncertainty of the underlying asset， has been widely used in the field of finance， economy， energy， environment and so on. With the rapid development of financial markets， volatility risk has become a major systemic risk， and thus has been identified as a research priority by financial market regulators， financial institutions and investors. Modeling and forecasting the volatility of financial assets are necessities in the financial market risk management， but the volatility itself is not directly observable， so it is imperative to construct a suitable volatility model which can offer a good forecasting of real volatility. Driven by the evaluations of usable data sources， the research achievements of volatility models were summarized from low frequency data， high frequency data and mixed frequency data in order to provide references for the following research.

Key words： volatility; financial market; low frequency data; high frequency data; mixed frequency data

0" 引言

波動率在風險管理和資產配置等方面發揮著主體作用。隨著全球金融市場一體化，對波動率的測度要求也在不斷提高。因而構建合理的波動率模型來測度金融資產的波動率，揭示金融市場波動的本質，逐步發展波動率衍生品避險工具，以對沖金融市場的波動風險，對投資者和監管部門的風險管理具有重要的理論和實踐價值。傳統的GARCH簇模型主要利用低頻數據對波動率進行建模，損失了大量的有效數據信息［1］。隨著信息技術的快速發展，高頻數據的獲取變得越來越容易。基于高頻和混頻數據的波動率模型研究應運而生，既豐富了波動率理論，也推動了波動率模型在金融、能源和環境等領域的廣泛應用。本文基于數據驅動的角度對國內外關于波動率模型的主要研究成果進行梳理、分析和總結。同時，對該主題未來的研究提出展望。

1" 基于低頻數據的波動率模型

基于低頻數據的波動率建模研究已經日趨完善和成熟，由于篇幅的限制，本節僅從刻畫波動的聚類性、不對稱性和長記憶性三個方面簡述GARCH簇模型，更多可參考［2， 8］。

1.1" 波動聚類性模型

1.1.1" ARCH模型、GARCH模型

傳統時間序列模型假設金融資產的方差為常數，這一假設違背了金融資產價格波動的實際特征。為此，Engle（1982）［3］利用添加的殘差滯后項的平方及其權重來描述主體波動的異方差性，繼而構建了經典的自回歸條件異方差（ARCH）模型：

σ2t=α0+∑qj=1αjε2t-j，α0gt;0，αj≥0 （j=1，2，…，q）（1）

為了克服實際應用中高階ARCH模型參數估計過多而引起較大誤差的不足，Bollerslev（1986）［4］基于滯后p期的條件方差提出了GARCH（p， q）模型：

σ2t=α0+∑pi=1βiσ2t-i+∑qj=1αjε2t-j（2）

其中，α0gt;0，αj，βi≥0 （i=1，2，…，p; j=1，2，…，q）。

1.2" 波動不對稱性模型

1.2.1" EGARCH模型

金融資產的波動程度對不同類型消息的反應是有差異的，GARCH模型難以刻畫這種不對稱性且模型參數的非負條件對異方差性存在約束，Nelson （1991）［5］通過采用對數型條件方差來避免GARCH模型的非負限制，繼而提出著名的EGARCH模型：

ln（σ2t）=α0+∑pi=1αiεt-iσt-i+φiεt-iσt-i+∑qj=1βjlnσt-j（3）

其中，φi是杠桿效應系數。φilt;0表明利空消息對市場波動造成的影響要大于利好消息，說明市場存在杠桿效應。

1.2.2" TGARCH模型

Glosten等（1993）［6］提出了TGARCH模型：

σ2t=α0+∑pi=1βiσ2t-i+∑qj=1αiε2t-i+∑qj=1γiDt-iε2t-i（4）

其中Dt-i為虛擬變量。若εt-ilt;0，則Dt-i；否則，Dt-i=0。與EGARCH相反，衡量不對稱波動的系數γigt;0表示存在杠桿效應。該模型被Engle和Ng（1993）［7］等學者證實在刻畫波動率杠桿效應的能力上要優于EGARCH模型，但是該模型并沒有考慮金融資產的長期記憶性。

1.2.3" APARCH模型

對波動率的長期記憶性的研究最早源于Taylor（1986）［8］，該研究發現盡管金融資產的收益率序列近似符合有效市場假說，即收益率序列之間是不相關或者弱相關的，但被定義為長期記憶過程的卻顯示自身之間有顯著的正相關性。Ding等（1993）［9］基于Taylor的發現，對GARCH模型中的條件標準差和殘差絕對值施加了冪變換，提出了APARCH模型：

σδt=α0+∑pi=1βiσδt-i+∑qj=1αj（|εt-j|-γiεt-j）δ（5）

其中，α0，δgt;0；αj，βj≥0；-1lt;γilt;1。γjlt;0表示存在杠桿效應，即負沖擊引起的波動大于正沖擊。當δ=2，γj=0，βi=0時，則退化為ARCH模型；當δ=1，γj=0時，則退化為GARCH模型；當δ=1時，則退化為TGARCH模型。

1.3" 波動長記憶性模型

1.3.1" FIGARCH模型

Ding和Granger（1996）［10］計算了APARCH（1，1）模型的自相關系數，發現其衰減仍是依照指數率，因此降低了APARCH模型在長記憶序列波動建模中的優勢。為了更好地描述長記憶性，Baillie等（1996）［11］提出條件異方差模型中第一個真正意義上的長期記憶波動率模型，即FIGARCH（p， d， q）模型：

σ2t=α0［1-B（L）］+{1-［1-B（L）］-1A（L）（1-L）d}ε2t（6）

其中，A（L）=∑qβqLq；B（L）=∑pαpLp能夠描述波動率的長期記憶特性。當d=0時，則FIGARCH（p， d， q）模型退化GARCH（p， q）模型。特別地，李勝歌和張世英（2008）［12］利用FIGARCH模型對上證綜指的波動性進行了實證研究。

1.3.2" FIEGARCH模型

Bollerslev和Mikkelsen（1996）［13］借鑒EGARCH模型的非對稱性結構以及在參數非負性限制方面的優勢，提出了FIEGARCH（p， d， q）模型：

ln（σ2t）=α0+B（L）-1（1-L）d［1+A（L）］g（zt-1）（7）

其中，g（zt-1）=γzt-1+θ{|zt-1|-E|zt-1|}。

1.3.3" FIAPARCH模型

Tse（1998）［14］將分數階差分過程與APARCH模型直觀地結合在一起，提出了FIAPARCH模型：

σδt=α0+|1-［1-B（L）］-1A（L）（1-L）d｜（|εt|-γεt）δ（8）

FIAPARCH模型能同時描述金融資產波動的長期記憶特性和不對稱性，其模型結構的拓展性也優于FIEGARCH模型。

1.3.4" HYGARCH模型

在異方差領域，最引人注目的創新可能是來自Davidson（2004）［15］。他認為已有的GARCH模型將滯后系數之和是否等于1的約束與過程的長期記憶性混淆在一起進行檢驗，基于此，Davidson（2004）［15］提出了雙曲線GARCH（HYGARCH）模型：

σ2t=α0+［1-B（L）］-1+{1-［1-B（L）］-1A（L）［1-τ+τ（1-L）d］}ε2t（9）

其中，0≤d≤1，τ≥0。當τ取0和1時，HYGARCH模型分別退化為GARCH和FIGARCH模型。

眾所周知，上述GARCH簇模型都是基于日收益率的低頻波動率模型，但由于其僅包含少量的日內信息，從而用其預測真實波動率時會存在一定的偏差。更多描述金融市場統計特性且相對完備的GARCH簇模型可參考表1。

2" 基于高頻數據的波動率模型

隨著信息技術的快速發展，人們獲取日內高頻數據愈發便利，激發眾多專家、學者利用高頻數據來測度波動率。Andersen和Bollerslev （1998）［28］率先提出依據日內收益平方和計算的已實現波動來預測真實波動率。假定采樣頻率Δ的選取使日內采樣總數m為整數，則該金融資產的t日的已實現波動RVt∑mr2t，j。其中rt，j=lnPt，j-lnPt，j-1為第t日第j個長度為Δ的對數收益率。與基于低頻數據的波動率模型相比較，已實現波動率模型不僅具有長記憶特征，還包含了更全面的市場信息，因此在刻畫波動率能力上更優。

高頻數據的波動率建模及其拓展主要基于以下兩個模型。

2.1" ARFIMA模型

Andersen等（2003）［29］證明了對數已實現波動率近似服從正態分布，且具有一定的長記憶性。因此作者構建了分整自回歸移動平均（ARFIMA）模型：

（1-φ（L））（1-L）d（lnRVt-μ）=（1+θ（L））εt（10）

其中，d為衡量波動長記憶性特征的分維數，且0lt;dlt;1。L為滯后算子。φ（L）和θ（L）分別為自回歸和移動平均項。μ為lnRVt的均值。

2.2" HAR-RV模型

Corsi （2004，2009）［30-31］認為分整模型 ARFIMA缺乏明確的經濟含義且自身的結構也存在問題。于是利用異質市場理論，Crosi構建了HAR-RV模型：

RVt，t+h=β0+βDRV（d）t+βWRV（w）t-5，t+βMRV（m）t-22，t+εt，t+h（11）

其中，RVt，t+h=1h（RVt+1+RVt+2+…+RVt+h）表示未來的已實現波動率。當h=1時，則RVt，t+1=RVt+1。RV（f）t=（∑nj=1r2j）1/2、RV（w）t和RV（m）t分別表示t期的日、周和月已實現波動率，且RV（w）t-5，t=15（RVdt-5+RVdt-4+…+RVdt-1），RV（m）t-22，t=122（RVdt-22+RVdt-21+…+RVdt-1）。

該模型表明長、中和短期投資者的交易行為共同引起了市場的波動。實證發現，HAR模型和AR- FIMA模型的預測能力相近，但前者形式更加簡易，而且還具有很好的擴展性和明確的經濟含義，因而逐漸成為RV建模基本的標準模型。張波等（2009）［32］研究表明HAR-RV模型在長記性的刻畫和預測能力方面明顯優于FARIMA模型。

2.2.1" HAR-RV-J模型、HAR-RV-CJ模型

在特定事件的影響下，金融時間序列出現的偏離正常水平的觀測值稱為跳躍成分。Andersen等（2007）［33］將跳躍成分加入波動率模型中，構建了包含跳躍的非齊次自回歸已實現波動率（HAR-RV-J）模型：

RVt，t+h=β0+βDRV（d）t+βWRV（w）t-22，t+βJJVt+εt，t+h（12）

其中，JVt是第t天的跳躍波動。同時，利用Huang 等（2005）［34］提出的檢驗跳躍并分離波動中的跳躍成分和連續成分，Andersen等構建了HAR-RV-CJ模型：

RVt，t+h=β0+βCDCV（d）t+βCWCV（w）t-5，t+βCMCV（m）t-22，t+βJDJV（d）t+βJDJW（w）t-5，t+βJMJV（m）t-22，t+εt，t+h（13）

其中，CV（d）t和JV（d）t分別為第t日的連續波動和跳躍波動。

研究發現，在分離跳躍和連續波動成分后，波動率的預測精確度得到了提高。然而，Corsi發現Huang等（2005）［34］提出的Ｚ統計量可能檢驗不出一些發生頻率很高的跳躍。基于此，Corsi等（2010）［35］利用已修正的門限多次冪變差的C_TZ統計量，構建了HAR-RV-TCJ模型。隨后，Corsi和Renò（2012）［36］利用杠桿效應對已實現波動率的影響構建了LHAR-RV-CJ 模型。

2.2.2 "HAR-RV-SJV模型

Patton和Sheppard （2015）［37］將已實現半變差分解為已實現正、負半變差，引入符號跳躍變差并將其作為外生變量納入到HAR-RV模型，繼而構建了HAR-RV-SJV模型：

RVt，t+h=β0+βDRV（d）t+βWRV（w）t-5，t+βMRV（m）t-22，t+φJSJVt+εt，j+h

SJVt=RS+t+RS-t

RS+tp12∫t0σ2s+∑0≤s≤tΔP2sI（ΔPsgt;0）

RS-tp12∫t0σ2s+∑0≤s≤tΔP2sI（ΔPslt;0）（14）

其中，I（·）為示性函數。研究發現，波動率的預測能力受到符號跳躍變差的影響。更多相關研究可參考表2。

3" 基于混頻金融數據的波動率模型

由于同頻數據的波動率模型會造成數據處理過程中的信息丟失，因此基于混頻數據的波動率模型研究顯得尤為重要。

3.1" MIDAS模型

Ghysels等（2004）構建的混頻數據抽樣（MIDAS）模型可以充分利用混頻數據的一切有效信息，在股市波動和宏觀經濟的研究中得到廣泛應用。

假設yt（t=1，…，T）和xτ（τ=1，…，mT）分別表示低頻數據和高頻數據。令x（m）t=xτ，其中m為混頻數據的頻率倍差，即x（m）t表示t-1期到t期進行了m次抽樣。則MIDAS模型：

yt=β0+β1B（L1/m；θ）x（m）t+ε（m）t（15）

其中，滯后算子多項式B（L1/m；θ）=∑Kk=0B（k;θ）Lk/m是參數向量θ的函數，L1/m和K分別為高頻數據的滯后算子和滯后階數。特別地，Ghysels 等（2006）、尚玉皇和鄭挺國（2016）和Xu等（2019）分別提出MIDAS-AR模型、BHK-MIDAS模型和ANN-（U-）-MIDAS模型。

MIDAS模型為混頻數據的研究提供了基本理論分析框架。將低頻和高頻數據結合起來，既能夠充分利用日內數據，也能過濾高頻數據的噪聲因素。因此，利用混頻數據研究波動率的優勢更加明顯。

3.1.1" ADL-MIDAS模型

Ghysels等（2007）利用被解釋變量的滯后分布信息對MIDAS模型進行拓展，提出自回歸分布滯后的混頻數據抽樣（ADL-MIDAS）模型：

Yt+1=μ+∑qy-1i=0μi+1Yt-i+β∑qX-1j=0∑N-1i=0wi+j*N（θ）XN-i，t-j+μt+1（16）

其中，∑N-1i=0wN-i+i*N（θ）為日度數據的權重，且滿足∑qx-1j=0∑N-1i=0wi+j*N（θ）=1。qY和qX分別為被解釋變量與解釋變量在同一采樣頻率上的最大滯后階數。特別地，史可（2014）利用ADL-MIDAS模型研究了恒生指數的波動。

3.1.2" GARCH-MIDAS模型

Engle和Rangel（2013）利用低頻已實現波動率刻畫證券市場波動率的長期成分，繼而提出已實現波動率的GARCH-MIDAS模型：

ri，t-μ=τt*gi，t*εi，t

gi，t=（1-α-β）+α*（ri-1，t-μ）2/τt+β*gi-1，t

τt=m+θ*∑Nk=1ψk（w1，w2）*RVt-k

RVt=∑Ni=1r1i，t（17）

其中，εi，t|ψi-1～N（0，1），ψi-1表示在t月第i-1天時可獲取的過去信息的集合且波動率短期動態成分gi，t服從GARCH（1，1）過程。實證研究顯示該模型有效克服了通過升、降頻帶來的信息失真的問題。特別地，鄭挺國和尚玉皇（2014）提出了一種擴展的多因子GARCH-MIDAS模型。

3.2" Realized GARCH

Hansen等（2012）利用高頻數據估計的已實現波動率構建了Realized GARCH模型：

yt=a0+a1yt-1+ut，ut=htεt

var（yt|ΩLF，HFt-1）=h=exp（α0+α1 ln（ht-1）+β1ln（RVt-1））

ln（RVt）=ξ+φln（ht）+υt，υt～N（0，σ2v）（18）

其中，ΩLF，HFt-1表示t-1時基于低頻和高頻信息的集合；RVt=∑y2it表示第t日的已實現波動率，yit為第t日的第i個5分鐘對數收益率。 Realized GARCH模型的形式較為簡單且預測精度得到了提高，但是在刻畫波動率相關性方面存在一定的不足。更多相關研究可參考表3。

3.3" GARCH-Ito模型

Kim和Wang（2016）基于采樣頻率不同的高頻與低頻數據之間一定具有某種內在聯系的事實，將低頻的GARCH結構嵌入到高頻的連續時間伊藤過程之中，繼而提出GARCH-Ito模型來同時刻畫資產收益的低頻與高頻波動。

假定資產的對數價格{xt}為dXt=μdt+σtdBt，則該模型為：

σ2t=（t-［t］）w+［（t-［t］）（γ-1）+1］σ2［t］+β∫t［t］σsdBs2（19）

其中，［t］表示t的整數部分。若t∈N，則GARCH-Ito模型退化為σ2t=w+γσ2t-1+βZ2t，其中Zt=Xt-Xt-1。

3.4" MF-VAR模型

Ghysels（2016）將格蘭杰非因果性檢驗拓展到非線性領域，提出MF-VAR模型：

X（τL+h）=∑pk=1AhkX（τL+1-k）+uh（τL）（20）

其中，Aik=Ak+i-1+∑i-1l=1Ai-lAlk，uh（τL）=Ψ∈（τL-k），h為預測步長。實證發現，MF-VAR模型更適用于格蘭杰非因果性檢驗且更易實現。

4" 結論與展望

本文從低頻、高頻和混頻數據的視角對國內外波動率模型的研究成果進行綜述，以期推動和促進本領域的研究。基于低頻數據的GARCH簇模型研究已經形成了一個較為系統完善的理論框架。但是，基于高頻和混頻數據的波動率理論研究以及實證分析還有諸多的問題需要深入研究和探索。

信息技術和人工智能的快速發展，為波動率的研究帶來了新的機遇和挑戰。作者認為以下三個方面值得關注。

第一，本文主要介紹了經典的單變量波動率模型，關于多元波動率模型可以參考文獻。在實際應用中，多元波動率模型參數的有效估計仍是一個難點且具有挑戰性。

第二，高頻數據包含信息多，且具有及時性和大規模性。如何利用高頻數據或混頻數據構建有效的波動率模型是值得關注的課題。同時，可將相關研究應用到能源、環境等新的領域。

第三，將機器學習中算法應用到波動率的測度領域，可以得到更為精確的波動率預測模型。伴隨人工智能的飛速發展，如何利用人工智能提升波動率的預測精度無疑具有重要的實踐意義。

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