引參換元解題策略研究

［摘 要］引參換元是實施轉化的重要手段和橋梁，通過引參換元能將問題化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉、化分散為集中、化隱蔽為清晰。文章以圓錐曲線問題為例介紹幾種常用的引參換元解題策略。

［關鍵詞］引參換元；解題策略；圓錐曲線問題

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0035-03

轉化與化歸思想是高考數學中常考查的思想。引參換元是實施轉化的重要手段和橋梁，通過引參換元能將問題化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉、化分散為集中、化隱蔽為清晰。如何對具體問題進行引參換元，是高中數學教師應深入探究的問題。引參換元問題沒有刻板的程序、原則、公式或方法，學生常常望而生畏、無從著手，而教師對引參換元解題教學也常感到心中無底。其實引參換元解題是有規律可循的。本文以圓錐曲線問題為例介紹幾種常用的引參換元解題策略。

一、靜動互化策略

運動變化思想是數學的重要思想之一，在研究問題時既可以用運動觀點處理靜止問題，也可以用相對靜止的觀點處理運動問題。通過動與靜的轉化，加深學生對概念本質的理解，培養學生思維的深刻性；通過對動與靜的關系的觀察，尋找規律，培養學生思維的靈活性與廣闊性。靜點化動點，可將不明顯的關系明確化，減少計算量；動點化靜點，能將復雜的問題簡單化，進一步簡化計算。

［例1］求經過點[P7，203]，且漸近線為[4x±3y=0]的雙曲線方程。

解：設雙曲線的方程為[16x2-9y2=λ（λ≠0）]，將[P7，203]代入得[λ=-288]，所以雙曲線的方程為[y232-x218=1]。

評注：本題屬于常見的雙曲線“共漸近線”問題——若已知所求的雙曲線漸近線方程為[Ax±By=0]，那么可以引入一個參數[λ]，設所求的雙曲線方程為[A2x2-B2y2=λ（Agt;0，Bgt;0，λ≠0）]，它避免了焦點位置的判斷。這種“化靜為動”的引參策略還可以用于解決雙曲線“同離心率”問題、雙曲線與橢圓“共焦點”等問題，均可以大大提高解題效率。

二、多元化一元策略

將多元問題轉化為一元問題是數學慣用的策略方法 。多元問題一元化是指將含有多個相關量的問題轉化為只有一個變量的問題。將多元問題轉化為一元問題，可使復雜的關系變得簡單。

［例2］已知[z1=x+5+yi]，[z2=x-5+yi] [（x，y∈R）]，且[z1+z2=6]，求[W=2x-3y-12]的最值。

解：由[z1+z2=6]知動點[（x，y）]與兩定點[（-5，0），] [（5，0）]的距離之和為6，即點[（x，y）]的軌跡是以（[-5]，0），（[5]，0）為焦點，長軸長為6的橢圓，由[c=5]，[a=3]可得[b=2]，從而可知橢圓的方程為[x29+y24=1]，令[x=3cosθ]，[y=2sinθ]，則[W=2x-3y-12=6cosθ-6sinθ-12=62sinπ4-θ-2]，當[θ=-π4]，即[x=322]，[y=-2]時，[Wmin=62-2=12-62]，當[θ=3π4]，即[x=-322]，[y=2]時，[Wmax=62+2=12+62]。

評注：本題是從復數模長的幾何意義“[z1]表示復平面內，點[（x，y）]到定點（[-5]，0）的距離”入手，得知點[（x，y）]的軌跡是橢圓，再引入橢圓的參數方程（[θ]為參數），將題中多元問題轉化為一元三角函數的最值問題，使問題很快獲解。

［例3］已知[4x2-5xy+4y2=5]，求[W=x2+y2]的最值。

解：設過原點的直線為[x=tcosθ，y=tsinθ，]代入已知得[t2（4cos2θ-5sinθcosθ+4sin2θ）=5]，

∴[t2=54-52sin2θ]，即[W=x2+y2=t2=54-52sin2θ]，

∵[32≤4-52sin2θ≤132]，

∴當[sin2θ=1]時，[Wmax=532=103] ;當[sin2θ=-1]時，[Wmin=5132=1013]。

評注：題目的條件為關于[x]和[y]的二元二次方程，難以用[x]表示[y]。但從幾何角度看，[x2+y2]表示曲線上的動點到原點的距離的平方，而這距離即為繞原點的動直線與曲線的交點到原點的距離，這時可利用直線的參數方程將問題轉化為一元三角函數的最值問題，實現多元問題一元化，從而輕松求解。

三、比值設參策略

比值設參策略常用于解決涉及比例或比值的問題，通過設定參數的比例關系，將復雜的數學問題化為簡單的比例關系，從而簡化問題的求解過程。比值設參將多變量問題中的多個變量轉化為一個變量，從而使復雜的問題簡單化。

［例4］如圖1，已知橢圓：[x224+y216=1]，直線[l]：[x12+y8=1]，[P]是[l]上一點，射線[OP]交橢圓于點[R]，又點[Q]在[OP]上，且滿足[OQ·OP=OR2]，當點[P]在[l]上移動時，求點[Q]的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

解：由[OQ·OP=OR2]知[P]、[R]、[Q]均不在原點，且[OQOR=OROP]，設[OQOR=OROP=λ]，則[λ]∈（0，1），且[OR=OQλ]，[OP=OQλ2]，

設[P（xP，yP）]，[R（xR，yR）]，[Q（x，y）]，則將各點向坐標軸投影，有[xR=xλ，yR=yλ，] [xP=xλ2，yP=yλ2，]

又因為P在l上，[R]在橢圓上，

所以有[x12+y8=λ2]，[x224+y216=λ2]，

消去[λ]得 [x224+y216=x12+y8]（[x]，[y]不同時為0），整理得[（x-1）252+（y-1）253=1]（不含坐標原點），∴Q的軌跡是中心為（1，1）的橢圓（去掉坐標原點）。

評注：本題屬于求動點軌跡問題，可將等式變形后引入一個參數進行求解。對比常規做法——設點坐標，聯立直線方程和橢圓方程，利用條件找等式，這種比值設參策略簡化了計算。值得注意的是，消參后要查漏補缺，去掉不符合題意的點，以免所求軌跡方程有錯漏。

四、交點問題曲線系解決策略

在圓錐曲線中，常常研究經過某兩條曲線的交點等一系列問題，解題思路是先求出交點，再通過待定系數法求出曲線方程，但往往計算量大。交點曲線系是一個數學概念，是指通過一系列特定點的曲線。這些曲線可以用于解決各種問題，例如幾何問題、優化問題等。交點曲線系提供了一種解題策略，通過構造和利用這些特殊曲線可解決幾何問題、優化問題等，在需要找到經過一組特定點的曲線時，可采用交點曲線系解決策略。

［例5］證明橢圓[x220+y25=1]與雙曲線[x212-y23=1]的交點在同一個圓上。

證明：∵橢圓和雙曲線的方程可分別化為[x2+4y2-20=0]，[x2-4y2-12=0]，故過它們交點的曲線系方程可設為（[x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0]，

即（[1+λ）x2+（4-4λ）y2-20-12λ=0]，[（＊）]

當[1+λ=4-4λ≠0]，即[λ=35]時，[（＊）]式表示圓[x2+y2=17]，∴橢圓[x220+y25=1]與雙曲線[x212-y23=1]的交點在同一圓上。

評注：交點問題的解法不唯一，但運用曲線系理論引入一個參數求解較為簡單，它在很大程度上避免了繁雜的運算。這種設參策略還可以用于解決過兩直線交點的直線系方程、過直線與圓交點的圓系方程、過圓與圓交點的圓系方程等問題，但是要注意設參后新參數的取值范圍。

五、定值問題設參策略

定值問題通常涉及圓錐曲線中的某些量在變化過程中，某個量的值保持不變，即為一個定值。解決這類問題的關鍵在于消掉所有參數，使得某個量成為一個無參的數值。在設定參數時，常用的參數包括點（可能是兩個參數，注意橫坐標要滿足圓錐曲線方程）、角（常將圓錐曲線上的點設為三角函數角的形式）和斜率（最常用的參數，但需要考慮斜率是否存在的情況）。

［例6］如圖2，射線[y=2x（x≥0）]交橢圓[x22+y24=1]于點[A]，過點[A]作兩條傾角互補的直線，與橢圓分別交于異于點[A]的點[B]和點[C]。求直線[BC]的斜率[k0]。

解：由[y=2x（x≥0），2x2+y2=4，]解得[A（1，2）]，設直線[AB]的斜率為[k]，則直線[AC]的斜率為-[k]，直線[AB]的方程為[y-2=k（x-1）]，即[y=k（x-1）+2]，代入[2x2+y2=4]，并整理得[（x-1）（2+k2）（x-1）+4+22k=0]，∵[xB≠1]，故[xB=1-4+22k2+k2]，從而[yB=2-4k+22k22+k2]，∴[B1-4+22k2+k2，2-4k+22k22+k2]，將[k]換成[-k]，即得[C1-4-22k2+k2]，[2-22k2-4k2+k2]，∴[yB-yC=-8k2+k2]，[xB-xC=-42k2+k2]，∴[k0=yB-yCxB-xC=8k42k=2。]

評注：根據本題的已知條件，易知[A]為定點，而[B]、[C]為動點，[k0]“照理”應隨[B]、[C]的變化而變化，但[B]、[C]又由[AB]、[AC]確定，[AB]與[AC]傾角互補，因而只要選直線[AB]的斜率為[k]，從而[B]、[C]都可由[k]表示出來，于是[k0]也就可由[k]表示出來，如果[k0]為定值，則最終[k]自然消掉。定值問題通常需要用到設參數法，在計算過程中參數往往可以消去或解出，從而得常數值。

六、軌跡問題設參策略

軌跡問題設參策略是指先引入一個參數，使得動點的橫、縱坐標建立起聯系，然后根據題目的已知條件消去參數得到直接關系式，即得到所求的軌跡方程。若存在變量，且動點由多個因素共同決定位置，則設出相應位置的參數，根據題中的條件找出等量關系，用參數分別表示出動點的橫、縱坐標，然后消去參數。

［例7］如圖3，給出定點[（a，0）（agt;0）]和直線[l]：[x=-1]，[B]是直線[l]上的動點，[∠BOA]的平分線交[AB]于點[C]，求點[C]的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與[a]的關系。

解：設[B（-1，t）]，[C（x，y）]，則[OB=1+t2]，點[C]分[BA]所成的比為[λ=BCCA=OBOA=1+t2a，]∴[x+1a-x=y-t-y=1+t2a]，消去[t]并整理得點[C]的軌跡方程為[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x≤a）] 。

當[a=1]時，軌跡方程為[y2=x（0≤x≤1）]，表示拋物線弧段；當[a≠1]時，軌跡方程為[x-21-a2a1-a2+y2a21-a2=1（0≤x≤a）]。所以，當[0lt;alt;1]時，軌跡為橢圓弧段；當[agt;1]時，軌跡為雙曲線一支上的弧段。

評注：在解決軌跡問題時，如果動點[P（x，y）]的坐標關系不易找到，也沒有其他相關條件可用，就需分析出與動點相互影響、相互決定的變化因素，合理引進參數來建立動點坐標間的關系，消去參數即可得動點的軌跡方程。常引用的參數有邊參數、角參數、斜率參數、點參數、比參數等。

通過上述例子，我們可以深刻地體會到：換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換。在很多圓錐曲線問題中，已知與未知之間的聯系并不明顯，而且題型多種多樣，在無法利用常規思路進行解題或是解題過程過于煩冗時，可以考慮引參換元，為已知與未知“牽線搭橋”，當然，在解題時要考慮引入參數的取值范圍。引參換元策略靈活多樣，它不但在圓錐曲線問題中有廣泛的應用，而且在研究方程、不等式、數列、三角函數等問題中都有廣泛的應用。在解答這些問題時，要對有關式子、條件特征進行觀察，分析已知條件的用處，從而針對性地選擇引參換元解題策略。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 鄒青.活用參數，簡求圓錐曲線問題[J].高中數理化，2022（21）：62-63.

[2]" 楊威靈，方志平.借用換元引參巧解數學競賽試題[J].高中數學教與學，2019（17）：43-45.

[3]" 余建國.合理選擇參數，簡化運算：以圓錐曲線問題為例[J].新世紀智能，2019（6）：33-34.

[4]" 孫雷鳴.求解圓錐曲線中定值問題的若干策略[J]. 中學教學研究，2022（9）：60-61.

（責任編輯 黃春香）