數(shù)據(jù)分析視角下高考概率與統(tǒng)計試題特征

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》將“數(shù)據(jù)分析”列為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程，主要表現(xiàn)為：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論。

概率與統(tǒng)計部分，作為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。其中，數(shù)據(jù)分析是概率與統(tǒng)計的核心，概率與統(tǒng)計是學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)發(fā)展的知識載體。

為有效提高數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，準(zhǔn)確探求高考命題規(guī)律，下面結(jié)合2023年高考概率與統(tǒng)計試題，和同學(xué)們一起實際感受數(shù)據(jù)分析視角下高考概率與統(tǒng)計試題的命題特征。

一、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之收集數(shù)據(jù)

例1 （2023 年新高考全國Ⅱ 卷第3題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400 名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）。

A.C44500·C12500 種 B.C24000·C42000 種

C.C34000·C32000 種 D.C44000·C22000 種

解析：因為初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，所以人數(shù)比例為400∶200=2∶1，需要從初中部抽取40人，高中部抽取20人。

故不同的抽樣結(jié)果共有C44000·C22000 種，選D。

例2 （2023年天津卷理科第13 題）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的、完全相同的黑球和白球，總數(shù)之比為5∶4∶6。

這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%。現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為____;將三個盒子混合后任取一個球，取到白球的概率為____。

解析：設(shè)甲、乙、丙三個盒子中球的個數(shù)分別為5n，4n，6n，則總數(shù)為15n。

則甲盒中黑球個數(shù)為40%×5n=2n，白球個數(shù)為3n。

乙盒中黑球個數(shù)為25%×4n=n，白球個數(shù)為3n。

丙盒中黑球個數(shù)為50%×6n=3n，白球個數(shù)為3n。

記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，則P （A ）=0.4×0.25×0.5=0.05。

記“將三個盒子混合后任取一個球，取到白球”為事件B，黑球總共有2n+n+3n=6n個，白球共有9n 個，則P（B）=9n/15n=3/5。

點評： 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之收集數(shù)據(jù)主要包括：能夠掌握運用調(diào)研、試驗和查閱資料等收集數(shù)據(jù)的基本方法;根據(jù)解題的需要，選擇隨機抽樣、分層抽樣等不同的抽樣方法收集數(shù)據(jù);合理運用餅狀圖、條形圖等統(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行直觀描述;能夠通過統(tǒng)計圖表識別數(shù)據(jù)的數(shù)字特征。

二、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之整理數(shù)據(jù)

例3 （2023年上海卷第14題）根據(jù)身高和體重散點圖（圖1），下列說法正確的是（ ）。

A.身高越高，體重越重

B.身高越高，體重越輕

C.身高與體重成正相關(guān)

D.身高與體重成負相關(guān)

解析：根據(jù)散點圖可知，散點的分布是從左下到右上，則身高和體重成正相關(guān)。故選C。

例4 （2023年天津卷理科第7題）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖2所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.824 5，下列說法正確的是（ ）。

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性

B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)

C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.824 5

解析：根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，故A 選項錯誤。

散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，故B 選項錯誤，C選項正確。

由于r=0.824 5是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，也可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.824 5，故D選項錯誤。

故選C。

例5 （2023年上海卷第9題）國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量地區(qū)經(jīng)濟狀況的最佳指標(biāo)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP 逐月增加。已知第一季度的GDP為231（單位：億元），第四季度的GDP為242（單位：億元），且四個季度的GDP 中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該市2020 年的GDP總額為____。

解析：設(shè)第二季度GDP 為x 億元，第三季度GDP為y 億元，則231lt;xlt;ylt;242。

因為中位數(shù)與平均數(shù)相同，所以x+y/2 =231+x+y+242/4 ，即x+y=473。

因此，該市2020年的GDP總額為231+x+y+242=946（億元）。

例6 （2023 年全國乙卷理科第17題） 某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗均選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率。甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i=1，2，…，10）。

試驗結(jié)果如表1所示。

記zi =xi -yi （i=1，2，…，10），記z1，z2，…，z10 的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2。

（1）求z，s2;

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（若z≥2根號下 s2/10，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）。

解析：（1）由題意可得：

所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高。

點評：數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之整理數(shù)據(jù)主要包括：能夠運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法處理數(shù)據(jù);能夠綜合運用數(shù)字、文字、 圖形、表格等多種形式描述數(shù)據(jù)，并認清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系;能夠利用相關(guān)公式計算樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差等數(shù)字特征。

三、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之構(gòu)建模型

例7 （2023年新高考全國Ⅱ 卷第19題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖3、圖4所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖。

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c 的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性。此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）;誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）。假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率。

（1）當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c 和誤診率q（c）;

（2）設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c），當(dāng)c∈[95，105]時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]內(nèi)的最小值。

解析：（1）依題可知，圖3中第一個小矩形的面積為5×0.002gt;0.5%，所以95

q（c）=0.01×（97.5-95）+5×0.002=0.035=3.5%。

（2）當(dāng)c∈[95，100]時，f（c）=p（c）+q（c）=（c-95）×0.002+（100-c）×0.01+5×0.002 =-0.008c+0.82≥0.02;當(dāng)c∈（100，105]時，f（c）=p（c）+q（c）=5×0.002+ （c-100）×0.012+ （105-c）×0.002=0.01c-0.98gt;0.02。

點評：數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之構(gòu)建模型主要包括：能夠根據(jù)問題的需要，用合適的度量來表達數(shù)據(jù)的差異性;合理構(gòu)建常見的兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布等概率模型。

四、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之分析推斷

例8 （2023年北京卷理科第18 題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表2所示。在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高;用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低;用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同。

用頻率估計概率。

（1）試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率。

（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的。在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率。

（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響。判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、 “下跌”和 “不變”的概率估計值哪個最大。（結(jié)論不要求證明）

解析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，40天里，有16個+，即16天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為16/40=0.4。

（2）在這40天里，16天上漲，14天下跌，10天不變，即上漲，下跌，不變的概率分別是0.4，0.35，0.25。

于是未來的日子里任取4天，2天上漲，1天下跌，1 天不變的概率是C24×0.42 ×C12×0.35×0.25=0.168。

（3）由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，概率為4/15;不變的有9次，概率為3/5;下跌的有2次，概率為2/15。

因此估計第41天不變的概率估計值最大。

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的提升是學(xué)生發(fā)展的重要基石，更是高考的主要考查內(nèi)容。對于概率與統(tǒng)計部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)，同學(xué)們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，明晰概率意義和統(tǒng)計思想，明確數(shù)據(jù)分析的方法，明了高考試題的命題特征，學(xué)會針對不同問題，運用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計或概率模型解決問題。

（責(zé)任編輯 徐利杰）