動態非線性參數的反向學習黏菌算法

摘"要：針對黏菌算法收斂精度較低、易陷入局部最優和收斂速度較慢的問題，提出了一種動態非線性參數的反向學習黏菌算法.利用反向學習策略豐富種群多樣性，獲得更好的種群作為初始種群，提高算法優化性能和收斂速度；提出動態非線性遞減策略，動態調整黏菌搜索區域;平衡算法全局探索和局部開發能力，提高算法跳出局部最優解的能力，提高收斂精度.不同算法之間的實驗對比是使用幾個基準測試函數進行的，結果表明，改進算法具有更強的尋優特性和更快的收斂速度，并且收斂精度得到了不同程度的提高.最后通過2個工程設計問題驗證了改進算法在實際應用問題中的可靠性和有效性.

關鍵詞：反向學習；動態非線性遞減；黏菌算法；算法優化

中圖分類號：TP301.6

文獻標志碼：A

0"引"言

群體智能算法是一種模擬動物、昆蟲、魚類和鳥類行為的算法.由于其具有簡單、靈活及處理問題高效的優點，被應用于解決許多實際的優化問題.目前已經開發出來了許多群智能算法，如蝴蝶優化算法（butterfiy optimization algorithm，BOA）^［1］、海鷗優化算法（seagull optimization algorithm，SOA）^［2］、麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）^［3］、鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）^［4］、算術優化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）^［5］等.黏菌優化算法（slime mold algorithm，SMA）是由Li等^［6］在2020年根據黏菌覓食行為變化提出的一種群智能算法，與其他群智能優化算法相比，SMA具有良好的優化性能，已經成功應用于旅行商問題^［7］、機器人路徑規劃^［8］及光伏發電^［9］等領域.盡管如此，SMA也存在過分依賴種群初始解、容易早熟、收斂速度慢及收斂精度低等缺點.因此，相關研究人員針對上述問題進行了改進.Yu等^［10］將量子旋轉門和水循環引入SMA，協調了算法的全局探索和局部開發能力；賈鶴鳴等^［11］融合算術優化算法，改進搜索策略；劉成漢等^［12］增加交叉算子和自適應反饋因子來優化算法的尋優性能；郭雨鑫等^［13］采用精英反向與二次插值方法避免算法陷入局部解，并提高了算法的收斂精度；Wei等^［14］將SMA進行簡化并且運用到無線路由覆蓋上；Naik等^［15］提出了領導者黏菌算法并用于解決圖像分割問題；Houssein等^［16］融合SMA和自適應引導差分進化算法，將SMA的局部開發能力和差分進化算法的全局探索能力相結合；Hassan等^［17］將改進SMA應用于經濟排放調度問題；Abdollahzadeh等^［18］將SMA二進制化來解決0-1背包問題；Chakraborty等^［19］提出了一種二次逼近的混合SMA，以緩解SMA陷入局部最優的問題.上面所列文獻從不同方面對算法進行了改進，盡管黏菌優化算法的性能得到了不同程度的提高，但是面對一些擁有多個局部最優解的復雜函數依然會有收斂速度不理想及收斂精度不夠等問題.因此，本文提出一種動態非線性參數的反向學習黏菌算法（dynamic nonlinear parameter opposition-based learning slime mold algorithm，DOLSMA），以提升SMA的收斂速度和精度.

1"SMA

黏菌接近食物的行為用公式表示為，

X（t+1）=X_b（t）+vb（WX_A（t）－X_B（t）），rlt;pvcX（t），r≥p（1）

在該模型中，黏菌在每次迭代中通過與食物濃度最佳位置X_b（t）進行比較來調整自己的位置.X（t+1）表示黏菌第t+1次迭代時的位置，X（t）表示第t次迭代的位置.同時，黏菌會隨機選擇X_A（t）和X_B（t）2個隨機個體進行交流與合作，通過vb（范圍為［-b，b］，b=arch（1-（t/T）））和vc（范圍為［-c，c］，c=1-（t/T））來調整自己的位置，t為當前迭代次數，T是最大迭代次數，以及通過計算p（p=tanh（|S（i）-ZF|））值來更新自己的位置，r為［0，1］的隨機數，S（i）表示第i個黏菌個體的適應度值，ZF代表最優適應度值.權重系數W也會影響其位置的調整，其公式為，

W（Sort（i））=1+rlog（yF－S（i）yF－cF+1） ，half1－rlog（yF－S（i）yF－cF+1），others（2）"Sort=sort（S）（3）

式中，half為適應度前一半的個體，yF為當前迭代過程中最優適應度值，cF表示當前迭代中最差適應度值，Sort表示個體按適應度值升序排好的序列.

黏菌個體需要不斷調整自己的位置和速度，以便有效地環繞食物，并且在搜索過程中不斷優化路徑，以使得個體能夠在解空間中找到最優解.從而提高算法的搜索效率和收斂速度.通過上述理論，該階段黏菌行為可用公式表示為，

X（t+1）=rand（ub－lb）+lb，rlt;zX_b（t）+vb（WX_A（t）－X_B（t）），rlt;pvcX（t），r≥p（4）

式中，rand和r是區間［0，1］中的隨機值;ub和lb是搜索區域的上限和下限；z是隨機分布的黏菌個體占黏菌總群的比值，傳統黏菌算法中z的值為0.03.

SMA的步驟如下所示：

Step1 設定參數，初始化種群，并計算適應度值；

Step2 計算權重系數W和參數b；

Step3 每次迭代通過公式（4）更新個體位置、參數p、向量vb和vc；

Step4 計算適應度值，更新全局最優值和最佳適應度值；

Step5 判斷是否滿足約束條件，若滿足，則輸出全局最優值；否則重復Step2～Step5.

2"DOLSMA

2.1"反向學習策略

反向學習策略^［20］是用于提高算法尋優性能的一種方法，因為反向解可能位于最優解的不同側，從而能夠加速搜索最優解的過程.反向解的定義：如果在M維空間上存在一點X_i，并且X_i分布在［L_i，U_i］區間內，X_io為X_i的反向解，反向解的計算公式為，

X_io=L_i+U_i－X_i（5）

式中，U_i和L_i分別為解的上下界，X_i為當前解，X_io為反向解.

本研究先利用反向學習方法求解當前種群的反向種群，再從當前種群和反向種群的并集中選取適應度前N個點作為初始種群，豐富初始種群的多樣性和提高種群質量，提升算法的收斂速度.

2.2"動態非線性遞減策略

在SMA迭代過程中，當rlt;p時，黏菌移動方向由振蕩向量vb來決定，而vb又由b決定，所以算法的全局探索和局部開發能力之間的平衡跟參數b有著不可或缺的關系.傳統的SMA中，b值在前期迭代衰減迅速，而前期b值過小，算法容易陷入局部最優解^［21］.所以提出非線性遞減策略^［22］，新策略中參數b的計算公式為，

b=k₁（1－tT）^（k₂^tT）（6）

式中，k₁和k₂的值與b呈正相關，即k₁和k₂的值越大，b的下降速度越快，值域也越大.公式（6）用于調節b的下降速率和值域大小.根據多次實驗分析對比最終取k₁ =1.5，k₂ =5.改進后的參數b在迭代前期緩慢減小，使得算法的搜索范圍變得更大.公式（6）在后期迭代中控制vb大小，有利于提高算法的精度和開發速度.

當r≥p時，黏菌移動方向由速度向量vc決定，而向量vc又由參數c決定.傳統SMA中，c在［1，0］中線性遞減，迭代過程中c值太大，振蕩幅度也會過大，算法容易錯過最優解.所以c值在迭代過程中應該快速下降.重新定義參數c的計算公式為，

c=（c_max－t（c_max－c_min）T）^k（7）

傳統SMA中，c_max =1，c_min =0.根據多次實驗分析可得，k值太大會導致算法后期振幅過小，增加達到最優值的時間;k值太小會導致算法迭代前期振幅過大，錯過最優解，降低算法的收斂速度.為了協調算法的全局探索和局部開發，最終定義k=4.

本研究提出的DOLSMA步驟如下：

Step1 設定參數，通過公式（5）初始化種群，并計算適應度值；

Step2 計算權重系數W和參數b；

Step3 每次迭代通過公式（4）更新個體位置和參數p，通過公式（6）和（7）更新向量vb和vc；

Step4 計算適應度值，更新全局最優值和最佳適應度值；

Step5 判斷是否滿足約束條件，若滿足，則輸出全局最優值；否則重復Step2～Step5.

3"DOLSMA性能測試與分析

3.1"測試函數

本研究選取7個測試函數進行實驗，其中f₁～f₄為單峰函數，f₅～f₇為多峰函數，詳見表1.

本次仿真實驗環境為Windows 10，64位操作系統，中央處理器為Intel Core i5-8300H，仿真軟件為pycharm 2021.3.3.

3.2"與其他群智能算法進行對比

將BOA、SSA、WOA、SMA和本研究改進的DOLSMA算法進行實驗對比.為了保證公平性，所有算法的種群規模設置為30，維度設置為30，最大迭代次數設置為500;為了減少隨機因素的影響，將所有算法都在每個測試函數獨立運行30次，記錄每次結果的平均值、標準差、最優值和最差值，并取30次結果的平均值，結果見表2.

由表2的測試結果可知，對于所選測試函數，在函數f₁～f₄中，DOLSMA算法的平均值、標準差、最優值和最差值均達到了極值點0.雖然f₁和f₃中，SMA的標準差和最優值也為0，但平均值和最差值均為DOLSMA最優.f₃和f₄中，SSA的最優值都為0，但平均值、標準差和最差值都不如DOLSMA.f₅和f₇中，SSA和WOA的最優值都為0，但SMA和DOLSMA的平均值、標準差、最優值和最差值均達到了極值點0.f₆中，SMA和DOLSMA的標準差都為0，優于其他算法，但其余3項指標均為DOLSMA最優.無論是單峰還是多峰函數，DOLSMA的尋優效果最好，優于BOA、SSA、WOA和SMA.

為了直觀對比各個算法的求解精度和尋優效果，圖1給出f₁～f₇各個測試函數獨立運行30次后的平均收斂曲線.

由圖1可知，函數f₁～f₄中，DOLSMA的收斂精度和收斂速度都遠超于BOA、SSA、WOA和SMA；函數f₅和f₇中，DOLSMA與SMA的精度都達到最優時，DOLSMA收斂速度明顯優于SMA;函數f₆中，DOLSMA的收斂速度也優于其他算法.綜上所述，DOLSMA的尋優速度和精度都優于其他4種算法.

3.3"改進策略的有效性分析

為了驗證DOLSMA是否比僅使用了單一策略的效果更好，將只使用了反向學習策略的黏菌算法（opposition-based learning slime mold algorithm，OLSMA）、僅采用了動態非線性參數策略的黏菌算法

（dynamic nonlinear parameter slime mold algorithm，DSMA）和本研究的DOLSMA進行了實驗對比.設置最大迭代次數100，維度30，種群大小30，在函數f₁～f₄上獨立運行30次，記錄每次運行結果的平均值、標準差、最優值和最差值，并取30次運行結果的平均值.實驗結果見表3.

由表3可知，f₁和f₃中，DSMA和DOLSMA的標準差和最優值都為0，但DOLSMA的平均值和最差值都優于DSMA；f₂中，雖然DSMA的最優值最佳，但DOLSMA的平均值、標準差和最差值都為最優;f₄中，DOLSMA的4項指標都優于DSMA和OLSMA.綜上所述，DOLSMA的收斂速度和精度均優于只采用了單一策略的DSMA和OLSMA.

實驗表明，僅采用單一策略對SMA的提升有一定限制，而DOLSMA對SMA有了大幅度提升.引入反向學習策略能夠優化初始種群，提高種群質量，并加快算法搜索速度，使算法到達最優解的時間縮短，為后期尋優奠定了基礎.而動態非線性遞減策略在本研究中起了主導作用，協調了算法的全局尋優和局部探索能力，避免算法陷入局部最優解，提高了算法的收斂精度，2種策略相結合使得SMA的尋優性能獲得全方位提升.

4"工程設計問題

為了測試DOLSMA在實際應用中的可行性，本研究選取了拉簧設計問題和壓力容器設計問題進行仿真實驗.設置實驗最大迭代次數為500，種群規模為50，維度分別為3和4.

4.1"拉簧優化設計問題

如圖2所示，拉伸彈簧設計的主要目標是通過選擇3個變量，即導線直徑d、活動線圈數量N和彈簧平均直徑D來使重量最小化，其數學模型表示為，

minf（x）=（x₃+2）x₂x²₁（8）

約束條件為，

g₁（x）=1-x³₂71 785x⁴₁≤0（9）

g₂（x）=4x²₂-x₁x₂12 566（x₂x³₁-x⁴₁）+15 108x²₁≤0（10）

g₃（x）=1-140.45x₁x³₂x₃≤0（11）

g₄（x）=x₁+x₂1.5－1≤0（12）

式中，0.05≤x₁≤2，0.25≤x₂≤1.3，2≤x₃≤15.

實驗結果見表4.由實驗結果可以看出，DOLSMA是5種算法中求解效果最好的，BOA所得最優適應度值最大，其他算法介于兩者之間且差距不大，說明改進算法對于解決這類工程問題效果非常不錯.

4.2"壓力容器設計問題

如圖3所示，設計壓力容器的主要目標是通過選擇4個變量（內半徑R、壓力容器筒體厚度T_s、封頭厚度T_h和圓柱截面長度L）在確保容器功能的前提下使得制造成本最低.該問題的數學模型表示為，

x=［x₁，x₂，x₃，x₄］=［T_s，T_h，R，L］（13）

minf（x）=0.622 4 x₁x₃x₄+1.778 1x₂x²₃+3166 1x²₁x₄+19.84x²₁x₃（14）

目標函數的約束條件為，

g₁（x）=－x₁+0.019 3x₃≤0（15）

g₂（x）=－x₂+0.009 54x₃≤0（16）

g₃（x）=-πx²₃-4πx³₃3+129 600≤0（17）

g₄（x）=x₄－240≤0（18）

式中，0≤x₁≤100，0≤x₂≤100，10≤x₃≤100，10≤x₄≤100.

實驗結果見表5，可以看出，除了BOA其余各個算法求解結果都相差不大，但DOLSMA得到的最優適應度值是最小的，說明改進算法求解該問題的效果顯著.

由以上實驗結果可知，DOLSMA在解決不同工程設計問題時能提供可行的解決方案和值得信賴的求解能力.

5"結"語

SMA是一種強大的優化工具，適用于各種工程優化問題的求解，并且在實踐中取得了很好的效果，但面對一些復雜的多維函數，表現效果不是很理想，因此本研究提出的DOLSMA采用反向學習策略豐富了初始種群，優化了種群質量，為全局尋優提供了基礎.動態非線性參數平衡和優化了算法的全局探索，以及局部開發能力，有利于算法進行全局尋優和提高算法的收斂速度和精度.根據測試函數的實驗結果表明，通過反向學習和動態非線性參數策略的融合，較好地提升了SMA的收斂速度，獲得了較高的搜索效率，而且擁有較高的收斂精度，驗證了改進算法的有效性.最后通過2個工程設計問題進行測試，驗證了DOLSMA在解決實際問題的可行性和穩定性.

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（實習編輯：林"璐）

Opposition-Based Learning Slime Mold Algorithm of Dynamic Nonlinear Parameters

RAO Shuang¹， QU Liangdong²， MEI Yulin¹

（1.College of Electronic Information，Guangxi Minzu University，Nanning 530006，China;

2.College of Artificial Intelligence，Guangxi Minzu University，Nanning 530006，China）

Abstract：

In response to the low convergence accuracy，propensity for local optima，and slow convergence speed of the slime mold algorithm，a dynamic nonlinear parameter opposition-based learning slime mold algorithm is proposed.By using a opposition-based learning strategy to enrich population diversity and obtain a better initial population，the algorithm′s optimization performance and convergence speed are improved.A dynamic nonlinear decreasing strategy is introduced to dynamically adjust the slime mold search area，to coordinate global exploration and local development to enhance the algorithm′s ability to avoid local optima and to improve convergence accuracy.Experimental comparisons between different algorithms are conducted by using several benchmark test functions.The results show that the improved algorithm has stronger optimization characteristics and faster convergence speed，with varying degrees of improvement in convergence accuracy.Finally，the reliability and effectiveness of the improved algorithm in practical application problems are validated through two engineering design problems.

Key words：

opposition-based learning;dynamic nonlinear decreasing;slime mold algorithm;algorithm optimization