考慮橡膠質量的跌落沖擊試驗波形數值模擬

摘"要：模擬跌落沖擊試驗中由橡膠波形發生器產生的半正弦沖擊波，認識大質量橡膠形成的波形與傳統理論計算波形差距較大的問題，指導跌落沖擊試驗設計與調試.考慮橡膠質量，建立多自由度彈簧質量系統力學模型，聯立運動方程組并求解，對比模型計算得到的加速度響應與實際試驗加速度響應，經驗證后進行了相關參數敏感性分析.力學模型求解得到加速度響應與實際試驗測得加速度響應在幅值和脈寬上基本吻合，且變化趨勢大致相符，相比于傳統理論計算波形更加真實.結果表明，該多自由度彈簧質量系統力學模型，能夠較真實地模擬大質量橡膠波形發生器所產生的加速度響應，可用于指導跌落沖擊試驗設計與調試.

關鍵詞：沖擊試驗；波形發生器；半正弦波；多自由度；彈簧質量系統

中圖分類號：V216.55

文獻標志碼：A

0"引"言

產品在運輸和使用等過程中，會不可避免地遭遇各種沖擊環境.為了測試、考核和評估產品的沖擊環境適應性，沖擊試驗是一種重要的研究手段^［1］.在沖擊試驗中需要生成沖擊波形，通常可采用電模擬和機械模擬的方式^［2］.電模擬主要采用電磁式振動臺等設備，但其價格較高，且臺面承載、位移、速度和加速度等均受到一定限制.而機械模擬的設備造價低、負載大，可用于大位移、高速度和高加速度情況的波形模擬，在工程實踐中應用較為廣泛.

跌落式沖擊機，是一種典型的機械模擬沖擊試驗設備，其基本結構如圖1所示，可產生相關試驗標準中規定的半正弦波、梯形波和后鋒鋸齒波等時域加速度沖擊波形^［3］.其基本原理是：將試件通過夾具安裝在臺面上，提升至一定高度，在底座上布置波形發生器，使臺面、夾具和試件下落碰撞波形發生器，從而對試件產生沖擊載荷.其中，半正弦沖擊波形最為常用，可由橡膠、金屬板簧和高強塑料等波形發生器產生^［4］.橡膠波形發生器由于彈性極限高、成本低與可重復使用等優點，較為廣泛地用于產生半正弦波.

對于跌落沖擊波形的分析，此前一般使用線性振動理論^［5］，將橡膠波形發生器視為線彈性材料，假設其為線性彈簧且不考慮阻尼.但是，橡膠材料的力學行為并不是理想線彈性的，具有硬非線性特性.毛勇建^［1］通過加入三次項的方式考慮了橡膠的硬非線性，給出了運動方程并求解，得到了標準半正弦波將蛻變為鐘形波的結論.王超等^［6］根據彈性力學的赫茲理論，在動力學方程中引入了接觸壓力，考慮了材料屬性和結構參數等因素的影響.Wen等^［7］提出了高精度的非線性動力學模型和參數辨識方法來預測橡膠波形發生器產生的沖擊脈沖，考慮到了底座的質量、橡膠的非線性黏彈性和幾何尺寸等因素.徐曼^［8］建立了二自由度動力學模型，考慮了沖擊臺底座的質量、減震系統的阻尼與橡膠的阻尼等因素.這些研究所得計算結果在大多數情況下都與實際測試結果吻合度較高.

但是，上述研究均存在著一個共同的特點，即沒有考慮橡膠波形發生器本身的質量.當橡膠波形發生器的質量較大時，會使試驗所得到的加速度波形不再呈現標準的半正弦波或者鐘形波，由前述方法得到的理論波形與實際測試波形相比將產生較大誤差.本研究采用多自由度彈簧質量系統作為跌落沖擊機的力學模型，將橡膠的質量考慮在內，研究橡膠質量與模型參數等相關因素對加速度波形的影響，為半正弦波模擬理論研究提供新的思路，也為應用大質量橡膠波形發生器的跌落沖擊試驗提供與實際情況更相符的理論指導.

1"跌落沖擊的傳統力學模型

根據文獻［1-3］，跌落沖擊的傳統力學模型主要分為線性和非線性2種.前者求解可得標準半正弦波，后者以引入三次項為主，可求解得到鐘形波.

1.1"線性彈簧力學模型

假設橡膠波形發生器是一個不考慮阻尼的線性彈簧，其剛度為K.由臺面、夾具和試件所組成的整體質量為M，該組合體的位移為u，從臺面底面距離波形發生器表面的高度為h.整個跌落沖擊試驗大致過程如下：質量塊M由高度h位置處自由下落，之后與橡膠波形發生器碰撞，碰撞前的瞬時速度可視為碰撞加載速度，碰撞使橡膠達到最大壓縮位置，后又反向恢復到平衡位置，構成1次沖擊.由于橡膠波形發生器只能承受壓力，不能承受拉力，故通常只能得到沖擊過程中所產生的正向加速度波形，因此，被稱為半正弦波.

一般臺面與波形發生器的碰撞作用力遠大于質量塊M的重力，故可忽略沖擊過程中重力的影響，忽略質量塊M所導致的橡膠靜態壓縮位移.規定臺面底面與橡膠波形發生器發生碰撞的瞬間為零時刻，以此時質量塊M的中心為坐標原點，規定位移向上為正方向，力學模型如圖2所示.

可利用牛頓第二定律列出該線性彈簧力學模型的數學方程為，

Mü+F（u）=0

F（u）=Ku（1）

式中，F（u）表示橡膠波形發生器的恢復力，是質量塊位移u的函數;ü表示質量塊M的加速度.假設碰撞時刻初始位移為0，初始速度為v₀，可求解得到試件受沖擊的加速度響應波形.初始速度v₀可由機械能守恒定律求得，

Mgh=12Mv²₀（2）

式中，g為重力加速度，一般取9.8 m/s².某次求解線性彈簧力學模型所得到的標準半正弦波如圖3所示.

1.2"非線性彈簧力學模型

傳統的非線性彈簧力學模型通常也可以用圖2來表征，其與線性模型的主要區別在于橡膠恢復力

F（u）有所不同.以常用的引入三次項的方法為例，傳統非線性彈簧力學模型的數學方程為，

Mü+F（u）=0

F（u）=Ku+βu³（3）

式中，β為非線性系數.由于該方程含有非線性項，求解析解比較困難，一般可采用數值解法進行求解^［1］.結合初始條件表達式，

u｜_t=0=0

u·｜_t=0=v₀=-2gh（4）

可以對方程（3）降階后采用四階龍格庫塔法求解.其中t表示時間，u·表示質量塊M的速度，規定向上為正方向，故初始速度為負值.

由非線性彈簧力學模型求解得到的波形將由標準半正弦波蛻化為鐘形波.圖4為某次實際沖擊試驗中測得的鐘形波，說明相比于線性模型，非線性力學模型在某些情況下與實際情況更加符合.其根源在于橡膠波形發生器所表現出來的硬非線性特性.

2"多自由度彈簧質量系統力學模型

當橡膠波形發生器的質量較大時，跌落沖擊試驗得到的波形有可能不再呈現標準的半正弦波或鐘形波，如某次試驗所得波形如圖5所示.若仍使用傳統的力學模型求解加速度波形，將與實際測得的波形產生較大差距，這就需要在力學模型中考慮到橡膠的質量這一因素.

2.1"多自由度力學模型及其運動方程組

圖5所示的加速度波形由4塊橡膠波形發生器產生，每塊波形發生器為9層橡膠板串聯而成，如圖6所示.

每塊橡膠板的長為600 mm，寬為600 mm，厚度為100 mm，密度約為600 kg/m³.進一步可算得每塊橡膠板的質量m₀為21.6 kg，共有36塊橡膠板，總質量為777.6 kg.而該次試驗中夾具、試件和臺面的總質量M約為3 500 kg，故此時橡膠波形發生器的質量影響應當加以考慮.

假設圖6中的36塊橡膠板完全相同，則由其組成的4塊橡膠波形發生器將同時受到臺面的沖擊作用，且形變過程完全相同，故可以等效為1塊波形發生器.此等效波形發生器由9層橡膠板串聯組成，每一層橡膠板的質量為4塊橡膠板的質量之和，其所受到的外力也是4塊橡膠板的合力.由上述假設，拓

展圖2所示的彈簧力學模型，考慮橡膠波形發生器的質量，可建立多自由度彈簧質量系統力學模型.規定位移向上為正方向，選取其中序號為1和8的橡膠塊m，以及質量塊M進行受力分析，如圖7所示.

其中，u₁～u₈分別表示序號為1～8的橡膠塊m的位移，u₉表示質量塊M的位移.F（u₉-u₈）和F（u₈-u₇）等可以統一表示為F（Δu），其物理含義為彈簧施加在物體上的外力，為彈簧形變量Δu的函數.每層橡膠板的厚度為100 mm，故每個彈簧的最大壓縮量應小于100 mm.因此，在多自由度彈簧質量系統力學模型中，共有9個彈簧，分別對應了9層橡膠板，與實際試驗情況更符合.但是，這將不可避免地導致該力學模型使9層橡膠板的總質量等分為8個橡膠塊m，即可算得m為97.2 kg.

綜上所述，可列出多自由度彈簧質量系統力學模型的運動方程組為，

mü₁=4F（u₂-u₁）-4F（u₁）

mü₂=4F（u₃-u₂）-4F（u₂-u₁）

mü₃=4F（u₄-u₃）-4F（u₃-u₂）

mü₄=4F（u₅-u₄）-4F（u₄-u₃）

mü₅=4F（u₆-u₅）-4F（u₅-u₄）

mü₆=4F（u₇-u₆）-4F（u₆-u₅）

mü₇=4F（u₈-u₇）-4F（u₇-u₆）

mü₈=4F（u₉-u₈）-4F（u₈-u₇）

mü₉=-4F（u₉-u₈）

（5）

由式（5）可知，除了橡膠的質量以外，另一個對求解結果影響較大的參數為彈簧力F（Δu）.為了計算出與試驗過程中更接近的F（Δu）值，需要較好地擬合所用橡膠板的壓力—位移關系.經過測試，可以利用如下公式進行擬合，

F（Δu）=ae^bΔu+cΔu（6）

式中，Δu的單位是m;F（Δu）的單位是N，a為非線性部分的常數，單位為N/m；b為非線性部分的常數，無單位;c為線性部分的常數，單位為N/m.當a的值取8.233×10^-5，b的值取268.5，c取6.11×10⁵時，該試驗所使用的單塊橡膠板的壓力—位移曲線擬合情況如圖8所示.

由圖8可知，利用式（6）擬合的結果與試驗測試結果比較符合.但應注意的是，測試橡膠板的壓力—位移曲線時為準靜態壓縮過程，而進行跌落沖擊試驗時為動態壓縮，橡膠板的應變率較大，可能存在應變率硬化等現象.故在求解運動方程組時，a、b和c 3個參數的取值可以適當增大.

2.2"力學模型求解與試驗驗證分析

圖5和圖6所示的跌落沖擊試驗工況的跌落高度H為2 m，橡膠波形發生器的總厚度為900 mm，故實際自由下落的高度h為1.1 m，可由式（2）算得初始加載速度約為4.64 m/s.不考慮由重力導致的橡膠板初始靜態壓縮位移，則多自由度彈簧質量系統力學模型的初始條件為，

u₉｜_t=0=0

u·₉｜_t=0=-4.64 m/s

（7）

已知質量塊M為3 500 kg，橡膠塊m為97.2 kg，則將式（6）代入方程組（5）后，可以通過龍格庫塔法求解.需要注意的是，由于F（Δu）的擬合公式中含有指數項，而彈簧形變量Δu一般為負值，負號表示壓縮，則需要將Δu取絕對值后再結合受力方向進行求解.

經求解發現，考慮到橡膠板的應變率硬化現象時，力學模型求解結果與實際試驗結果更符合，故適當增大a、b和c 3個參數的取值，取a為1.07×10^-4，b為268.5，c為1.53×10⁶.考慮硬化現象的單塊橡膠板壓力—位移曲線與準靜態壓縮試驗曲線對比如圖9所示，由此組參數求解運動方程組所得加速度波形如圖10所示.

由圖10可知，由方程組（5）求解得到的理論波形與試驗波形相比，脈寬、幅值及變化趨勢等方面均大致相符，可說明該力學模型的合理性和正確性.考慮了橡膠質量及其硬化現象的多自由度彈簧質量系統力學模型，相比于前人所研究的線性和非線性彈簧力學模型，在橡膠波形發生器質量較大時，運動方程組求解所得的結果與實際試驗測得的波形更加接近.但是，兩者之間仍存在著一些差距，這可能是由

于沒有考慮橡膠的阻尼，跌落試驗裝置存在一定摩擦力，橡膠板的壓力—位移模型參數及其硬化現象考慮得不夠精確，力學模型的前提假設在實際試驗中不一定準確成立等原因.其中，橡膠板的壓力—位移模型及其沖擊硬化現象的影響占主要部分，因為橡膠板的壓力—位移曲線非線性段斜率較高，壓縮狀態下橡膠的較小變形差別將導致較大的作用力差別，從而對加速度波形產生較大影響.

3"多自由度力學模型參數敏感性分析

影響多自由度力學模型求解結果的因素主要有橡膠波形發生器的質量、試件初始下落高度與橡膠板的壓力—位移模型參數3類.以求解圖10結果所用到的相關參數為對照組，即質量塊M為3 500 kg，橡膠塊m為97.2 kg，跌落高度H為2 m，橡膠波形發生器總厚度為900 mm，a為1.07×10^-4，b為268.5，c為1.53×10⁶.依次對這3類參數敏感性進行分析.

3.1"橡膠波形發生器的質量影響分析

本研究所考慮的橡膠波形發生器的質量m′，也就是橡膠的總質量，為力學模型中橡膠塊質量m的8倍，在對照組中的值為777.6 kg.保持對照組其他參數不變，僅改變m′的值，結果如圖11所示.

由圖11可知，隨著橡膠波形發生器質量的減小，加速度響應的最大幅值逐漸減小，脈寬基本不變，波形逐漸趨于半正弦波.這說明當橡膠波形發生器的質量較大時，將使半正弦波發生畸變，而其質量較小時，波形將會趨向于半正弦波或鐘形波.這與傳統的線性和非線性力學模型的研究結論相一致，可進一步證明多自由度彈簧質量系統力學模型的正確性.

當橡膠波形發生器質量達到480 kg以上時，加速度響應不再呈現出明顯的半正弦波形.由于試件、夾具和臺面的總質量M為3 500 kg，故可以推論，當橡膠的總質量占臺面總質量M的13.7%以上時，應當在力學模型中考慮橡膠波形發生器的質量，否則理論波形將與試驗波形產生較大差距.

3.2"試件初始下落高度影響分析

試件的初始下落高度H減去橡膠波形發生器的總厚度900 mm，可得到實際自由下落高度h，再通過式（2）可換算為初始加載速度.保持對照組其他參數不變，僅改變初始下落高度H，結果如圖12所示.

由圖12可知，隨著初始下落高度H的增大，加速度響應的幅值在全脈寬范圍內增大.但是，當高度H增加到3.5 m后，加速度響應產生尖銳的波峰，且波形振蕩更加劇烈.這可能是由于此時初始加載速度較高，導致橡膠板進入了非線性變形區域，隨著變形的增大，其所需外力呈指數性增長，使得由橡膠質量導致的加速度波形畸變效果被突顯放大.

3.3"橡膠板的壓力—位移模型參數影響分析

由式（6）可知，橡膠板的壓力—位移模型參數有a、b和c 3項.保持對照組其他參數不變，分別改變參數a、b和c的值，結果如圖13～圖15所示.

由圖13和圖14可知，當橡膠板的壓力—位移模型參數a和b增大時，其物理含義為彈簧力F（Δu）中的非線性部分影響增大.其結果是加速度響應的第1個波峰處的初始段保持不變，第2個和第3個波峰出現的時間提前，且峰值增大，波形尖銳，脈寬降低.產生這種現象的根本原因是隨著參數a和b的增大，橡膠板的壓力—位移曲線中雖然線彈性段不會發生明顯改變，但非線性段變形所需的外力增大，較小變形將導致較大的作用力差別，由橡膠質量導致的加速度波形畸變效果被放大.

由圖15可知，當橡膠板的壓力—位移模型參數c增大時，其物理含義為彈簧力F（Δu）中的線性部分影響增大.這導致加速度響應的每一個波峰出現的時間均有所提前，峰值增大，脈寬降低.出現這種現象的原因是由于橡膠板的壓力—位移曲線中線彈性段發生了較大改變，橡膠板發生單位長度的彈性形變時所需外力增加，使得在較低沖擊加載的情況下，整個沖擊振動的過程并沒有進入強非線性段，因此加速度響應不會有尖銳的波峰.

需要注意的是，橡膠板壓力—位移模型參數a、b和c對加速度波形的影響實際上具有一定的耦合關系，它們彼此之間并不是相互獨立的.當參數a和b較大時，若參數c在一定范圍內變化，其影響效果會受到限制，反之亦然.

4"結"論

當跌落沖擊試驗所用的橡膠波形發生器質量較大時，試驗所測得的加速度波形將產生畸變，不再呈現半正弦波或鐘形波，與以往的理論研究結果存在較大差距，需要對傳統的力學模型加以改進.本研究建立了多自由度彈簧質量系統力學模型，將橡膠質量這一因素考慮在內，并通過與試驗測試結果相對比的方式，驗證了該多自由度力學模型的正確性，進行相關參數分析后得到如下結論：

1）當橡膠的質量占試件、夾具和臺面總質量的13.7%以上時，應當在力學模型中考慮橡膠波形發生器的質量，否則理論波形將與試驗波形產生較大差距.

2）當跌落高度較高時，初始加載速度較高，這將促使橡膠板變形進入非線性段，從而加劇由橡膠質量所導致的加速度響應波形畸變效果.

3）利用指數函數和一次函數的疊加，可以表征橡膠板的壓力—位移曲線.指數函數部分的參數主要影響非線性特性，一次函數部分的參數主要影響線彈性特性.在應用大質量橡膠波形發生器的跌落沖擊試驗中，若橡膠板變形進入強非線性段，加速度響應波形將出現尖銳的波峰，其幅值可能因此大幅度增加.

4）求解多自由度力學模型所得理論結果與實際試驗測得的波形，在脈寬、幅值及變化趨勢等方面均大致相符.但由于受較多因素影響仍存在一些差距，其中，橡膠板的壓力—位移模型及其沖擊硬化現象的影響占主要部分，還需要深入研究.另外，本研究所用波形發生器為多層橡膠板疊加而成，故按照其實際層數建立了多自由度離散力學模型.若考慮到僅有1塊大厚度、大質量橡膠板的試驗情況，預估也可采用本研究的離散力學模型對其建模，可以沿厚度方向將大橡膠板離散成多個小橡膠板，從而建立多自由度模型對其求解.

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（實習編輯：羅"媛）

Numerical Simulation of Waveforms in Drop Shock Tests Considering Rubber Mass

YANG Jialin，MAO Yongjian，PENG Pai

（Institute of Systems Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang 621999，China）

Abstract：

The purpose of this article is to numerically simulate the half-sine shock wave generated by rubber in drop shock tests，to understand the problem that the wave formed in the case of large-mass rubber is far different from the wave formed by traditional theoretical calculation，and to guide the design and debugging of the drop shock tests.Considering the mass of rubber，a mechanical model of multi-degree-of-freedom spring-mass system was established，and the motion equations of the mechanical model were combined and solved.The acceleration response calculated by the model was verified by the actual test acceleration response，and then the sensitivity analysis of related parameters was carried out.The acceleration response obtained by solving the mechanical model is basically agreeable with that measured in the actual test in terms of amplitude and pulse width，and the change trend is roughly consistent，which is more realistic than that found in the wave formed by traditional theoretical calculation.The mechanical model of multi-degree-of-freedom spring-mass system can more realistically simulate the acceleration response generated by the large-mass rubber waveform generator，and can be used to design and debug drop shock tests.

Key words：

shock test;waveform generator;half sine wave;multiple-degree-of-freedom;spring-mass system