賦s范數Orlicz函數空間的光滑點

摘" 要：光滑點是巴拿赫空間幾何理論中的重要概念，在估計理論，概率論等領域有重要應用。本文中，首先用凸模引入賦s-范數Orlicz空間對偶空間范數，然后討論對偶范數的范數可達性，在此基礎上給出賦s-范數Orlicz空間的支撐泛函的顯式形式，最后給出賦s-范數Orlicz空間光滑點的判據。

關鍵詞：Olicz 函數空間；s-范數；支撐泛函；光滑點

DOI：10.15938/j.jhust.2024.02.018

中圖分類號： O177.3

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）02-0147-06

Smooth Points of Orlicz Function Spaces Equipped with S-norm

XU Hao，" WANG Junming

（School of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China）

Abstract：Smooth points are important concepts in Banach space geometry theory， which have important applications in estimation theory， probability theory and other fields. In this paper， firstly the dual norm of Orlicz space endowed with s-norm is introduced by convex model and then the norm attainability of dual norm is discussed. On this basis， the explicit form of support functional for Orlicz space endowed with s-norm is given. Finally， a criterion for smooth points in Orlicz space endowed with s-norm is presented.

Keywords：Orlicz function space; s-norm; support functional; smooth points

收稿日期： 2022-11-26

基金項目： 國家自然科學基金（11871181）.

作者簡介：

徐" 浩（1993—），男，碩士研究生.

通信作者：

王俊明（1970—），男，博士，教授，E-mail：wjmszx@163.com.

0" 引" 言

自1936年Clarkson引入了一致凸空間，數學工作者們已給出了很多凸性概念，并且充分討論了相應的性質［1］。而光滑性，作為凸性的對偶性質［2］，它與范數有密切的聯系，是巴拿赫空間幾何理論中的重要概念。同時，它在不動點理論、估計理論和概率論中亦有重要應用，因此得到了深入的研究［1］。Orlicz空間作為Lp空間的推廣，是一類重要的Banach空間，由1932年波蘭著名數學家W．Orlicz［3，4］引入，由于其重要的理論和應用價值，Orlicz空間理論［5］得到了充分發展。迄今為止，關于賦Orlicz范數的Orlicz函數空間和序列空間的光滑點［6-9］與賦Luxemburg范數的Orlicz函數空間與序列空間的光滑點［10］以及賦p-Amemiya范數Orlicz函數空間的光滑性［11， 12］都得到了研究。自Wisle引入s-范數［13］以來，s-范數作為更廣泛意義的新范數，它包含上述三種范數，因此對賦s-范數Olicz函數空間［13， 14］光滑點的研究具有深刻意義。本文主要給出賦s-范數Orlicz空間的支撐泛函的顯式形式［1］，并據此得到賦s-范數Orlicz空間光滑點的特征。

1" 預備知識

設X為Banach空間，X* 表示X的對偶空間，（G，∑，μ）表示σ有限的無原子完備測度空間，B（X）和S（X）分別表示X的閉單位球面和單位球面。

設Φ∶瘙綆→［0，∞）是一個Orlicz函數，其中Φ是偶的，bΦ點左連續，（-bΦ，bΦ）上是凸的，且Φ（0）=0，limn→∞Φ（u）=∞。

其中：aΦ=sup{u≥0：Φ（u）=0}，

bΦ=sup{u＞0：Φ（u）＜∞}。

Ψ是Φ在Young意義下的余函數，定義Ψ∶瘙綆→［0，∞）如下：

Ψ（v）=sup{u|v|－Φ（u）∶u≥0}

p+（u）和p_（u）分別表示Φ的右導數和左導數，q+（v）和q_（v）分別表示Ψ的右導數和左導數。

設L0表示定義在G上的可測實函數全體，定義凸模IΦ∶L0→［0，+∞］如下：

IΦ（x）=∫GΦ（x（t））dμ

由Orlicz函數生成的Orlicz空間記為

LΦ={x∈L0（μ）∶cgt;0，IΦ（cx）lt;+∞}

EΦ={x∈L0（μ）∶cgt;0，IΦ（cx）lt;+∞}。

在Orlicz空間中，考慮兩種范數，分別為Luxemburg范數［15］

‖u‖Φ=infλgt;0∶IΦuλ≤1

與Orlicz范數［16］

‖u‖°Φ=sup{∫G|u（t）v（t）|dμ∶v∈LΨ，IΨ（v）≤1}

Amemiya范數［17］

‖u‖AΦ=infkgt;01k（1+IΦ（ku））

Orlicz范數與Amemiya范數相等［18］

‖u‖°Φ=‖u‖AΦ=infkgt;01k（1+IΦ（ku））

令s是一個外函數，即它是一個偶的凸函數，且max{1，k}≤s（k）≤1+k（k≥0） ［13］。

設s是一個外函數，s-范數定義為

‖x‖Φ，s=infkgt;01ks（IΦ（kx））

那么它是一個范數［14］，記LΦ，s=（LΦ，‖·‖Φ，s）是一個賦s-范數的Orlicz空間［13］。

定義1［13］" 稱s， σ互為Hlder共軛函數u+v≤s（u）·σ（v），u，v≥0。

定義2［13］" 對于外函數s，定義s*為

s*（v）=supu≥0u+vs（u）（0≤vlt;∞，s*（∞）=∞），

那么s*是s的最小的Hlder意義下的共軛函數。

定義3" 稱Orlicz函數Φ滿足Φ∈Δ2（∞）條件若K＞0，u0≥0，當|u|≥u0時，Φ（2u）≤KΦ（u）。

定義4［12，13，19］" 設s為外函數，s′+（u）為s的右導數，s′-1+（u）為s′+（u）的反函數，對v∈［0，1］，定義：

ω（v）=∫v0s′-1+（t）dt，

由Young不等式，對于0≤u，v≤1，

uv≤s（u）－1+ω（v）

us′+（u）=s（u）－1+ω（s′+（u））

對0≤u＜∞，0≤v＜∞，定義：

βs（u，v）=1－ω（s′+（u））－vs′+（u），

對于0≤ult;∞， 0≤vlt;∞，定義：

u*（v）=inf{u≥0∶βs（u，v）≤0}

u**（v）=sup{u≥0∶βs（u，v）≥0}

對x∈LΦ/{0}，定義：

k*（x）=inf{k＞0∶βs（IΦ（kx），IΨ（p+（k|x|））≤0}

k**（x）=sup{k＞0∶βs（IΦ（kx），IΨ（p+（k|x|））≥0}

如果k*（x）lt;∞，稱‖·‖Φ，s是k*-有限的

如果k**（x）lt;∞，稱‖·‖Φ，s是k**-有限的

記K（x）=［k*（x），k**（x）］，

當K（x）≠且k∈（0，∞）∩K（x）時，

‖x‖Φ，s=1ks（IΦ（kx））。

在討論光滑點時，我們總是假定K（x）≠。

定義5［12］" 定義ρ*（f）=IΨ（v）+‖φ‖，其中f∈（LΦ）*，v∈LΨ，φ∈F。若φ（EΦ）={0}，稱φ∈F。

定義6" 設X是Banach空間，x∈X，若f∈X*滿足‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖，則稱f為x的支撐泛函，若x的支撐泛函唯一，稱x是光滑點。

定義7［12，13，19］" f∈（LΦ，s）*，定義f的對偶范數為，

‖f‖*Ψ，s*=infkgt;01ks*（ρ*（kf）），那么‖f‖*Ψ，s*是（LΦ，s）*上的范數，且‖f‖=‖f‖*Ψ，s*。

定義8［12，13，19］" 對f∈（LΦ，s）*＼{0}，定義

D（f）={0lt;klt;∞∶ρ*（kf）lt;∞}

k*（f）=inf{k∈D（f）∶βs*（ρ*（kf），IΦ（q+（k|v|）））≤0}

k**（f）=sup{k∈D（f）∶βs*（ρ*（kf），IΦ（q+（k|v|）））≥0}

顯然，0lt;k*（f）≤k**（f）≤∞。

對于k*（f）≤k≤k**（f），

βs*（ρ*（kf），IΦ（q+（k|v|）））=0成立。

記K（f）=［k*（f），k**（f）］，

已證得，當K（f）≠且k∈（0，∞）∩K（f），

‖f‖*Ψ，s*=1ks*（ρ*（kf））。

2" 主要結論與證明

本文所用引理如下：

引理1［12］" 對任意的φ∈F，

‖φ‖=‖φ‖°=sup{φ（u）∶IΦ（u）lt;∞}。

引理2［13］" 對任意f∈（LΦ，s）* ，f可唯一分解為f=v+φ，其中v∈LΨ，s*，φ∈F。

引理3［13］" 如果范數‖·‖Ψ，s*是k*-有限的.那么

（EΦ，‖·‖Φ，S）′=（LΨ，‖x‖Ψ，s*）。其中Ψ與Φ互為余函數，s，s*互為共軛函數。

引理4［13］" 設s為外函數，記

ZS={（u，v）∶0≤u，vlt;∞，u+v=s（u）s*（v）}，對于0≤u，vlt;∞，那么（u，v）∈Zs當且僅當

u*（v）≤u≤u**（v）。

引理5［20］" u∈LΦ，s，θ（u）≠0. 那么存在兩個不同的奇異泛函φi∈S（L*Φ），使得φi（u）=θ（u），i=1，2。

引理6［20］" |uv|=Φ（u）+Ψ（v）當且僅當v∈［p_（u），p+（u）］（u給定）或者u∈［q_（v），q+（v）］（v給定）。

引理7［12，20］" 對于u∈LΦ，s，

θ（u）=limx→∞‖u－un‖Φ，s=infλgt;0，IΦuλlt;∞，

G（n）={t∈G∶|u（t）|≤n}，un（t）=u（t）χGn（t）。

引理8" u∈LΦ，s，φ∈F， 那么有

θ（u）lt;（k**（u））－1和φ（u）≤θ（u）·‖φ‖。

證明：因為un（t）=u（t）χGn（t），故un∈EΦ，s。可以得到，

‖u－un‖Φ，s=infkgt;01ks（IΦ（k（u－un）））≤

1k**s（u）s（IΦ（k**s（u）（u－un）））lt;∞

令n→∞，有θ（u）≤‖φ‖‖u－un‖Φ，s。因為φ（EΦ，s）=0，un∈EΦ，s，那么

φ（u）=φ（u－un）≤‖φ‖‖u－un‖Φ，s。令n→∞，φ（u）≤‖φ‖·θ（u）。

引理9" 1）u+v=s（u）s*（v）當且僅當βs（u，v）=0；

2）βs（u，v）=0當且僅當βs*（u，v）=0。

證明：1）如果u+v=s（u）·s*（v），那么，由引理4和定義4知，u*（v）≤u≤u**（v），因此βs（u，v）≤0，故u≤u**（v）。同樣，可以得到βs（u，v）≥0，因此βs（u，v）=0。

反之，如果βs（u，v）=0，那么βs（u，v）≤0，因此，u*（v）≤u。

同樣可以得到βs（u，v）≥0，所以u≤u**（v）。因此u*（v）≤u≤u**（v）。

2）βs（u，v）=0u*（v）≤u≤u**（v）

u+v=s（u）·s*（v）v+u=s*（v）·s（u）

v*s*（u）≤v≤v**s*（u）βs*（u，v）=0

相反，βs*（u，v）=0v*s*（u）≤v≤v**s*（u）

v+u=s*（v）·s（u）βs（u，v）=0

定理1" 若s-范數 ‖·‖Φ，s是k*-有限，f∈（LΦ，s）*＼{0}，則f=v+φ在u∈S（LΦ，s）處范數可達當且僅當對于任意的k∈K（u），l∈K（f），

1）‖φ‖=φ（ku）

2）∫Gku（t）lv（t）dt=IΦ（ku）+IΨ（lv）

3）βs*（ρ*（kf），IΦ（ku））=βs（IΦ（ku），ρ*（lf））=0

證明：對于任意的k∈K（u），l∈K（f），

f（u）=1lk（〈lv，ku〉+lφ（ku））≤

1lk（IΦ（ku）+IΨ（lv）+lφ（ku））≤

1lk（IΦ（ku）+IΨ（lv）+l‖φ‖）=

1lk（IΦ（ku）+ρ*（lf））≤

1ks（IΦ（ku））1ls*（ρ*（lf））=

‖u‖Φ，s·‖f‖*Ψ，s*=‖f‖*Ψ，s*

由引理1和IΦ（ku）=s－1（k）lt;∞知，φ（ku）≤‖φ‖。

如果條件1），2），3）成立，那么所有的不等式變成等式，f=v+φ在 u∈S（LΦ，s）處范數可達。

相反，f=v+φ在u∈S（LΦ，s）處范數可達，有

0=f（u）－‖f‖*Ψ，s*·‖u‖Φ，s=

1kl（〈lv，ku〉+lφ（ku））－1ls*（ρ*（lf））1ks（IΦ（ku））≤

1lk（IΦ（ku）+IΨ（lv）+lφ（ku））－

1lk（IΦ（ku）+IΨ（lv）+l‖φ‖）=

1lk（lφ（ku）－l‖φ‖）≤0

因此，條件1）成立。由Young不等式得，條件2）成立。由引理9知，條件3）成立。

定理2" 假設s-范數是k*-有限的。那么，v∈S（LΨ，s*）是u∈LΦ，s的支撐泛函當且僅當

1）v=w‖w‖Ψ，s*·sign（u），滿足

p_（k（u（t）））≤w（t）≤p+（k（u（t））），

μ－a.e.t∈G，k∈K（u）。

2）βs（IΦ（ku），w（t））=0

證明：假設v0在u處范數可達。對于k∈K（u），l∈K（f），由定理1和Young不等式知

p_（k（u（t）））≤l|v0（t）|≤p+（k（u（t）））

μ－a.e.t∈G。

由定理1和φ=0知，有

βs（IΦ（ku），lv0）=0，因此ω=l|v0|。

設v=w‖w‖Ψ，s*sign（u），

p_（k（u（t）））≤w（t）≤p+（k（u（t）））。

充分性。由Young不等式和s-范數的定義，

1≥〈v，u‖u‖Φ，s〉=1‖w‖Ψ，s*‖u‖Φ，s〈w，u〉=

1k‖w‖Ψ，s*‖u‖Φ，s（IΦ（ku）+IΨ（w））=

s*（IΨ（w））‖w‖Ψ，s*1‖u‖Φ，s1ks（IΦ（ku））≥

‖w‖Ψ，s*‖w‖Ψ，s*=1

必要性。如果條件（1）不成立。那么

lv0（t）=w（t）［p_（k（u（t））），p+（k（u（t）））］，

由定理1知，v0在u點范數不可達。因此，v=w‖w‖Ψ，s*sign（u）不是u點的支撐泛函。

如果條件（2）不成立。那么βs（IΦ（ku），IΨ（w））≠0與上面的方法類似，由定理1 和φ=0知道，v0在u點范數不可達。因此，v=w‖w‖Ψ，s*·sign（u）不是u點的支撐泛函。

定理3" u∈S（LΦ，s），u≠0，且θ（u）lt;1k，k∈K（u）。那么，u點的支撐泛函一定在LΨ，s*。

Ψ是Φ在Young意義下的余函數。

證明：如果f是u的支撐泛函，那么f有的分解f=v+φ，v∈LΨ，s*，φ∈F。假設φ≠0，那么

f（u）=∫Gu（t）v（t）dt+φ（t）

對于任意的k∈K（u），l∈K（f），由引理8，定義1和Young不等式，

kl=kl∫Gu（t）v（t）dt+kφ（u）≤

IΦ（ku）+IΨ（lv）+kl‖φ‖θ（u）lt;

IΦ（ku）+IΨ（lv）+l‖φ‖≤

s（IΦ（ku））s*（IΨ（lv）+l‖φ‖）=

s（IΦ（ku））s*（ρ*（lf））=kl

矛盾，故結論得證。

定理4" u∈S（LΦ，s），u≠0。u是光滑點當且僅當

1）aΨ=0

2）βs（IΦ（ku），IΨ（p_（k|u|）））=0

或者βs（IΦ（ku），IΨ（p+（k|u|）））=0

3）θ（u）lt;1k

證明：必要性。如果條件（1）不成立。那么，aΨgt;0。假設f=v+φ（v≠0）是u的支撐泛函。對于l∈K（f），存在cgt;0，滿足lc≤aΨ。

設=v，fort∈supp（u）

lc，forEG＼supp（u）

因此，

‖+φ‖*Ψ，s*≤1ls*（IΨ（l）+l‖φ‖）≤

1ls*（IΨ（lv）+l‖φ‖）=‖v+φ‖*Ψ，s*=1

因為（+φ）（u）=（v+φ）（u）=‖u‖Φ，s，有‖+φ‖*Ψ，s*≥1。因此，+φ是u的支撐泛函。但是+φ≠v+φ，因此u不是光滑點。

如果條件（2）不成立。假設

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（p_（k|u|））s′+（IΦ（ku））≠1

由定理1我們有

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（p_（k|u|））s′+（IΦ（ku））=αlt;1

如果θ（u）lt;1k，那么由定理3表明u的所有支撐泛函在LΨ，S*。 因此，如果

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（p+（k|u|））s′+（IΦ（ku））≠1。

那么我們有

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（p+（k|u|））s′+（IΦ（ku））gt;1。

那么意味著集合

V={v∶p_（k|u|）≤l|v|≤p+（k|u|），

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（lv）·s′+（IΦ（ku））=1}

包含無限多個元素。由定理2知，

v‖v‖*Ψ，s*·sign（u）是u的支撐泛函，故u不是光滑點。

如果條件（3）不成立。我們假定θ（u）=1k，支撐泛函f=v+φ，φ≠0且‖φ‖=1－αk·s′+（IΦ（ku））

i.e.， ω（s′+（IΦ（ku）））+（p_（k|u|）+k‖φ‖）s′+（IΦ（ku））=1。

由引理5知，存在兩個不同的奇異泛函φi，‖φi‖=1，使得 φi（u）=θ（u），i=1，2。

定義fi=p_（k|u|）+‖φ‖φi，那么f1≠f2，

由定義7，‖f1‖*Ψ，s*=‖f2‖*Ψ，s*=1。

由Young不等式和引理9，知

fi（u）=∫Gu（t）p_（k|u（t）|）dt+‖φ‖φi（u）=

1k（IΦ（ku）+IΨ（p_（k（|u|）））+‖φ‖θ（u））=

1k（IΦ（ku）+IΨ（p_（k（|u|）））+‖φ‖）=

1ks（IΦ（ku））s*（IΨ（p_（k（|u|）））+‖φ‖）≥

‖u‖Φ，s‖fi‖*Ψ，s*

因此f1，f2是u的支撐泛函，故u不是光滑點。

充分性。設f=v+φ是u的支撐泛函，v∈LΨ，s*，φ∈F。定理1表明，

p_（k|u|）≤l|v|≤p+（k|u|），k∈K（u），l∈K（f）。

因此如果

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（p_（ku））s′+（IΦ（ku））=1

由定理2知，φ=0且v=p_（k|u|）‖p_（k|u|）‖Ψ，s*sign（u）是u的唯一支撐泛函。如果

ω（s′+（IΦ（ku）））+IΨ（p+（ku））s′+（IΦ（ku））=1

由定理2知，φ=0且v=p+（k|u|）‖p+（ku）‖Ψ，s*sign（u）是 u的唯一支撐泛函。證畢。

參 考 文 獻：

［1］" 崔云安. Banach空間幾何理論及應用［M］. 北京： 科學出版社， 2011： 39.

［2］" 黎永錦. Banach空間凸性和光滑性的若干問題［D］. 哈爾濱; 哈爾濱工業大學， 1992.

［3］" 吳從炘. Orlicz空間幾何理論［M］. 哈爾濱： 哈爾濱工業大學出版社， 1986： 6.

［4］" RAO M M， REN Z D. Theory of Orlicz Spaces［M］. New York： M. Dekker， 1991.

［5］" AND T. Linear Functionals on Orlicz Spaces［J］. Nieuw Arch Wisk， 1960， 8（3）： 1.

［6］" 陳述濤. Orlicz空間的光滑點［J］. 哈爾濱師范大學自然科學學報， 1989（1）： 1.

CHEN S. The Smooth Points of Orlicz Space［J］. Natural Science Journal of Harbin Normal University， 1989（1）： 1.

［7］" 王靜， 崔云安. Orlicz序列空間光滑點的一點注記［J］. 哈爾濱理工大學學報， 2021， 26（3）： 6.

WANG J， CUI Y. A Note on Smooth Points in Orlicz Sequence Spaces［J］. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2021， 26（3）： 6.

［8］" SHI Z. On Smooth Point in Musielak-Orlicz Sequence Spaces［J］. Journal of Natural Science of Heilongjiang University， 1999.

［9］" VIGELIS R F， CAVALCANTE C C. Smoothness of the Orlicz Norm in Musielak-Orlicz Function Spaces［J］. Mathematische Nachrichten， 2014， 287（8/9）： 1025.

［10］王廷輔， 陳述濤. Orlicz空間的光滑性 ［J］. 工程數學學報， 1987（3）： 117.

WANG T， CHEN S. The Smoothness of Orlicz Space ［J］. Journal of Engineering Mathematics， 1987（3）： 117.

［11］HUDZIK H， YE Y N. Support Functionals and Smoothness in Musielak-Orlicz Sequence Spaces Endowed with the Luxemburg Norm［J］. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae， 1990，31（4）： 661.

［12］LI X， CUI Y， WISLA M. Smoothness of Orlicz Function Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm［J］.Banach Journal of Mathematical Analysis， 2021，15（3）.

［13］WISA M. Orlicz Spaces Equipped with s-norms［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2020， 483（2）.

［14］崔云安， 安莉麗， 展玉佳. 賦s-范數的Orlicz空間的端點 ［J］. 哈爾濱理工大學學報， 2021， 26（2）： 5.

CUI Y， AN L， ZHAN Y. Extreme Points in Orlicz Spaces Equipped with S-norm［J］. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2021， 26（2）： 5.

［15］LUXEMBURG W A J. Banach Function Spaces［D］. Netherlands; Techische Universiteit Delft， 1955.

［16］ORLICZ W. ber Eine Gewisse Klasse Von Rumen Vom Typus B［J］. Bull Int Acad Pol Ser A， 1932， 8（9）： 207.

［17］NAKANO H. Topology and Linear Topological Spaces［M］. Maruzen Company， 1951.

［18］HUDZIK H， MALIGRANDA L. Amemiya Norm Equals Orlicz Norm in General［J］. Indagationes Mathematicae， 2000， 11（4）： 573.

［19］CUI Y， WISA M. Monotonicity Properties and Solvability of Dominated Best Approximation Problem in Orlicz Spaces Equipped with s-norms［J］.Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas，Físicas y Naturales Serie AMatemáticas， 2021，115： 1.

［20］CHEN S. Geometry of Orlicz Spaces［J］. Dissertationes Mathematicae， 1996： 356.

（編輯：溫澤宇）