這樣的勻強(qiáng)電場可能存在嗎？

摘" 要：本文通過對2022屆高三T8聯(lián)考第15題的理論分析與數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，在題目中的勻強(qiáng)電場中，兩個粒子的動能關(guān)系和位移關(guān)系不能同時滿足，所以原題中的物理情境是不能實現(xiàn)的.

關(guān)鍵詞：勻強(qiáng)電場；可行性；數(shù)值模擬

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0107-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：韓燦（1993.4—），男，湖北省武漢人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中物理教學(xué)研究；

周家本（1979.11—），男，浙江省青田人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中物理教學(xué)研究；

姜付錦（1978.9—），男，湖北省武漢人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中物理教學(xué)研究.

基金項目：

2021年武漢市教育科學(xué)規(guī)劃重點課題“基于新課程標(biāo)準(zhǔn)的高中情境化命題實踐研究”（課題編號：2021A051）.

勻強(qiáng)電場是高中物理一個非常重要的模型，在各種高考題和調(diào)考試題中時常出現(xiàn).在命制這類試題時一定要對其中的物理情境進(jìn)行深入細(xì)致地理論和數(shù)值模擬，否則就可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)不自洽的問題［1-2］.

1" 題目

如圖1所示，在x軸上方有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場.y軸正半軸上距原點L處的a點有一個離子源，可以向各方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電量為q的負(fù)離子，所有離子初速度大小均為v0.在這些離子穿過x軸的位置中，b點（未畫出）離O點最遠(yuǎn)，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=2mv0Lq.

（1）求b點的坐標(biāo)；

（2）x軸下方的c、d、f三個點構(gòu)成一個直角三角形，且c、d在y軸上，cd與cf長度之比為1∶2.在x軸下方加上平行于xOy平面的勻強(qiáng)電場后，從磁場中穿過x軸進(jìn)入電場的離子中，有一個離子經(jīng)過c、f點的動能分別為Ek和3Ek，另一個離子經(jīng)過d、f點的動能分別為1.5Ek和4.5Ek（Ek為未知），求勻強(qiáng)電場的方向.

解" （1）帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力：Bv0q=mv20r1

由于B=2mv0Lq得：r1=2L2

由幾何關(guān)系可得，ab為圓的直徑時，b距離O點最遠(yuǎn)，有：Ob=（2r）2-L2

得Ob=L

由于b在O點的左側(cè)，故b點坐標(biāo)為（-L，0）.

（2）設(shè)場強(qiáng)沿x、y軸正方向的分量分別為Ex、Ey.

對于先后經(jīng)過c、f點的離子，由動能定理可得：

-qExcf=3Ek-Ek

對于先后經(jīng)過d、f點的離子，由動能定理可得：

-qExcf-qEycd=4.5Ek-1.5Ek

由于cd∶cf=1∶2，可得：Ey∶Ex=1∶1，且Exlt;0，Eylt;0.故電場強(qiáng)度方向與x軸夾角為45°，指向左下方.

可能會有老師問：若滿足了第二問中電場方向的條件，到達(dá)c，d兩點粒子的運(yùn)動方向如何？從磁場中射出的粒子在電場中運(yùn)動到y(tǒng)軸時偏轉(zhuǎn)角度能滿足這樣的條件嗎？以下是筆者的一點粗淺分析，不一定對，以期拋磚引玉！

2" 筆者的分析

如圖2所示，設(shè)從c點進(jìn)入電場的粒子的速度大小為v0，與水平方向的夾角為θ，cf=2l ， cd=l，粒子在電場中兩個方向上的分加速度大小相等，設(shè)為ax=ay=a0，從d點進(jìn)入電場的粒子的速度大小為32v0，與水平方向的夾角為α.設(shè)從c點進(jìn)入的粒子到達(dá)f點時間為t1，則由運(yùn)動學(xué)公式可得

t1=2v0sinθa0 ①

粒子的水平位移為2l=v0t1cosθ+12a0t21②

由粒子的末動能得：

（v0sinθ）2+（v0cosθ+a0t1）2=3v20③

聯(lián)立①③兩式得8sin4θ-8sin2θ=1

④

求解④式得sinθ=2±24⑤

即θ=π8或θ=3π8" ⑥

聯(lián)立①②兩式得

a0=v20l（sin2θ+sinθcosθ）⑦

從d點入射的粒子到達(dá)f點時間為t2，則由運(yùn)動學(xué)公式得

水平位移為

2l=32v0t2cosα+12a0t22⑧

豎直位移為l=-32v0t2sinα+12a0t22⑨

由從d點入射的粒子達(dá)到f點時動能得

（-32v0sinα+a0t2）2+（32v0cosα+a0t2）2=4.5v20⑩

聯(lián)立⑧⑨兩式得

t2=l32v0（sinα+cosα）B11

聯(lián)立⑦B10B11三式得

4（sin2θ+sinθcosθ）23（sinα+cosα）2+2sin2θ+sinθcosθ2（sinα+cosα）2（cosα-sinα）=3B12

聯(lián)立⑥B12兩式可以發(fā)現(xiàn)，B12式是一個超越方程，沒有解析解.

如圖3所示，設(shè)粒子從粒子源出來速度方向與在x軸上有最遠(yuǎn)交點時的速度方向夾角為θ.粒子在磁場中勻速圓周運(yùn)動半徑為R，粒子射出磁場時與x軸夾角為β，則有幾何關(guān)系得

L=2RB13

Rcos（π4-θ）+Rcosβ=LB14

聯(lián)立B13B14兩式得

cosβ=2-cos （π4-θ）B15

由B15式可知當(dāng)θ=π4時，β有最大值約為

arccos（2-1）=1.144B16

如圖4所示，設(shè)粒子在電場中運(yùn)動時間t后與y軸交點為P，速度方向與水平方向的夾角為α，則由運(yùn)動學(xué)公式得：

Rsin（π4-θ）+Rsinβ=v0cosβt+12a0t2B17

聯(lián)立B15B17兩式得

t=-v0［2-cos（π4-θ）］+

（v0［2-cos（π4-θ）］）2+2a0R［（sin（π4-θ）+1-（2-cos（π4-θ））2］/a0B18

則粒子達(dá)到y(tǒng)軸時P點時豎直位移為y，則有

y=v0sinβt-12a0t2B19

到達(dá)y軸時與水平方向夾角為α，則有

tanα=v0sinβ-a0tv0cosβ+a0tB20

3" 數(shù)值模擬

聯(lián)立⑥B12兩式求得：

當(dāng)θ=38π時，α≈0.199 7 rad;當(dāng)θ=18π時，α≈-0.34rad

arccos（2-1）-π4是粒子在磁場運(yùn)動時間最長時與粒子出磁場到達(dá)x軸最遠(yuǎn)端時，兩種情況下粒子進(jìn)入磁場速度方向夾角（即原文分析圖甲中①②軌跡入射方向的夾角）； 可以發(fā)現(xiàn)進(jìn)入電場的速度方向夾角有最大值，此時速度方向水平向左，進(jìn)入電場時夾角最大值約為1.144，小于3π8； 粒子若以這個入射角進(jìn)入電場中，則水平速度增大，豎直向下的分速度會減小，達(dá)到y(tǒng)軸時偏轉(zhuǎn)角會減小，達(dá)到y(tǒng)軸時速度方向與x軸正方向夾角會小于1.144，故3π8舍去；若取π8，則粒子到達(dá)y軸時α=-0.340 79，按照題目中情境豎直方向上位移應(yīng)該大于C點時的豎直位移，若同時滿足c處的速度方向與x軸正方向夾角為π8（右下），d處的速度方向與x軸正方向夾角為α=-0.340 79（右上），且d處豎直位移大于c處豎直位移，則原題第二問理論上可行.

4" 結(jié)束語

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)：若滿足了兩個點速度方向關(guān)系，則豎直位移關(guān)系就不能滿足，故c處速度方向與x軸正方向夾角為π8（右下），d處的速度方向與x軸正方向夾角為α=-0.340 79（右上），且d處豎直位移大于c處豎直位移，這個假設(shè)不能成立，原題第二問情境在理論上不能成立.故在命制此類問題時，一定要進(jìn)行科學(xué)的理論分析，再結(jié)合數(shù)值模擬與計算，從而最大限度減少錯誤情境的出現(xiàn)，這也是寫作本文的最重要價值所在.

參考文獻(xiàn)：［1］ 張黎，何崇榮.場強(qiáng)方向判斷容易出現(xiàn)的一個隱藏性錯誤［J］.物理通報，2021（6）：63-65.

［2］ 廉志斌.一道聯(lián)考題解析結(jié)果物理真實性的討論 ［J］.物理教師，2020（6）：53-54.

［責(zé)任編輯：李" 璟］