2024年新高考數學模擬卷（八）

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0081-08

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：李春林（1978.1—），男，甘肅天水人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

（河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西）

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.已知集合M=x||x-1|≤3，N={x|3x≤3}，則M∩N=（" ）.

A.［-2，+

SymboleB@ ）""" B.［-2，1］

C.［-1，4］D.［-2，-1］

2.設（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數，則|x+yi|=（"" ）.

A.1""" B.2""" C.3""" D.2

3.下列結論中，錯誤的是（" ）.

A.數據4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數為6

B.若隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤-2）=0.21，則P（ξ≤4）=0.79

C.已知經驗回歸方程為y^=b^x+1.8，且x-=2，y-=20，則b^=9.1

D.根據分類變量X與Y成對樣本數據，計算得到χ2=9.632，依據小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001=10.828），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001

4.已知正項數列an滿足a2n+1=anan+2，a9=a8+2a7，若存在m，n∈N*，使得9m+1n=2，則am·ana21的最小值為（" ）.

A.32""" B.64""" C.128""" D.256

5.對任意的實數x，x6=a0+a1（x-2）1+

a2（x-2）2+…+a6（x-2）6，則a2值為（" ）.

A.60""" B.120""" C.240""" D.480

6.已知函數f（x）=x（x-3）（x-32）（x-33）（x-

34）（x-35），則f ′（0）=（" ）.

A.315" B.314" C.-314" D.-315

7.在△ABC中，sinA-cosA=105，則sin（2A-

π4）=（" ）.

A.225""" B.22""" C.325""" D.7210

8.等比數列an的前n項和為Sn，a1gt;0，則“a1lt;a2”是“對n∈N*，Snlt;Sn+1”成立的（" ）.

A.充分不必要條件" B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知E，F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中點，則（" ）.

A.A1D與B1D1是異面直線

B.A1D與EF所成角的大小為45°

C.A1F與平面B1EB所成角的余弦值為13

D.二面角C-D1B1-B的余弦值為63

10.已知雙曲線C：x2m+n-y2m-n=1的焦點在x軸上，且焦距為2，則（" ）.

A.m=2

B.當n=0時，C的離心率為2

C.n的取值范圍是（-12，12）

D.C的焦點到漸近線的距離隨著n的增大而增大

11.已知函數f（x）=x3+3x2+bx+1的導函數f ′（x）的極值點是f（x）的零點，則（" ）.

A.f（x）在R上單調遞增

B.f（x）的圖象關于點（-1，0）中心對稱

C.若a+cgt;-2，則f（a）+f（c）gt;0

D.過坐標原點僅有一條直線與曲線y=f（x）相切

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.給出下面四個命題：

①過一個球的球心和球面上任意兩個點，有且只有一個平面；

②若直線a∥直線b，直線b平面α，則直線

a∥平面α；

③若直線a⊥直線b，直線a⊥直線c，直線b，c平面α，則直線a⊥平面α；

④若直線a垂直于直線b在平面α內的射影，則直線a⊥直線b.

則上述結論不正確的有.（填原號）

13.已知空間向量PA，PB，PC的模長分別為2，2，3，且兩兩夾角均為π3，點G為△ABC的重心，則|PG|=.

14.已知圓O1：x2+（y-2）2=1，圓O2：（x-3）2+

（y-4）2=4，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，則|PM|+|PN|的最小值是.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 2a-bc=2cosB .

（1）求角C；

（2）設D在AC上，且AD=2CD，BD=23，求3a+b的取值范圍.

16.已知等差數列an的前n項和為Sn，a1+a2+3a4=25，且a3+2，a4，a5-2成等比數列.

（1）求數列an的通項公式；

（2）設bn=an·3an+1，求數列bn的前n項和Tn.

17.如圖1，四邊形ACDE為矩形，平面ACDE⊥平面ABC，F是AC中點，M是EF中點，點N在線段BD上，且DN=3NB.

（1）求證：MN∥平面ABE；

（2）若∠BAC=π3，AB=AE=1，求MN與平面BDE所成角θ的正弦值.

18.電子郵件是一種用電子手段提供信息交換的通信方式，是互聯網應用最廣的服務.我們在使用電子郵件時發現一個有趣的現象：中國人的郵箱名稱里含有數字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數字的比較少.為了研究郵箱名稱里含有數字是否與國籍有關，隨機調取了50個郵箱名稱，得到2×2列聯表（見表1），其中中國人的郵箱占

2/5.

表1" 2×2列聯表

中國人

外國人

總計

郵箱名稱里有數字

15

郵箱名稱里無數字

25

總計

（1）將2×2列聯表補充完整，根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析“郵箱名稱里含有數字與國籍”是否有關？

（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率.在所有中國人郵箱名稱里隨機抽取3個郵箱名稱，記3個中國人郵箱名稱里含有數字的個數為X，求X的分布列和數學期望.

參考公式和數據：

χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），n=a+b+c+d

α

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

χα

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19.橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦距為22，點M（2，1）是橢圓E上一點，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

1.因為|x-1|≤3-3≤x-1≤3-2≤x≤4，所以M=［-2，4］.又因為3x≤3x≤1，所以N=（-

SymboleB@ ，1］.所以M∩N=［-2，1］.

故選B.

2.依題意x+xi=1+yi，所以x=y=1.

所以|x+yi|=|1+i|=12+12=2.

故選B.

3.A選項，數據4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，7×60%=4.2，故選取第5個數據作為第60百分位數，即為6，A正確；

B選項，因為ξ～N（1，σ2），根據對稱性可知P（ξ≥4）=P（ξ≤-2）=0.21，故P（ξ≤4）=1-0.21=0.79，B正確；

C選項，已知經驗回歸方程為y^=b^x+1.8，且

x-=2，y-=20，則2b^+1.8=20，解得b^=9.1，C正確；

D選項，χ2=9.632lt;10.828，故不能得到此結論，D錯誤.

故選D.

4.因為a2n+1=anan+2，所以an為等比數列.

設an的公比為q（qgt;0），

因為a9=a8+2a7，所以q2a7=qa7+2a7.

即q2=q+2，得q=2.

所以am·ana21=2m-1a1·2n-1a1a21=2m+n-2.

因為9m+1n=2，

所以m+n=12（9m+1n）（m+n）=12（9+9nm+mn+1）≥12（10+29nm×mn）=8，

當且僅當n=2，m=6時等號成立，

所以am·ana21=2m+n-2≥26=64.

故選B.

5.因為x6=［（x-2）+2］6=C06（x-2）6+C16（x-2）5·2+C26（x-2）4·22

+C36（x-2）3·23+C46（x-2）2·24+C56（x-2）1·25+C66·26，

所以a2=C46·24=240.

故選C.

6.設φ（x）=（x-3）（x-32）（x-33）（x-34）·

（x-35），即f（x）=xφ（x）.

則f ′（x）=φ（x）+xφ′（x）.

所以f ′（0）=φ（0）=-3×32×33×34×35=-31+2+3+4+5=-315.

故選D.

7.由（sinA-cosA）2=sin2A-2sinAcosA+cos2A

=1-2sinAcosA=25，

則sinAcosA=310.即sin2A=35.

而cosA=sinA-105，

則10sin2A-210sinA-3=0.

所以（10sinA-3）（10sinA+1）=0.

又sinAgt;0，故sinA=310.

所以cos2A=1-2sin2A=1-2×910=-45.

所以sin（2A-π4）=22（sin2A-cos2A）=7210.

故選D.

8.等比數列an的前n項和為Sn，a1gt;0，當a1lt;a2時，即公比qgt;1.

則數列為各項均為正數的遞增數列，

則有n∈N*，Snlt;Sn+1成立.

當Snlt;Sn+1時，則0lt;qlt;1也是各項均為正數的等比數列，此時a1gt;a2，

則“a1lt;a2”是“對n∈N*，Snlt;Sn+1”成立的充分不必要條件.

故選A.

9.根據異面直線的概念可得“平面內一點與平面外一點的連線，與此平面內不經過該點的直線是異面直線”可知A正確.

如圖2，以D為原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，D（0，0，0）， A1（2，0，2）， E（1，2，0）， F（0，1，0），

所以A1D=（-2，0，-2）， EF=（-1，-1，0）.

設A1D與EF所成角的大小為θ，

則

cosθ=A1D·EF|AD1||EF|=28×2=12.

所以θ=π3，故B錯誤.

由題意可知，平面BEB1的法向量可取DC=（0，2，0）， A1F=（-2，1，-2），

設A1F與平面B1EB所成角為α，則

sinα=A1F·DC|A1F||DC|=229=13.

所以A1F與平面B1EB所成角的正弦值為13，余弦值為α=223，故C錯誤.

D1B1=（2，2，0）， BB1=（0，0，2）， 設平面D1B1B的法向量為m=（x1，y1，z1），

則m·D1B1=2x1+2y1=0，m·BB1=2z1=0.

令x1=1，得m=（1，-1，0）.

設平面D1B1C的法向量為n=（x2，y2，z2），

則n·D1B1=2x2+2y2=0，n·B1C=-2x2-2z2=0.

令x2=1，得n=（1，-1，-1）.

則cos〈m，n〉=m·n|m||n|=22×3=63.

又因為二面角C-D1B1-B為銳角，

所以二面角C-D1B1-B的余弦值為63，故D正確.

故選AD.

10.令雙曲線C的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為a，b，c，則a2=m+n，b2=m-n，c=1.

于是2m=a2+b2=c2=1，解得m=12，A錯誤.

當n=0時，a2=m=12，a=22，離心率e=ca=2，B正確.

由a2=12+ngt;0，b2=12-ngt;0， 解得n∈（-12，12），C正確.

雙曲線C的漸近線bx±ay=0，由對稱性不妨令雙曲線C的焦點為（1，0），則C的焦點到漸近線的距離ba2+b2=b=12-n，b隨著n的增大而減小，D錯誤.

故選BC.

11.由題意知，f ′（x）=3x2+6x+b.

設g（x）=f ′（x），則g′（x）=6x+6=6（x+1）.

所以當x∈（-

SymboleB@ ，-1）時，g′（x）lt;0；

當x∈（-1，+

SymboleB@ ）時，g′（x）gt;0.

所以g（x）在（-

SymboleB@ ，-1）上單調遞減，在（-1，+

SymboleB@ ）上單調遞增.

所以x=-1是g（x）的極小值點，即x=-1是f ′（x）的極小值點，也是f（x）的零點.

所以f（-1）=-1+3-b+1=0，解得b=3.

所以f（x）=x3+3x2+3x+1.

對于A，因為f ′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0在R上恒成立且不恒為0，

所以f（x）在R上單調遞增，A正確.

對于B，因為f（-2-x）=（-2-x）3+3（-2-x）2+3（-2-x）+1=-（8+12x+6x2+x3）+3（4+4x+x2）-6-3x+1=-x3-3x2-3x-1，

所以f（-2-x）+f（x）=（-x3-3x2-3x-1）+

（x3+3x2+3x+1）=0.

所以f（x）的圖象關于點（-1，0）中心對稱，B正確.

對于C，由a+cgt;-2，得 agt;-c-2.

因為f（x）在R上單調遞增，

所以f（a）gt;f（-c-2）.

由B知：f（-c-2）+f（c）=0，

即f（-c-2）=-f（c）.

即f（a）gt;-f（c）.即f（a）+f（c）gt;0，C正確.

對于D，設過坐標原點的直線與曲線y=f（x）相切于點（x0，x30+3x20+3x0+1），

因為f ′（x）=3（x+1）2，所以切線方程為

y-（x30+3x20+3x0+1）=3（x0+1）2（x-x0）.

即切線方程為

y=（3x20+6x0+3）x-2x30-3x20+1.

代入點（0，0）得：2x30+3x20-1=0.

即2x20（x0+1）+x20-1=（x0+1）2（2x0-1）=0，

解得x0=-1或x0=12.

所以過坐標原點有兩條不同的直線與y=f（x）相切，D錯誤.

故選ABC.

12.對于①，當兩點為球的直徑的兩個端點時，過球心與這兩點有無數個平面，故命題①不正確；

對于②，若直線a∥直線b，直線b平面α，則直線a∥平面α或直線a平面α，故命題②不正確；

對于③，若直線a⊥直線b，直線a⊥直線c，直線b，c平面α，則可能直線a平面α，故命題③不正確；

對于④，設a是平面α的垂線，b是平面α的斜線（與平面α相交但不垂直），此時直線a垂直于直線b在平面α內的射影，但與斜線b不垂直，故命題④不正確.

故答案為①②③④.

13.因為G為△ABC的重心，所以AG=13（AB+AC）.

所以PG-PA=13（PB-PA+PC-PA）=13PB+13PC-23PA.

所以PG=13PA+13PB+13PC.

所以|PG|2=（13PA+13PB+13PC）2=19×（4+4+9+2×2×2×12+2×2×3×12×2）=339.

14.如圖3所示，設P（t，0），則

|PM|+|PN|=|PO1|2-1+|PO2|2-2

=t2+4-1+（t-3）2+16-4

=t2+3+（t-3）2+12

=（t-0）2+［0-（-3）］2+（t-3）2+（0-23）2.

取A（0，-3），B（3，23），則

|PM|+|PN|=|PA|+|PB|≥|AB|，

當且僅當A，P，B三點共線時取等號.

而|AB|=9+27=36=6，

所以當且僅當A，P，B三點共線時，|PM|+|PN|取最小值6.

15.（1）因為2a-bc=2cosB，由正弦定理可得

2sinA-sinBsinC=2cosB.

即2sinA-sinB=2cosBsinC.

又A+B+C=π，所以sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.

故2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2cosBsinC.

即2sinBcosC-sinB=0.

又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到cosC=12.

又C∈（0，π），所以C=π3.

（2）因為AD=2CD，則CD=b3.

又由（1）及條件知C=π3， BD=23.

在△BCD中，令∠BDC=α，∠CBD=β，

由正弦定理，得BDsinC=BCsinα=CDsinβ.

所以a=BC=233/2sinα=4sinα，

b3=CD=233/2sinβ=4sinβ.

即b=12sinβ.

所以3a+b=12（sinα+sinβ）.

又α+β=2π3，所以3a+b=12［sinα+sin（2π3-α）］=12（32sinα+32cosα）=123sin（α+π3）.

又α∈（0，2π3），所以當α=π6時，3a+b取到最大值為123.

又易知，a+b3gt;BD=23，所以3a+bgt;63.

所以3a+b的取值范圍為（63，123］.

16.（1）由題意，n∈N*，在等差數列an中，設公差為d，

由a1+a2+3a4=25，得5a1+10d=25.

則a1+2d=a3=5.

又a3+2，a4，a5-2成等比數列，

所以7，5+d，3+2d成等比數列.

得（5+d）2=7（3+2d）.

即（d-2）2=0，解得d＝2.

所以an=a3+（n-3）d=2n-1，n∈N*.

故數列an的通項公式an=2n-1（n∈N*）.

（2）

在數列an中，an=2n-1，

在數列bn中，bn=an·3an+1，

所以bn=（2n-1）·32n=（2n-1）·3n.

所以Tn=1×31+3×32+5×33+…+（2n-1）×3n.

故3Tn=1×32+3×33+…+（2n-3）×3n+（2n-1）×3n+1.

兩式相減，得

-2Tn=3+2（32+33+…+3n）-（2n-1）·3n+1

=3+2·9（1-3n-1）1-3-（2n-1）·3n+1

=-6+（2-2n）·3n+1.

所以Tn=3+（n-1）·3n+1（n∈N*）.

17.（1）如圖4，取AE的中點G，在BE上取點H使EH=3HB，連接MG，GH，NH，

因為DN=3NB，

所以HN∥DE且HN=14DE.

因為F是AC中點，M是EF中點，

所以GM∥AC且GM=14AC.

所以HN∥GM且HN=GM.

所以四邊形HNMG是平行四邊形.

所以MN∥GH.

因為MN平面ABE，GH平面ABE，

所以MN∥平面ABE.

（2）因為四邊形ACDE為矩形，

所以EA⊥AC.

因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，EA平面ACDE，

所以EA⊥平面ABC.

以A為坐標原點，AB，AE所在直線為x軸、z軸，平面ABC內過點A垂直于AB的直線為y軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系，

因為∠BAC=π3，AB=AE=1，設AC=a，

所以A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，0，1），G（0，0，12），C（a2，3a2，0），D（a2，3a2，1），H（34，0，14）.

所以EB=（1，0，-1），ED=（a2，3a2，0）.

由（1）知MN∥GH且MN=GH.

所以MN=GH=（34，0，-14）.

設向量m=（x，y，z）為平面BDE的一個法向量，則

m·EB=x-z=0，m·ED=a2x+3a2y=0.

取x=3，則y=-1，z=3.

所以m=（3，-1，3）.

所以sinθ=|cos〈m，MN〉|

=|33/4-3/4|9/16+1/16×3+1+3=21035.

故MN與平面BDE所成角θ的正弦值為21035.

18.（1）零假設H0：郵箱名稱里含有數字與國籍無關.

表2" 列聯表

中國人

外國人

合計

有數字

15

5

20

無數字

5

25

30

合計

20

30

50

由列聯表數據，經計算可得χ2=50×（15×25）220×30×20×30≈17.014gt;10.828=x0.001.

根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為郵箱名稱里含數字與國籍有關，由此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.

（2）由（1）中國人郵箱名稱里含數字的概率為1520=34，則X～B（3，34）.

X的可能取值為0，1，2，3，

P（X=0）=（14）3=164，

P（X=1）=C13（34）（14）2=964，

P（X=2）=C23（34）2（14）=2764，

P（X=3）=（34）3=2764，

E（X）=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94.

19.（1）根據題意，2c=22，故c=2.

又M（2，1）在橢圓上，故2a2+1b2=1.

因為a2-b2=2，解得a2=4，b2=2.

故橢圓方程為x24+y22=1.

（2）如圖6，當l平行于x軸時，設直線與橢圓相交于C，D兩點，如果存在點Q滿足條件，則|QC||QD|=|PC||PD|=1.

即|QC|=|QD|.

所以點Q在y軸上，可設Q的坐標為（0，y0）.

如圖7，當l垂直于x軸時，設直線與橢圓相交于M，N兩點，如果存在點Q滿足條件，則有|QM||QN|=|PM||PN|.

即|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2.

如圖8，當l不平行于x軸且不垂直于x軸時，設直線l方程為y=kx+1，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立y=kx+1，x24+y22=1，得

（1+2k2）x2+4kx-2=0.

因為直線l恒過橢圓內定點P（0，1），故△gt;0恒成立，

x1+x2=-4k1+2k2，x1x2=-21+2k2.

又因為點B關于y軸的對稱點B′的坐標為（-x2，y2），

又kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1，

kQB′=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2，

則kQA-kQB′=2k-x1+x2x1x2=0.

所以kQA=kQB′，則Q，A，B′三點共線.

所以|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.

綜上，存在與點P不同的定點Q，使|QA||QB|=|PA||PB|恒成立，且Q（0，2）.

［責任編輯：李" 璟］