挖掘教材潛能 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

摘" 要：隨著高考命題改革的不斷深化，教材已成為高考數(shù)學(xué)命題一個重要生長點，“從教材中尋求支撐”成為高考數(shù)學(xué)命題的“潛規(guī)則”.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視對教材內(nèi)容、典型例、習(xí)題的挖掘工作，讓學(xué)生體會到“書中自有黃金屋”的妙處，從而提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).文章從兩道教材題目說起，研究有心圓錐曲線（橢圓和雙曲線）的第三定義在高考中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：教材潛能；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；有心圓錐曲線；第三定義

中圖分類號：G632""" 文獻標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0036-07

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：

李寒（1978—），女，貴州省桐梓人，本科，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

近年來，在高考題和各地模擬考試中，出現(xiàn)了許多以有心圓錐曲線（橢圓和雙曲線）的第三定義為背景的試題，比如2020年高考理科第11題（文科第12題）、2022年高考全國甲卷理科第10題及2023年高考全國乙卷理科第1題、文科第12題等就是其中典型例子.在這些試題中，既有考查基礎(chǔ)的客觀題，也有一些難度較大的解答題，乃至對思維能力要求較高的壓軸題.這些試題均以教材題目為“根基”，以素養(yǎng)立意為主線，兼具對基礎(chǔ)與能力的雙重考查，充分展示了有心圓錐曲線第三定義內(nèi)涵與外延的“來龍去脈”，彰顯了數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)之美與和諧之美.為此，本文從兩道教材題目說起，給出有心圓錐曲線（橢圓和雙曲線）的第三定義，并通過

對其進一步探究得到推廣結(jié)論，進而應(yīng)用有心圓錐曲線（橢圓和雙曲線）的第三定義及推廣結(jié)論，簡化解答（對許多客觀題而言可謂“秒殺”）“斜率之積為定值”這一類模型中較為復(fù)雜的解析幾何問題.

1" 教材題目

有心圓錐曲線的第三定義來自普通高中教科書A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（2019年版）［1］中的兩道教材題目.

教材題1" （第108頁例3）如圖1，設(shè)點A，B坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

簡解" 過程見教材.方程為x225+y2（100/9）=1

（x≠±5），是除去A，B兩點的橢圓.

教材題2" （第121頁探究）如圖2，點A，B坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是49，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與3.1例3（上述教材題1）比較，你有什么發(fā)現(xiàn).

簡解" 設(shè)M（x，y），則有yx+5·yx-5=49

（x≠±5），即x225-y2（100/9）=1（x≠±5），是除去A，B兩點的雙曲線.

2" 有心圓錐曲線的第三定義及推廣

上述兩道教材題目所反映的一般情形就是有心圓錐曲線（橢圓或雙曲線）的第三定義：

平面內(nèi)與兩個定點A（-a，0），B（a，0）的斜率的積等于不為零的常數(shù)e2-1的點的軌跡叫作橢圓或雙曲線.這兩個定點為橢圓或雙曲線的頂點.其中，當(dāng)-1lt;e2-1=-b2a2lt;0時是橢圓；當(dāng)e2-1=b2a2gt;0時是雙曲線.

有心圓錐曲線的第三定義揭示了平面上動點變化的規(guī)律，當(dāng)動點與兩個定點連線斜率之積為定值時，可應(yīng)用第三定義來判斷動點軌跡.根據(jù)第三定義，得到斜率之積為定值e2-1的幾個推廣結(jié)論及包含的常見模型.

結(jié)論1"" 在平面內(nèi)，已知A，B是有心圓錐曲線（橢圓或雙曲線）的頂點，M是曲線上不同于A，B的任一點，則kMA·kMB=e2-1.

證明" 以橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）為例證明.

如圖3，A（-a，0），B（a，0）是C的左、右頂點，M（x0，y0）是C上不同于A，B的任一點.

因為A，M都在橢圓上，所以a2a2+02b2=1，x20a2+y20b2=1.

兩式相減，得

（x0+a）（x0-a）a2+y20b2=0.

所以y20（x0+a）（x0-a）=-b2a2.

取AM的中點N（x0-a2，y02），連接ON，則ON∥BM.

所以kMA·kMB=kMA·kON

=y0x0+a·y0x0-a

=y20（x0+a）（x0-a）

=-b2a2=e2-1.

結(jié)論2" 在平面內(nèi)，已知A，B是有心圓錐曲線（橢圓或雙曲線）上關(guān)于原點對稱的兩點，M是曲線上不同于A，B的一點，若kMA，kMB存在，則kMA·kMB=e2-1.反之亦真.

證明" 以橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）為例證明.

如圖4，A（x1，y1），B（-x1，-y1）是C上關(guān)于原點O對稱的兩點，M（x0，y0）是C上不同于A，B的任一點.

因為A，M都在C上，所以x21a2+y21b2=1，x20a2+y20b2=1.

兩式相減，得

（x0+x1）（x0-x1）a2+（y0+y1）（y0-y1）b2=0.

所以（y0+y1）（y0-y1）（x0+x1）（x0-x1）=-b2a2.

取AM的中點N（x0+x12，y0+y12），連接ON，則ON∥BM.

所以kMA·kMB=kMA·kON

=y0-y1x0-x1·（y0+y1）/2（x0+x1）/2

=（y0+y1）（y0-y1）（x0+x1）（x0-x1）

=-b2a2=e2-1.

結(jié)論3" 在平面內(nèi)，已知A，B是有心圓錐曲線（橢圓或雙曲線）上的兩點，M是線段AB的中點，O為坐標(biāo)原點，若kAB，kOM存在，則kAB·kOM=e2-1.

證明" 以橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）為例證明.

如圖5，A（x1，y1），B（x2，y2）是C上的兩點，M（x2+x12，y2+y12）是線段AB的中點.

因為A，B都在C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.

兩式相減，得

（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0.

所以y1-y2x1-x2=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）.

所以kAB·kOM=y1-y2x1-x2·（y2+y1）/2

（x2+x1）/2

=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）·y2+y1x2+x1

=-b2a2=e2-1.

結(jié)論4" 在平面內(nèi)，已知直線AB與橢圓相切于點M，O為坐標(biāo)原點，連接OM，若kAB，kOM存在，則kAB·kOM=e2-1.

證明 "以橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）為例證明.

設(shè)M（x0，y0），則切線AB的方程為x0xa2+y0yb2=1.

所以kAB=-b2x0a2y0.

又因為kOM=y0x0，

所以kAB·kOM=-b2x0a2y0·y0x0=-b2a2=e2-1.

3" 應(yīng)用舉例

由于第三定義是用曲線上的點與兩個定點（頂點）的斜率之積為定值來刻畫的，因此涉及曲線上的點與兩個定點（頂點）的斜率之積問題，可應(yīng)用第三定義來解答完成.由于有心圓錐曲線的第三定義不是教材中的固有定義，在考試中對于選擇或填空題可以直接應(yīng)用，而對于解答題是不能直接應(yīng)用的，但可以為解答題的求解提供思路和方向，從而簡潔思維，簡化計算.

3.1" 判斷命題

例1" 如圖7，已知P，Q是雙曲線x2a2-y2b2=1上關(guān)于原點對稱的兩點，過點P作PM⊥x軸于點M，MQ交雙曲線于點N，設(shè)直線PQ的斜率為k，則下列說法正確的是（"" ）.

A.k的取值范圍是-balt;klt;ba且k≠0

B.直線MN的斜率為k2

C.直線PN的斜率為2b2ka2

D.直線PN與直線QN的斜率之和的最小值為ba

解析" 設(shè)P（x0，y0），則Q（-x0，-y0），M（x0，0）.

由題意可知直線PQ與雙曲線兩支各有一個交點，則斜率k在兩條漸近線斜率之間，故A正確.

因為k=y0x0，kMN=y02x0=k2，故B正確.

由雙曲線的第三定義的推廣結(jié)論2可知

kNP·kNQ=e2-1=b2a2.

又kNQ=kMN=k2，所以kNP·k2=b2a2.

所以kNP=2b2ka2，故C正確.

因為kPN+kQN=2b2ka2+k2≥2ba，故D錯誤.

故選ABC.

3.2" 求點的坐標(biāo)

例2" 設(shè)A，B為雙曲線x2-y29=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（" ）.

A.（1，1）""" B.（-1，2）

C.（1，3）D.（-1，-4）

解法1" （運用第三定義）設(shè)AB中點為M，則由雙曲線第三定義推廣結(jié)論3可知kAB·kOM=e2-1.

因為e2-1=b2a2=9，

所以kAB·kOM=9.

對于選項A，易得kOM=1，所以kAB=9.

由于雙曲線過第一、三象限的漸近線的斜率為k=3，所以kABgt;3，此時直線AB與雙曲線最多有一個交點，與題意矛盾.A錯誤.

對于選項B，易得kOM=-2，所以kAB=-92.由于雙曲線過第二、四象限的漸近線的斜率為k=-3，所以kABlt;-3，此時直線AB與雙曲線最多有一個交點，與題意矛盾.B錯誤.

對于選項C，易得kOM=3，所以kAB=3，此時直線AB與雙曲線漸近線重合，與題意矛盾.C錯誤.

對于選項D，易得kOM=4，所以kAB=94lt;3，符合題意.

故選D.

解法2" （常規(guī)解法）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB的中點M（x1+x22，y1+y22）.

可得kAB=y1-y2x1-x2，kOM=（y1+y2）/2（x1+x2）/2=y1+y2x1+x2.

因為點A，B在雙曲線上，則x21-y219=1，x22-y229=1.

兩式相減，得（x21-x22）-y21-y229=0.

所以kAB·kOM=y21-y22x21-x22=9.

對于選項A： 可得kOM=1，kAB=9.

則直線AB∶y=9x-8.

聯(lián)立方程y=9x-8，x2-y29=1， 消去y，得

72x2-2×72x+73=0.

此時△=（-2×72）2-4×72×73=-288lt;0.

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤.

對于選項B：可得kOM=-2，kAB=-92.

則直線AB：y=-92x-52.

聯(lián)立方程y=-92x-52，x2-y29=1， 消去y，得

45x2+2×45x+61=0.

此時△=（2×45）2-4×45×61=-4×45×16lt;0.

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤.

對于選項C：可得kOM=3，kAB=3，則AB：y=3x.

由雙曲線方程可得a=1，b=3.

則直線AB：y=3x為雙曲線的漸近線.

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤.

對于選項D：kOM=4，kAB=94，則AB：y=94x-74.

聯(lián)立方程y=94x-74，x2-y29=1， 消去y，得

63x2+126x-193=0.

此時△=1262+4×63×193gt;0.

故直線AB與雙曲線有兩個交點，故D正確.

故選D.

3.3" 求離心率

例3" 橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為14，則C的離心率為.

解法1" （運用第三定義）設(shè)C的右頂點為B，則由題意易知kAQ=-kBP.

又kAP·kAQ=14，所以kAP·（-kBP）=14.

即kAP·kBP=-14.

所以根據(jù)橢圓的第三定義，可知e2-1=-14，解得e=32.

對于該高考題，運用橢圓的第三定義可謂是秒殺.下面再給出該題的常規(guī)解法，通過比較，孰繁孰簡便一目了然.

解法2" （常規(guī)解法）設(shè)P（x1，y1），則Q（-x1，y1）.

又A（-a，0），則kAP=y1x1+a，kAQ=y1-x1+a.

所以kAP·kAQ=y1x1+a·y1-x1+a=y21-x21+a2=14.

又因為x21a2+y21b2=1，則y21=b2（a2-x21）a2.

所以b2（a2-x21）/a2-x21+a2=14.

即b2a2=14.

所以橢圓C的離心率e=ca=1-b2a2=32.

例4" （2020年Ⅰ卷理15）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.

解法1" （運用第三定義）設(shè)F（c，0），由BF垂直于x軸易得B（c，b2a）.

設(shè)C的左頂點為A′（-a，0），則kBA′=b2/ac+a.

由雙曲線第三定義，可得kBA·kBA′=b2a2.

即3·b2/ac+a=b2a2.

化簡，得c+a=3a.

所以c=2a，解得e=ca=2.

解法2" （常規(guī)解法）聯(lián)立x=c，x2a2-y2b2=1，a2=b2+c2 解得x=c，y=±b2a

所以|BF|=b2a.

根據(jù)題意可得，|BF||AF|=3，|AF|=c-a.

即b2/ac-a=c2-a2a（c-a）=3.

變形，得c+a=3a，所以c=2a.

因此，雙曲線C的離心率為2.

3.4" 求軌跡

例5" （2019年Ⅱ卷理21（1））已知點A（-2，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為-12，記M的軌跡為曲線C.求C的方程，并說明C是什么曲線.

解法1" （運用第三定義）由橢圓的第三定義可知，C表示焦點在x軸上的橢圓（不包括與x軸的交點），且a=2，-b2a2=-12， 從而解得a2=4，b2=2.

故C的方程為x24+y22=1（x≠±2）.

解法2" （常規(guī)解法）直線AM的斜率為yx+2（x≠-2），直線BM的斜率為yx-2（x≠2）.

由題意可知：yx+2·yx-2=-12.

變形整理，得x2+2y2=4（x≠±2）.

所以曲線C是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為x24+y22=1（x≠±2）

例6" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F（1，0），A，B分別為C的左、右頂點，

P（233，2）是C上的點，則C的方程為.

解析" 由題意知A（-a，0），B（a，0）.

則由橢圓的第三定義，得

kPA·kPB=-b2a2.

即2

23/3+a·223/3-a=-a2-1a2.

整理，得3a4-13a2+4=0.

解得a2=4（a2=13舍去）.

所以b2=a2-1=3.

故C的方程為x24+y23=1.

3.5" 求漸近線方程

例7" 已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點，A，B分別為C的左、右頂點.以F為圓心，|FA|為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點，若△APQ有一個內(nèi)角為60°，則C的漸近線方程為.

解析" 由于C關(guān)于x軸對稱，因此△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形.

因為△APQ有一個內(nèi)角為60°，

因此△APQ是等邊三角形，且∠PAF=30°，故kPA=33.

因為|FP|=|FA|=a+c，

所以∠AFP=120°.

設(shè)PQ交x軸于點G，則∠PFG=60°.

所以|GF|=|PF|cos60°=a+c2.

設(shè)P（x0，y0），所以x0=c+|GF|=a+3c2，

y0=|PF|sin60°=3（a+c）2.

故P（a+3c2，3（a+c）2）.

根據(jù)雙曲線的第三定義，可得kPA·kPB=b2a2.

從而33·

3（a+c）/2（a+3c）/2-a=b2a2.

因此a+c3c-a=c2-a2a2.

變形整理，得3c2-4ca=0，

解得e=ca=43.

所以ba=（ca）2-1=169-1=73.

故C的漸近線方程為y=±73x.

3.6" 求與角度有關(guān)的問題

例8" （2021屆湖南省長郡中學(xué)等十五校聯(lián)考）已知點A（-5，0），B（5，0），C（-1，0），D（1，0），P（x，y），如果直線PA，PB的斜率之積為-45，記∠PCD=α，∠PDC=β，則sinα+sinβsin（α+β）=.

解析" 由橢圓的第三定義，可知a2=5，b2=4.

所以點P的軌跡方程為

x25+y24=1（x≠±5）.

所以C，D為橢圓的兩個焦點.

所以sinα+sinβsin（α+β）=|PC|+|PD||CD|=2a2c=5.

3.7" 求斜率的取值范圍

例9" 橢圓C：x24+y23=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上，且直線PA2斜率的取值范圍為［-2，-1］，那么直線PA1斜率的取值范圍為.

解法1" （運用第三定義）根據(jù)橢圓的第三定義，可得kPA1·kPA2=-34，所以kPA1=-34kPA2.

因為-2≤kPA2≤-1，所以38≤-34kPA2≤34.

解法2" （常規(guī)解法）由題意，可知A1（-2，0），A2（2，0）.

設(shè)P（x0，y0）（x0≠±2），則x204+y203=1.

整理，得y20x20-4=-34.

因為kPA1=y0x0+2，kPA2=y0x0-2，

所以kPA1·kPA2=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4=-34.

因為-2≤kPA2≤-1，所以38≤-34kPA2≤34.

4" 結(jié)束語

教材是高考數(shù)學(xué)命題的增長點，立足教材，堅持對教材的回歸，將教材例題、習(xí)題進行重新組合、改編或加工為新的高考試題，已成為高考數(shù)學(xué)的一個重要命題趨勢.因此，在教學(xué)過程中，教師需要多做“返璞歸真”的工作，引導(dǎo)學(xué)生重視回歸教材，通過對教材核心內(nèi)容及典型題目的探索、提煉、拓展、推廣，達到挖掘其內(nèi)涵，理解其本質(zhì)，把控其規(guī)律，應(yīng)用其結(jié)論的目的，進而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到升華，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

參考文獻：

［1］

人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［責(zé)任編輯：李" 璟］