基于有限差分法的一維電主軸熱態(tài)特性分析

丁卓琛,沈沐霖,趙仕安,趙東方

(中國(guó)石油大學(xué)(華東),山東 青島 266580)

0 引言

電主軸是數(shù)控機(jī)床的三大核心部件之一,同時(shí)也是主要熱源之一[1]。數(shù)控機(jī)床的加工精度很大程度上取決于電主軸的熱態(tài)特性,研究表明熱誤差是數(shù)控機(jī)床的最大誤差源,占總誤差的 40%～70%[2]。因此,電主軸熱態(tài)特性分析對(duì)減緩精度損失具有重要意義,相關(guān)研究具有較高的科研與工程價(jià)值。

熱態(tài)特性是指系統(tǒng)的熱力學(xué)參數(shù),包含溫度、熱變形、熱應(yīng)力等,本文的研究對(duì)象為電主軸軸向溫度場(chǎng)分布。為了獲取其一維特性,需要對(duì)三維模型進(jìn)行一維化。一維化的核心在于把截面的相關(guān)參數(shù)等效到一個(gè)節(jié)點(diǎn)處,形成一個(gè)沿軸向線性分布的點(diǎn)集,通過(guò)研究各節(jié)點(diǎn)之間的熱傳遞從而推導(dǎo)出一維主軸軸向的溫度分布。目前,對(duì)于一維溫度場(chǎng)的研究方法主要分為解析法和數(shù)值法,其中數(shù)值法主要包括有限差分法、有限元法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。

目前,國(guó)內(nèi)很多學(xué)者都對(duì)電主軸熱態(tài)特性進(jìn)行了分析與研究,有其獨(dú)到之處,但也存在一些不足。天津大學(xué)的姜杉等[3]在不考慮主軸與周?chē)諝鉄峤粨Q的情況下對(duì)傳熱方程進(jìn)行簡(jiǎn)化,將非齊次偏微分方程轉(zhuǎn)化為齊次形式進(jìn)行求解,但簡(jiǎn)化本身存在一定誤差,同時(shí)對(duì)邊界條件提出了更高要求。西安交通大學(xué)的顏?zhàn)谧康萚4]將熱源測(cè)點(diǎn)溫度變化量與響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行卷積積分來(lái)估算電主軸系統(tǒng)的溫度分布,模型的精度與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量和準(zhǔn)確性有關(guān),對(duì)硬件條件要求高。哈爾濱理工大學(xué)的李寶偉[5]基于RNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了電主軸熱特性模型,訓(xùn)練樣本對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的質(zhì)量起決定性作用,為獲取精確模型往往需要大量數(shù)據(jù)支撐;尹相茗[6]將簡(jiǎn)化后的電主軸模型導(dǎo)入Workbench進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)熱分析,結(jié)果較為精確但建模過(guò)程復(fù)雜。蘭州理工大學(xué)的王志強(qiáng)[7]利用Mechanical APDL對(duì)于電主軸的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)溫度場(chǎng)進(jìn)行研究,通過(guò)二維單元對(duì)三維模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,但步驟仍過(guò)于繁瑣。

對(duì)于溫度場(chǎng)的研究,科研和工程實(shí)踐中廣泛應(yīng)用ANSYS Mechanical APDL和Workbench 作為分析工具,但是針對(duì)于一維問(wèn)題在某些方面仍存在不足。具體來(lái)說(shuō):Mechanical APDL中沒(méi)有針對(duì)于一維梁?jiǎn)卧O(shè)置熱力分析單元,為了進(jìn)行相關(guān)分析,可采用一維桿單元Link 33、Link 34替代,但不能考慮截面形狀、面積以及材料的比熱容,經(jīng)檢驗(yàn)結(jié)果存在偏差。Workbench通過(guò)將三維模型劃分為若干單元體進(jìn)行分析,其仿真精度高,但需對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模,獲取一維特性的經(jīng)濟(jì)、時(shí)間成本較高。

有限差分法通過(guò)迭代進(jìn)行運(yùn)算,與有限元法相比計(jì)算速度快,對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求低,與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法相比步驟簡(jiǎn)單、適應(yīng)性強(qiáng)。本文從理論分析出發(fā),借助傳熱學(xué)相關(guān)理論,對(duì)主軸進(jìn)行一維化處理與結(jié)構(gòu)劃分,建立了一維主軸溫度場(chǎng)模型,基于有限差分法實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算。計(jì)算過(guò)程中僅涉及代數(shù)方程求解,運(yùn)算速度快,對(duì)于不同的電主軸僅需更改相關(guān)參數(shù)設(shè)置,實(shí)現(xiàn)了對(duì)于一維電主軸溫度場(chǎng)的快速、適用性強(qiáng)的計(jì)算分析,可為電主軸設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用提供參考。

1 熱源分析及計(jì)算

電主軸內(nèi)部有兩大熱源:內(nèi)部電機(jī)和兩端軸承。為了獲得主軸溫度分布規(guī)律,需要對(duì)熱源產(chǎn)熱量進(jìn)行計(jì)算,從而獲得內(nèi)部熱源的發(fā)熱率。

本文研究對(duì)象為額定功率30kW的電主軸在其額定轉(zhuǎn)速9 900r/min下的溫度分布情況。

1.1 內(nèi)部電機(jī)生熱

電主軸內(nèi)部普遍采用三相交流電動(dòng)機(jī),電機(jī)產(chǎn)生的熱量可以從功率或能量損耗的角度分析,理論上認(rèn)為輸入功率全部轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)電主軸運(yùn)轉(zhuǎn)的能量,但是實(shí)際上存在機(jī)械損耗、磁損耗、電損耗和附加損耗,故電機(jī)是存在一定機(jī)械效率的。

電動(dòng)機(jī)輸入功率為

(1)

取電機(jī)效率η為90%,電機(jī)損耗為

Pw=(1-η)P

(2)

電主軸以額定功率運(yùn)行時(shí),可以由上式計(jì)算出各個(gè)部分的損耗,并假設(shè)損耗全部轉(zhuǎn)化為熱量,因此電機(jī)各部分的生熱率可由下式計(jì)算:

(3)

式中:Qi為各部分的熱功率,W/m3;V為熱源的體積,m3。

對(duì)于本文研究的一維化模型,需將截面的相關(guān)參數(shù)等效到一個(gè)節(jié)點(diǎn)處,根據(jù)各部分面積在總面積中占比對(duì)生熱率做加權(quán),可得電機(jī)部分的生熱率

(4)

式中:Si為各部分所占面積,m2;S為總面積,m2。

1.2 前后軸承生熱

摩擦是軸承運(yùn)轉(zhuǎn)中最主要的熱源,具體包括滾動(dòng)體與外圈、滾動(dòng)體與內(nèi)圈以及保持架和潤(rùn)滑劑的摩擦[8]。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[9],由摩擦產(chǎn)生的熱量Qf可表達(dá)為

(5)

式中:M為摩擦力矩,N·mm;n為轉(zhuǎn)速,r/min。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式,軸承摩擦力矩M與速度無(wú)關(guān),主要由兩部分組成:一是潤(rùn)滑劑自身黏度引起的摩擦力矩M0,二是在載荷作用下的摩擦力矩M1,具體如下式[9]:

M=M0+M1

(6)

工程中常用潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)黏度ν普遍滿足ν·n≥2 000,因此黏性摩擦力矩M0可表達(dá)為

(7)

式中:Dm為軸承平均直徑,mm;f0為與軸承類(lèi)型和潤(rùn)滑方式有關(guān)的系數(shù),對(duì)于單列角接觸球軸承取f0=2。

軸承載荷力矩M1滿足

M1=f1P1Dm

(8)

式中:f1是與軸承類(lèi)型、額定載荷及當(dāng)量靜載荷有關(guān)的系數(shù);P1為軸承承受載荷,N,計(jì)算方法如下:

f1=0.001 3(P0/C0)0.33

(9)

P1=Fa-0.1Fr

(10)

式中:P0為當(dāng)量靜載荷,N;C0為基本額定靜載荷,N;Fa為軸向載荷,N;Fr為徑向載荷,N。

2 主軸熱態(tài)特性模型建立

2.1 傳熱學(xué)理論基礎(chǔ)

傳熱學(xué)中定義的傳熱方式有3種:熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射,傳熱過(guò)程由這3個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的。本文主要研究穩(wěn)定運(yùn)行階段電主軸的溫度場(chǎng)分布,因此,將電主軸與周?chē)h(huán)境的熱交換近似看作穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程,因輻射換熱量較少可以忽略不計(jì)。

2.2 一維傳熱公式

對(duì)于主軸內(nèi)各微元體來(lái)說(shuō),滿足能量守恒方程:

dΦin+dQ=dΦout+dU+dΦs

(11)

式中:dΦin為導(dǎo)入總熱流量,W;dQ為內(nèi)熱源的生成熱,W;dΦout為導(dǎo)出總熱流量,W;dU為熱力學(xué)能增量,W;dΦs為對(duì)流換熱量,W。圖1為微元體熱態(tài)特性。

圖1 微元體熱態(tài)特性

由傅里葉定律,導(dǎo)入、導(dǎo)出微元體的熱流量分別可以表示為:

dΦin=Aqx=-λAc?t/?x

(12)

dΦout=Aqx+dx

(13)

式中:λ為材料的熱導(dǎo)率,W/m3;Ac為截面面積,m2;t為溫度,℃,與坐標(biāo)x和時(shí)間τ有關(guān)。

在所研究的范圍內(nèi),熱流密度函數(shù)q是連續(xù)的,可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的形式:

(14)

式中dx為無(wú)窮小量,可近似地取級(jí)數(shù)前兩項(xiàng),即

(15)

微元體的熱力學(xué)能增量可以表示為

(16)

式中:ρ為材料密度,kg/m3;c為材料的比熱容,J/(kg·K)。

微元體的生熱量可以表示為

(17)

由牛頓冷卻公式,熱對(duì)流交換熱量為

dΦs=PhdxΔt

(18)

式中:P為截面周長(zhǎng),m;h為傳熱系數(shù),W/(m2·K)。

將上述相關(guān)推導(dǎo)代入式(11),可得一維主軸傳熱公式

(19)

2.3 主軸劃分

對(duì)于一維電主軸來(lái)說(shuō),由于生熱率、傳熱系數(shù)等參數(shù)的不同,各部分呈現(xiàn)出不同的溫度分布規(guī)律。本文根據(jù)熱力學(xué)特性,將電主軸劃分為電機(jī)部分、軸承部分、主軸部分,如圖2所示。

圖2 主軸劃分圖

電機(jī)部分、軸承部分是電主軸內(nèi)部?jī)纱鬅嵩?在建立模型時(shí)將這兩部分按照微元體內(nèi)熱源的方式進(jìn)行定義、計(jì)算。電主軸各個(gè)部分與外界的熱傳導(dǎo)方式不同,傳熱系數(shù)也各不相同。電機(jī)部分主要通過(guò)冷卻水道中的冷卻水帶走內(nèi)部產(chǎn)生的熱量,其傳熱系數(shù)與冷卻水道的截面積、長(zhǎng)度、冷卻水流量等參數(shù)有關(guān)。軸承中廣泛應(yīng)用油氣潤(rùn)滑技術(shù),通過(guò)內(nèi)部壓縮空氣散熱,其傳熱系數(shù)與壓縮空氣的平均速度有關(guān)。主軸部分直接與空氣進(jìn)行對(duì)流換熱,其換熱系數(shù)與主軸表面轉(zhuǎn)速有關(guān)。

經(jīng)計(jì)算,相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

2.4 一維溫度場(chǎng)建模與數(shù)值模擬

對(duì)主軸進(jìn)行離散化處理,將主軸劃分為282個(gè)節(jié)點(diǎn),首尾兩節(jié)點(diǎn)溫度與室溫一致作為邊界條件,如圖3所示。

圖3 一維電主軸離散化示意圖

為了獲得針對(duì)單一變量軸向位置的差分格式,將溫度對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為差商形式如下:

(20)

將上文推導(dǎo)的一維傳熱方程進(jìn)行離散化,相鄰節(jié)點(diǎn)間表達(dá)式如下:

(21)

將差分格式進(jìn)行整理可得系統(tǒng)方程如下:

(22)

將系統(tǒng)方程通過(guò)歐拉法求解:

Tn+1=Tn+F(τn,xn)(τn+1-τn)

(23)

式中:τn代表第n個(gè)時(shí)間步;F(τn,xn)是主軸各節(jié)點(diǎn)在τn時(shí)刻導(dǎo)數(shù)的矩陣。

在MATLAB中完成上述程序編寫(xiě),可以實(shí)現(xiàn)一維主軸軸向溫度的快速獲取,運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。

圖4 一維主軸溫度場(chǎng)分布情況

由圖4可以看出,溫度最高的部分是電機(jī)中部,為78℃,電機(jī)內(nèi)部發(fā)熱對(duì)于主軸溫升影響最大。軸承對(duì)于溫升的影響不是很明顯,由于前后軸承類(lèi)型不同,溫升情況也不同,分別呈現(xiàn)出36℃、37℃的溫度。

3 有限元模擬驗(yàn)證

本文采用一維化的方式對(duì)電主軸溫度場(chǎng)進(jìn)行分析,用截面的綜合屬性來(lái)描述每一截面,由于結(jié)構(gòu)限制,導(dǎo)致采用實(shí)驗(yàn)法獲得電主軸內(nèi)部溫度比較困難,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可行性差。而采用ANSYS Workbench進(jìn)行有限元分析是行業(yè)內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行熱分析最常用的方式,可以全面地獲取電主軸內(nèi)部的溫度數(shù)據(jù),同時(shí)其結(jié)果具有一定準(zhǔn)確度與可靠性。因此本文采用Workbench進(jìn)行有限元仿真的方式來(lái)驗(yàn)證本模型。

驗(yàn)證的主要思路為沿主軸徑向取等距平行于軸線的路徑,將這些路徑上溫度的平均值作為電主軸一維溫度場(chǎng)的仿真結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比,具體步驟如下。

1)根據(jù)熱分析需要,在三維建模過(guò)程中對(duì)模型適當(dāng)簡(jiǎn)化,在Solidworks中完成建模,如圖5所示。

圖5 Solidworks三維模型

2)將建立好的模型導(dǎo)入ANSYS Workbench穩(wěn)態(tài)熱分析模塊中,在Engineering data模塊中設(shè)置材料參數(shù),在Mesh模塊中實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格劃分。

3)將上文計(jì)算好的相關(guān)參數(shù)通過(guò)Environment模塊加載到電主軸模型上,包括初始溫度、換熱系數(shù)、生熱率等。

4)根據(jù)上文結(jié)構(gòu)劃分,沿軸向等距建立一系列平行于軸線的路徑(path),如圖6所示。

圖6 溫度測(cè)量路徑

5)結(jié)果中查看路徑軸向方向溫度數(shù)據(jù),如圖7所示。

圖7 Workbench仿真結(jié)果

6)將相關(guān)數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB取均值后繪圖,并與本文建模所得曲線比較(圖8)。

圖8 建模結(jié)果和仿真結(jié)果比較

由圖8可以看出,本文提出模型的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致,誤差維持在7℃以?xún)?nèi),高溫區(qū)域兩曲線基本重合,可以滿足工程實(shí)際使用要求。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了電主軸的一維溫度場(chǎng)分布,對(duì)電主軸模型進(jìn)行了一維化處理,結(jié)合熱力學(xué)特性對(duì)模型進(jìn)行合理的結(jié)構(gòu)劃分,基于傳熱學(xué)理論建立了電主軸一維傳熱模型,通過(guò)有限差分法獲得數(shù)值解,與有限元仿真結(jié)果呈現(xiàn)較高一致性,為電主軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用提供一定參考。本方法的特點(diǎn)在于簡(jiǎn)化了一維溫度場(chǎng)求解步驟,將非齊次偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行計(jì)算,大大提高了計(jì)算速度。針對(duì)不同實(shí)際情況僅需調(diào)整參數(shù),不需重新進(jìn)行建模,計(jì)算時(shí)間相較于其他方法大大減少。

本文所建立模型與仿真結(jié)果存在一定差異,主要原因是對(duì)一維問(wèn)題的研究存在局限性,但其對(duì)于多維傳熱以及復(fù)雜結(jié)構(gòu)的熱特性分析仍有參考意義。