基于物理信息深度學習算法的Flame D 熱流場重構研究

摘要：盡管數值模擬方法在求解流體動力學的湍流過程中發展迅速，但處理復雜的幾何形狀和流動過程時，在準確建模和計算速度等問題上仍面臨挑戰性。針對當前在計算流體力學（Computational Fluid Dynamics，CFD）上存在的計算代價大等問題，本文在傳統的湍流數值模擬技術的基礎上，結合機器學習，以經典的Sandia Flame D 燃燒模型為例，通過引入物理信息的深度學習算法， 建立物理信息神經網絡架構（Physical-Information Neural Network，PINN），將符合規律的物理信息內嵌到神經網絡，使得用小樣本就能實現參數的流場重構。在平面維度上，分別對PINN 和數據驅動方法重構的結果，與CFD 軟件仿真結果進行對比分析，其中PINN 方法在訓練集大小不及樣本點總數一半的情況下，即可得到數據驅動方法在大樣本情況下的重構結果，重構出燃燒過程在t=1 s 時刻的軸向、徑向速度以及溫度的L2 相對誤差分別為0.187%、1.194%， 0.071%， 且在訓練集占樣本點總數的55%、70%、82% 的情況下，PINN 方法均比數據驅動方法誤差小。在時間維度上，成功重構t=0.3、0.5、1 s 時刻的軸向速度云圖，證明PINN 方法能夠重構出幾何模型采樣時間范圍內任意時刻的物理場分布云圖。

關鍵詞：計算流體力學；深度學習；物理信息神經網絡；湍流燃燒；流場重構

中圖分類號：TQ038.4 文獻標志碼：A

湍流數值模擬技術在實際工程應用（如航空、航天、航海等領域）中有非常廣泛的應用場景，也越來越受到學術界和工業界的重視。目前在湍流的數值模擬實驗中，最常見是使用雷諾平均法進行求解，相較于直接數值模擬方法速度更快[1]。盡管越來越多的研究人員對數值模擬技術進行了深入的研究，但是這種技術在解決工程應用問題過程中需要耗費的計算量依舊很大[2]。

深度學習（DL）以其對復雜時空系統進行非線性建模的強大能力，近年來在計算力學領域受到了極大關注，以神經網絡為代表的深度學習方法快速發展，并逐漸與傳統的物理模型等科學領域進行結合[3-5]。深度學習模型的構建方式主要分為兩種類型：數據驅動方式和物理信息驅動方式。在數據驅動方法框架中，DL 模型被構造為一個黑盒，用來學習從輸入到輸出的代理映射。深度神經網絡以其獨特的逼近能力使得在維度維數都很高的情況下也能學習映射，通常所需的數據集非常龐大，通過各種工業仿真軟件模擬得到[6]。然而，從模擬中獲得足夠的數據集需要大量的時間和精力，并且對模擬的過程需要仔細監察。為了減少這樣昂貴的花銷，基于物理信息的深度學習策略打開了這樣的市場，通過將符合物理運動規律的偏微分方程（Partial DifferentialEquation，PDE）、或者初始/邊界條件嵌入到深度神經網絡中，利用事物反應的內在物理規律來實現求解。

物理信息神經網絡架構（Physical InformationNeutral Network， PINN）方法最開始是由Raissi 等[7]所提出的應用于求解PDE 的一種深度學習方法。隨著機器學習領域的飛速發展，計算流體力學領域的學者也不斷努力，將計算流體力學與深度學習相結合。Wang 等[8]介紹了PINN 的一般框架，并展示了其在建模復雜物理系統（如求解/識別PDE） 方面的能力，Li 等[9] 利用PINN 在薛定諤方程的參數研究方面取得了進展，Nabian 等[10] 進一步提高了PINN 在求解非線性PDE上的能力。與以往一些研究的不同之處在于，除了物理定律之外，PINN 還可以利用現有的測量數據，從而有可能發現物理尚未完全理解的系統。特別是近年來開創性地利用PINN 模擬流體流動。如Kissas等[11] 根據MRI數據和守恒定律利用PINN 預測動脈血壓。Karniadakis 等[12] 將物理信息驅動的機器學習方法應用于診斷鋰電池的壽命，Sun 等[13] 提出了一種無需任何仿真數據的流體流動代理建模的PINN 方法。李艷東等[14]將物理信息耦合到對鍋爐的數值模擬方法中，提升了計算的準確性。陸至彬等[15] 應用PINN 策略處理固體、流體共軛傳熱建模的問題。

本文的研究目標是構建基于物理信息的神經網絡算法的流體動力學方案，利用流體力學的隱藏物理方程，結合計算流體力學中經典的湍流燃燒模型，預測速度場和溫度場。從傳統方法的對比和從時間范圍的角度，分別應用本方案來重構速度場和溫度場，并與商業軟件Fluent 數值模擬的確切解進行了比較，在算法性能和時間領域上對參與燃燒反應中的參數進行流場重構實驗。仿真結果表明，該方法能夠實現采樣時間范圍內任意時刻的速度場、溫度場的重構，同傳統的數據驅動方法相比，在精度和所需訓練集樣本數量上有更好的性能。在全局情況下，采用物理信息的神經網絡算法的流體動力學方案，能夠重構出采樣時間范圍內任意時刻的物理場信息。

1 Flame D 燃燒過程數值模擬

1.1 物理模型結構與網格劃分

Sandia 值班射流火焰系列是美國 Sandia 國家實驗室與德國技術大學合作完成的一系列不同雷諾數的值班射流火焰實驗[16-18]，其中Sandia Flame D 是一個廣泛使用的測試案例，該系列火焰實驗測量了詳細的速度場和標量場等實驗數據，經過大量準確性研究驗證，常被用來驗證模型的正確性。

燃燒器的構造是一個軸對稱結構，整個燃燒器包括3 個部分，分別由半徑為3.6 mm 的燃料口，外圍半徑為9.1 mm 的值班口，以及半徑為300 mm 的伴流口組成。燃料口中燃料組分為25% 甲烷和75%空氣（體積分數） ，以49.6 m/s 的速度進入燃燒器內[19]。值班口以11.4 m/s 的速度注入高溫空氣，主要作用是點火與引燃。本文采用二維的Sandia Flame D模型的結構示意圖見圖1，邊界條件設定如表1 所示，整個燃燒器結構可以按圖1 中X 軸對稱展開。

在前處理軟件Gambit 上對二維Sandia FlameD 進行建模和結構化網格劃分，采用標準的四面體網格對結構進行劃分，最后生成的網格數是2 450 個，二維Sandia Flame D 網格劃分如圖2 所示。

1.2 湍流燃燒的CFD 計算

數值模擬的目的在于獲取用于模型訓練所需的數據集，以及獲取作為結果驗證的對照樣本。湍流燃燒數值模擬方法主要有3 種，分別為直接數值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）、雷諾平均數值模擬（Reynolds Average Numerical Simulation，RANS）和大渦模擬（Large Eddy Simulation，LES）[20-21]。目前關于Sandia 值班射流系列火焰的數值模擬研究已經非常多，由于RANS 方法的計算成本相對較低，且本方案的二維Sandia Flame D 燃燒實驗的復雜度較低，RANS 方法能滿足對該流場的計算精度的要求，因此本次數值模擬采用RANS 方法， 并應用RealizableK-ε湍流模型。

應用本方案的數據驅動和基于物理信息的深度學習方法，研究對采樣時間范圍內的各物理場的重構。甲烷燃燒數值模擬實驗是一個瞬態問題，隨著時間的推移，甲烷在燃燒器內逐漸燃燒，各物理場的流場分布也隨時間的變化呈現出不同的特征，最后趨于穩定狀態。基于此，通過數值模擬獲得一段時間范圍的數據集，取其中的一部分用于訓練，構造網絡模型來驗證本方案的可行性。圖3 展示了數值模擬計算的基本過程。

本次CFD 數值模擬實驗在CFD 軟件AnsysFluent 19.0 中進行，氣相燃燒模型包括有限速率模型、非預混燃燒模型、預混燃燒模型、部分預混燃燒模型和渦耗散概念模型（EDC），這幾種模型均可用于湍流計算。火焰的形成包括擴散火焰和預混火焰，擴散火焰是非預混的燃料和氧化劑燃燒所形成的結果，在這種情形下火焰鋒面會受到各個方向的對流或擴散的影響，火焰尾部形狀較為凌亂。而預混火焰在燃燒前，燃料和氧化劑就已經相互滲透，火焰形狀較為規整，非預混燃燒模型計算速度快但準確性有所欠缺，預混燃燒模型計算速度較慢，但準確性高，而EDC 主要用于考慮污染物生成的慢反應過程，特點是計算成本高、速度慢、精度高。由于本實驗是基于甲烷與空氣的燃燒反應，可以視作快反應過程，于是在保證一定的精度下，選擇計算速度、準確性均居中的部分預混燃燒模型，該模型燃料和氧化劑可以從2 個或者3 個口進入，在燃料反應之前，將部分燃料和氧化劑提前混合在一起。使用耦合求解器（Coupled）求解控制方程，計算中使用自調整的動態計算時間步長，求解的梯度采用最小二乘法，動量項、湍流擴散率以及其他項均使用二階迎風格式。

邊界條件的設定，主要是對燃料口、值班口、伴流口分別賦予注入速度。燃料口以49.6 m/s 的速度注入CH4，值班口以11.4 m/s 的速度注入H2、H、O、O2、OH、H2O、CO、CO2、NO 等混合物質組分氧化劑，伴流口以0.9 m/s 速度注入空氣進行緩沖。選擇瞬態計算，計算時間步長設置0.01 s，每2 個時間步長保存一下當前反應區域內多個物理參數的數值分布數據。迭代次數設置為500，迭代完成之后計算域的出、入口的質量凈通量達到?1.891 019×10?5 kg/s，且模擬量和真實的實驗數據幾乎吻合，可判斷為收斂。

圖4 給出了Sandia Flame D 軸向的溫度分布的CFD 數值模擬結果和真實實驗數據的對比圖。從比較結果來看，Fluent 的計算結果具有高保真性，與真實數據有較高的吻合程度，因此數值模擬的數據作為用于訓練的樣本數據具有可靠性。

2 基于物理信息的網絡框架

2.1 基礎理論

物理信息的深度學習模型在流體力學上的應用，本質在于利用深度神經網絡來求解非線性PDE。PINN 即一種基于物理信息的神經網絡，它不僅能夠像傳統神經網絡一樣學習到訓練數據樣本的分布規律，而且能夠學習到數學方程描述的物理定律。

假設對于求解以下一維PDE 問題，形式如下

ut +uux +0.01πuxx = 0，"x 2 Ω，"t ∈ [0，T] （1）

其中：u（t， x）為方程的解，是關于時間t 和位置x 的函數；ut和ux分別是u（t， x）對變量t 和x 的偏導數；uxx為u（t， x）對x 的二階導數。

PINN 即通過神經網絡和PDE 的耦合運算，將物理方程的殘差合并到損失函數中來實現對PDE 的求解。對于上述的一維PDE 問題，該物理信息網絡的輸入是t、x，網絡的輸出是u0（t， x），網絡輸出的偏微分u′0（t， x）滿足PDE 的等式關系。目標函數一部分由u（t， x）和u0（t， x）的偏差關系來構成，另一部分由u′0（t， x）滿足的物理等式關系構成，通過不斷迭代使得目標函數即損失函數達到最小，從而使網絡可以逼近解。

圖5 展示了PINN 算法的求解過程。整個算法的框架主要分為兩個部分，即神經網絡擬合部分和PDE 量化部分。由神經網絡擬合部分的輸出構成損失函數的數據損失部分Lossd，由PDE 量化部分攜帶的物理規律構成損失函數的方程損失部分Losse，兩部分共同構成算法的目標函數。通過梯度下降算法，使用自動微分技術讓目標函數最小化來迭代更新神經網絡中的參數，直到損失函數值趨于穩定收斂，這樣所構造的基于物理信息的神經網絡模型不需要引入邊界條件，就可以實現燃燒器區域內的流場各參數的解的逼近，對輸入可行范圍內的（t， x）即可得到相應的輸出。

2.2 Flame D 燃燒過程中的物理信息方程

在計算流體力學中，物質運動/反應的情況大都可以通過一系列的控制方程進行描述[22]，一般經由質量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程能較好地描述流體的運動規律。在本方案的工作中，所采用的實例為二維黏性不可壓縮流體的Sandia FlameD 非穩態甲烷燃燒模型，它的控制方程主要由連續性方程、動量守恒方程和能量守恒方程構成。

對于質量守恒方程，又稱為連續性方程，它描述了流體的質量守恒原理，二維情況下的甲烷燃燒模型的連續性方程可寫成如下形式：

ux +uy = 0 （2）

對于動量守恒方程，大部分流體流動的情況都符合納維-斯托克斯（Navier-Stoke，N-S）方程，N-S 方程概括了黏性不可壓縮流體流動的普遍規律。本次甲烷燃燒模型數值模擬采用的是Realizable K-ε模型，在二維直角坐標系中的湍流流動的控制方程的通用表達式可以表達為如下形式：

式中：φ 為各個物理參數 u、v、T、K、ε 的統稱，其中u、v分別為二維坐標系中軸向和徑向的速度分量；ρ為甲烷混合氣體密度；г為廣義擴散系數；S稱為源項。г和S的表達式視物理參數的情況而變化[23]。

因此燃燒模型的控制方程可描述成以下5 組方程：

其中：T 代表溫度；K 代表脈動動能；ε代表耗散率；p代表壓力；μ和μt分別為分子黏性和黏性系數，μ可由Fluent 計算得出，而μt由下式表示：

μt = cμρK2/ε （5）

c1 、 c2 、 cμ"、 σT 、 σK 、 σε 為 6 個經驗常數，分別取值1.44、1.92、0.09、1.0、1.0、1.3。

至此，用于PINN 耦合算法的數據驅動部分和PDE 部分已構造完成。

2.3 數據驅動下的網絡結構模型

本次研究內容實現的是對物理量徑向速度u、軸向速度v以及溫度T的流場重構，因此，基于數據驅動下的神經網絡模型的輸出為3 個， 不考慮PDE 的影響，則損失函數包含3 部分，分別對應著兩個方向的速度損失項，以及溫度損失項。構造損失函數的形式如式（6）所示。

式（6）中N 為方程的個數，此處N=6。構造的神經網絡模型基本結構為1 個3 輸入3 輸出的全連接網絡模型，輸入時刻信息和網格的位置坐標信息，輸出的物理量對應著Sandia Flame D 燃燒模型計算區域內的速度分量和溫度分布。模型的網絡結構深度設計為10 層，各隱藏層的神經元個數為12，采用全連接結構，激活函數采用tanh，網絡中的超參數w、b 進行隨機初始化操作，采用Adam優化器進行參數調整。構造的神經網絡模型如圖6所示。

2.4 物理信息下的網絡結構模型

基于物理信息的PINN 下的流場重構，考慮了符合流體運動的N-S 方程，將N-S 方程加入到神經網絡逼近的損失函數表達式中，根據2.1 節中的PINN算法的基礎理論和2.2 節中的Sandia Flame D 燃燒的控制方程的介紹，得知耦合PINN 方法的損失函數主要由兩部分組成，一部分是基于實驗數值模擬的數據誤差，另一部分是符合物理規律的PDE 誤差，因此可以構造整體的誤差損失函數如式（7）所示。

其中 ei 的表達式根據 2.2 節中 Flame D 燃燒實驗的控制方程可得：

由此構造的神經網絡模型基本結構為3 輸入6 輸出的全連接網絡模型，輸入變量為時刻信息以及網格的位置坐標信息，輸出變量對應著Sandia FlameD 燃燒模型計算區域內的速度分量、溫度分布以及用于后續PDE 計算的參數p、K 和ε。最終對重構出的速度分量、溫度分布進行流場分布情況的可視化處理，得到各參數的分布云圖。模型采用全連接的結構，深度設計為10 層，各隱藏層的神經元個數為12，激活函數采用tanh，網絡中的超參數w，b 進行隨機初始化操作，采用Adam 優化器進行參數調節。構造的基于物理信息的神經網絡模型如圖7 所示。

3 結果與分析

通過對Sandia Flame D 燃燒模型進行數值模擬，得到不同時刻下各物理參數（速度、溫度等）的實驗數據，結合本文提出的基于物理信息的神經網絡算法的流體動力學方案，對非穩態燃燒模型燃燒反應在某一時刻的物理參數進行檢測以及可視化，并與傳統的純數據驅動方法在物理參數的云圖結果、樣本數量、準確度等幾個維度進行對比，驗證算法的可靠性和優越性。最后實現在采樣時間范圍內，對全局中任意時刻的流場重構，提升了本文深度學習算法的流體動力學方案的應用廣度。

3.1 不同方法下的結果對比

為了評估模型算法的性能指標，采用各參數的L2 相對誤差作為評價指標，將每個時間步的L2 相對誤差定義為：

其中 V 是物理參數的矢量表達，L2 相對誤差衡量的是通過網絡模型得出的預測值和高保真的真實數據之間的誤差關系，其值越小，代表模型的準確性越高。

對燃燒反應的物理參數進行流場重構。樣本數據t ∈ [0.9;1.1]，計算域范圍x ∈ [0，40D] ，y ∈ [0，5D]，共計20 組數據。在甲烷燃燒區域范圍內，分別用2.3 節數據驅動網絡模型和2.4 節基于物理信息的網絡模型，總樣本點數為36 600。在訓練樣本點不同數量的情況下，以t=1 s 的流場作為檢驗標準，將兩種方法重構的t=1 s 的物理參數結果進行可視化處理，分別對其燃燒過程的u、 v、T的實驗結果以云圖的方式展現出來，并與工業軟件Fluent 中數值模擬的數據進行對比，結果如圖8 所示。

在全部樣本點總數為36 600 的情況下，分別在訓練樣本數為20 000、25 000、30 000、35 000 時分析兩種算法模型對于重構Sandia Flame 燃燒實驗區域中的流場分布情況，結合各網絡模型輸出結果和真實結果之間，采用L2 相對誤差作為衡量指標，比較兩種方法得出的計算域內物理參數u（X 方向速度）和T（溫度）與高保真的真實數據之間的L2 相對誤差，來對比分析結合物理信息的PINN 方法的優劣性，結果如表2 和圖9 所示（其中?u、 ?v、 ?T分別表示u， v，T 的L2 相對誤差）。

當訓練樣本數大于或等于20 000 時，數據驅動方法和PINN 方法在大致情況上都能夠實現物理場的重構。隨著訓練樣本數的增加，數據驅動方法下的速度、溫度等的L2 相對誤差會一直隨訓練樣本數的增加而逐漸減少，而PINN 方法下的速度、溫度等的L2 相對誤差在更少樣本數25 000 的時候就基本達到飽和，即隨著樣本數的增加，模型精度的提升跨度較小，而數據驅動模型的精度隨著樣本點的增加仍有較大提升的趨勢，這意味著PINN 方法在需要少量的訓練樣本數的情況下就可以達到數據驅動在大量訓練樣本數的情況下的精度，表明了PINN 相對于數據驅動在所需訓練樣本數上的優越性，能用更少的數據樣本學習到更具泛化能力的模型，同時PINN 方法訓練的模型相對于數據驅動的模型在精度方面也有一定程度的提升。

3.2 任意時刻的流場重構

Sandia Flame D 燃燒實驗是瞬態變化的過程，火焰的形狀隨著反應的進行逐漸變化。在3.1 節基礎上，采用物理信息下的神經網絡模型來實現采樣時間范圍內的任意時刻的流場重構。通過1.2 節的數值模擬，選擇采樣樣本為燃燒過程t=0～1 s 時間范圍內、采樣間隔為0.01 s的100 組數據，共計183 000 個樣本點，隨機選取其中100 000 個樣本點作為訓練數據，利用構造的物理信息神經網絡結構模型分別對0.3、0.5、1 s 的軸向速度進行重構預測，同時對3 個時刻的流場云圖與工業計算軟件Fluent 上的計算結果進行對比分析，結果如圖10 所示。

可以看到，PINN 方法重構出的參數流場分布情況與Fluent 真實模擬流場分布情況基本一致，PINN方法僅用近55% 的樣本數據即可實現對經典湍流燃燒實驗的流場重構。同時也展現出Sandia FlameD 燃燒反應是一個隨時間變化的過程，燃燒反應在幾何區域內從左往右擴散，軸向速度也不斷填充反應的區域，直至呈現出飽和的狀態，大小趨于穩定。可以看到在Sandia Flame D 燃燒反應發生的時間域上，PINN 能夠實現在采樣時間范圍內任意時刻的軸向速度的流場重構，并且能夠直觀地體現物理參數隨著燃燒過程而產生的變化規律。

4 結束語

應用本文構建的基于物理信息的深度學習求解流體動力學方案，對Sandia Flame D 甲烷燃燒模型進行了數值模擬計算，分別構建了數據驅動網絡框架和PINN 網絡框架。先在小樣本范圍內，將Fluent計算結果和傳統數據驅動方法以及PINN 耦合算法的實驗結果進行可視化對比，并用L2 相對誤差衡量了模型精度，結果表明在保證精度的前提下，PINN耦合算法用總樣本數量的55% 即可得到傳統數據驅動算法用總樣本數量80% 訓練的結果，進一步驗證了基于物理信息的深度學習算法在傳統算法上性能的優越性。在大樣本范圍內，進行了全局的流場重構，運用PINN 耦合算法實現了全局采樣時間范圍內，任意時刻的流場重構， Fluent 模擬結果和PINN重構結果兩者基本一致。這證明了本方案的有效性，以及基于物理信息的神經網絡模型可訓練性好等優點。

本文的研究方案在具有代表性的湍流燃燒模型中具有較好的精度和一定的泛化性，可為復雜的工業級裝置上的研究提供思路。下一步的工作將開展對復雜工業模型在采樣時間范圍之外熱流場的預測。

參考文獻：

[ 1 ]黃婷， 張浩楠， 薛潔， 等. 甲烷機理的簡化及其在FlameD 火焰數值模擬中的應用[J]. 化學研究與應用， 2022，34（10）： 2425-2434.

[ 2 ]SLOTNICK J， KHODADOUST A， ALONSO J， et al. CFDVision 2030 study： A path to revolutionary computationalaerosciences[J]. Mchenry County Natural Hazards MitigationPlan， 2014， 34（2）： 203-214.

[ 3 ]PEARLMUTTER B A， ALEXEY A. Automatic differentiationin machine learning： A survey[J]. Computer Science，2015， 11（5）： 297-342.

[ 4 ]MARGOSSIAN C C. A review of automatic differentiationand its efficient implementation[J]. Wiley InterdisciplinaryReviews： Data Mining and Knowledge Discovery， 2018， 9：53291312.

[ 5 ]KARPATNE A， ATLURI G， FAGHMOUS J H， et al.Theory-guided data science： A new paradigm for scientificdiscovery from data[J]. IEEE Transactions on Knowledgeand Data Engineering， 2017， 29（10）： 2318-2331.

[ 6 ]LAGARIS I E， LIKAS A， FOTIADIS D I， et al. Artificialneural networks for solving ordinary and partial differentialequations [J]. IEEE Transactions on Neural Networks，1998， 9（5）：987-998.

[ 7 ]RAISSI M， PERDIKARIS P， KARNIADAKIS G E. Physics-informed neural networks： A deep learning frameworkfor solving forward and inverse problems involving nonlinearpartial differential equations[J]. Journal of ComputationalPhysics， 2019， 378（1）： 686-707.

[ 8 ]WANG Z， RAISSI M， TRIANTAFYLLOU M S， et al.Deep learning of vortex induced vibrations [J]. Journal ofFluid Mechanics， 2019， 19（3）： 30-49.

[ 9 ]LI W， ZHOU Z， YAN Z . Data-driven vortex solitons andparameter discovery of 2D generalized nonlinearSchrdinger equations with a PT-symmetric optical lattice[J]. Computers and Mathematics with Application， 2023，140（10）： 17-23.

[10][10] NABIAN M A， GLADSTONE R J， MEIDANI H. Efficient training of physics‐informed neural networks via importancesampling[J]. Computer‐ Aided Civil and InfrastructureEngineering， 2021， 36（8）： 962-977.

[11]KISSAS G， YANG Y， HWUANG E， et al. Machine learningin cardiovascular flows modeling： Predicting arterialblood pressure from non-invasive 4D flow MRI data usingphysics-informed neural networks[J]. Computer Methods inApplied Mechanics and Engineering， 2020， 358（1）： 1-30.

[12]KARNIADAKIS G E， KEVREKIDIS I G， LU L， et al.Physics-informed machine learning [J]. Nature ReviewsPhysics， 2023， 3： 422-440.

[13]SUN L， GAO H， PAN S， et al. Surrogate modeling forfluid flows based on physics-constrained deep learningwithout simulation data[J]. Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering， 2020， 361： 112732.

[14]李艷東， 張超， 魏國華， 等. 多物理信息耦合的鍋爐數值模擬方法[J]. 電站系統工程， 2023， 39（3）： 47-48，52.

[15]陸至彬， 李依夢， 何暢， 等. 集成分區耦合策略的物理信息神經網絡模擬共軛傳熱過程研究[J]. 化工學報， 2022，73（12）： 5483-5493.

[16]BARLOW R S， CHEN J Y， DALLY B， et al. Eleventhinternational workshop on measurement and computationof turbulent non-premixed Flames （TNF11） [J]. ComputerScience， 2023， 24（11）： 356-390.

[17]BARLOW R S， FRANK J H. Effects of turbulence on speciesmass fractions in methane/air jet flames[J]. Symposium（International） on Combustion， 1998， 27（1）： 1087-1095.

[18]BARLOW R S， Frank J， Karpetis A， et al. Pilotedmethane/air jet flames： Transport effects and aspects ofscalar structure [J]. Combustion and Flame， 2005， 143（4）：433-449.

[19]BARLOW R， FRANK J. Piloted CH4/air flames C， D， E，and F [J]. Physics of Fluids， 2022， 34（8）： 130-148.

[20]王海峰， 陳義良. 采用考慮詳細化學反應機理的火焰面模型模擬湍流擴散火焰[J]. 燃燒科學與技術， 2004，10（1）： 5.

[21]徐曉， 陳義良， 王海峰. 數值研究Sandia 火焰D 中輻射熱的影響[J]. 工程熱物理學報， 2006（4）： 649-651.

[22]吳子牛. 計算流體力學基本原理 [M]. 北京： 科學出版社，2001.

[23]陶文銓. 數值傳熱學 [M]. 西安： 西安交通大學出版社，2001： 249-250.

（責任編輯：劉亞萍）

基金項目： 國家自然科學基金基礎科學中心項目（61988101）；新疆維吾爾自治區重大科技專項項目（2022A01006-4）；國家自然科學基金（62273149，62203173）；上海市重型燃氣輪機領域聯合創新計劃（UIC 計劃））