“三正切公式”的巧用：基于一道教材習題的探究

陳婷

摘要：通過鏈接教材，結(jié)合兩角和正切公式的應用，證明教材中的一道課后習題，并利用問題的歸納與總結(jié)給出對應斜三角形的“三正切公式”，在此基礎上進行一般情況下的變式推廣，借助實例剖析定理與推論的應用，拓展學生數(shù)學思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：正切；三角形；三正切公式；推論

隨著新高考改革的不斷推進，回歸教材、嚴抓基礎已經(jīng)成為高中數(shù)學課堂教學與學習中的關(guān)鍵詞與熱點，特別是新高考中，越來越多的高考數(shù)學試題都可以在教材中尋覓到其“影蹤”.此類高考數(shù)學試題基于教材，通過深入挖掘、合理改編、巧妙變形、創(chuàng)新應用等手段，賦予教材中的例（習）題等一個全新的情境、創(chuàng)新的生命，進而合理承載教學示范，引導教學改革，倡導創(chuàng)新應用，逐步成為新高考數(shù)學試卷命題的一種新導向與新熱點.

1 源于教材

習題〔人教版《數(shù)學》（必修第一冊）復習參考題5第254頁第12題第（1）小題〕證明：tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan βtan（α+β）.

此題直接利用兩角和的正切公式tan（α+β）=tan α+tan β1-tan αtan β，通過公式的變形與轉(zhuǎn)化即可得以證明.

2 新結(jié)論展示

對于以上習題，取其特殊情況：在斜三角形ABC中，令α=A，β=B，則有A+B=α+β=π-C，代入上面習題對應的三角關(guān)系式中，可得tan A+tan B=tan（A+B）-tan Atan Btan（A+B），則有tan A+tan B=tan（π-C）-tan Atan Btan（π-C），結(jié)合誘導公式有tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C，整理可得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

這是在以上習題的特殊情境下導出的新結(jié)論，也是斜三角形中三個內(nèi)角的正切函數(shù)值之間的一個重要恒等式.

結(jié)論：在斜三角形ABC中，恒有關(guān)系式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C成立.

以上三角恒等式中，合理構(gòu)建了斜三角形中三個內(nèi)角的正切值之和與正切值乘積相等的特殊結(jié)構(gòu)特征，因而將以上這個斜三角形中有關(guān)三內(nèi)角所滿足的三角恒等式稱為三角形的“三正切公式”.

將以上有關(guān)三角形的“三正切公式”進一步加以深入與推廣，發(fā)散思維，變式拓展，得到以下幾個對應的推廣結(jié)論.

推廣1若角A，B，C滿足A+B+C=kπ（k∈Z），且tan A，tan B，tan C都有意義時，恒有關(guān)系式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C成立.

推廣2若tan（x-y），tan（y-z），tan（z-x）都有意義時，恒有關(guān)系式tan（x-y）+tan（y-z）+tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z）tan（z-x）成立.

推廣3在△ABC中，恒有關(guān)系式tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1成立.

3 結(jié)論應用

借助三角形的“三正切公式”及其相應的推廣，可以直接跳過兩角和正切公式的應用與變形處理，在解決一些與三角形有關(guān)的正切函數(shù)問題中有奇效，可以優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

3.1 三角求值問題

例1在銳角三角形ABC中，已知1tan A+1tan B=tan C2，則tan Atan B=.

分析：通過條件中三角函數(shù)關(guān)系式的通分變形及恒等轉(zhuǎn)化，利用三角形的“三正切公式”構(gòu)建三角形三內(nèi)角正切值的關(guān)系式，再次代入三角形的“三正切公式”即可求解.

解析：由1tan A+1tan B=tan C2，整理可得

tan A+tan Btan Atan B=tan C2.

化簡，得tan Atan Btan C=2（tan A+tan B）.

根據(jù)三角形的“三正切公式”，整理可得2（tan A+tan B）=tan A+tan B+tan C，則有tan A+tan B=tan C.

代入三角形的“三正切公式”，有tan Atan Btan C=2tan C，即tan Atan B=2.

故填答案：2.

點評：抓住題設中的三角函數(shù)關(guān)系式，合理進行三角恒等變換并兩次利用三角形的“三正切公式”，借助整體思維與方程思維，為問題的破解與三角函數(shù)式的求值指明方向.在具體求值與應用的過程中，三角函數(shù)式的整體思維與應用是關(guān)鍵.

例2已知△ABC的內(nèi)角為A，B，C.若tan A，tan B，tan C均為正整數(shù)，則tan A+tan B+tan C=.

分析：根據(jù)三角形中三內(nèi)角的大小限定，通過反證法確定三角形中最小角的正切值，并結(jié)合三角形的“三正切公式”進行變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建關(guān)于三角形中另外兩個內(nèi)角的三角關(guān)系式，借助正切值為正整數(shù)來解對應的方程得以確定對應的正切值，實現(xiàn)問題的破解.

解析：不失一般性，不妨設A＜B＜C，則知A不是鈍角，tan A＞0.

假設tan A≥2，由于tanπ3=3，且y=tan x在0，π2內(nèi)單調(diào)遞增，則有A＞π3.

又A＜B＜C，則知B，C都大于π3，與A+B+C=π矛盾，由此可知假設不成立.

又tan A為正整數(shù)，所以tan A=1，即A=π4.

結(jié)合三角形的“三正切公式”，可得tanπ4+tan B+tan C=tanπ4tan Btan C，即tan Btan C=tan B+tan C+1.

由題設知tan B，tan C均為正整數(shù)，且滿足B＜C，則可解得tan B=2，tan C=3.

所以tan A+tan B+tan C=1+2+3=6.

故填答案：6.

點評：根據(jù)三角形三內(nèi)角的正切值都是正整數(shù)，借助反證法確定三角形中最小角的正切值，是問題解決的切入點與關(guān)鍵點，而進一步利用三角形的“三正切公式”構(gòu)建涉及兩內(nèi)角正切值的函數(shù)關(guān)系式，通過方程的求解與應用，可以實現(xiàn)問題的突破與巧妙求解.

3.2 最值應用問題

例3（2016年高考數(shù)學江蘇卷·14）在銳角三角形ABC中，若sin A=2sin Bsin C，則tan A＼5tan Btan C的最小值是.

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和與誘導公式等，化題設條件中的三角關(guān)系式為角B和C的關(guān)系式，得到涉及這兩角正切值的關(guān)系式，綜合利用三角形的“三正切公式”和基本不等式，確定三角關(guān)系式的最值問題.

解析：在銳角三角形ABC中，tan A，tan B，tan C均為正數(shù).

結(jié)合三角形的基本性質(zhì)，可得sin A=sin（B+C）=2sin Bsin C.

利用三角恒等變換公式，展開有sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C，整理得tan B+tan C=2tan Btan C.

而根據(jù)三角形的“三正切公式”，可得tan A＼5tan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B＼5tan C≥22tan Atan Btan C.

解得tan Atan Btan C≥8，當且僅當tan A=2tan Btan C，即tan A=4，tan B=2+2，tan C=2-2（或tan B，tan C互換）時，等號成立.

故填答案：8.

點評：以上問題中，巧妙把三角形的內(nèi)角和定理、誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換以及基本不等式等眾多知識加以交匯融合，借助三角形“三正切公式”的轉(zhuǎn)化，綜合三角函數(shù)思維、函數(shù)與方程思維、不等式思維等的創(chuàng)設與應用，實現(xiàn)問題的解決.

4 教學啟示

4.1 回歸教材，落實基礎

眾里尋根千百度，根源卻在教材例（習）題處.各類試題，包括高考試題、競賽試題等，均呈現(xiàn)出回歸教材的趨勢.由此可見，高中數(shù)學教材是命題最好的“母題庫”.

回歸教材，從教材的基本知識點，以及例題、習題等眾多視角進行深入挖掘，從問題情境、數(shù)學背景、知識演變、知識交匯、思維融合等多個層面和多個視角進行合理深入與探究，全面領悟并傳承高中數(shù)學教材中對應例（習）題的教學價值，真正有效分享高中數(shù)學教材題源的經(jīng)典與智慧，繼承并發(fā)揚數(shù)學精神.

4.2 總結(jié)規(guī)律，拓展提升

借助數(shù)學基礎知識與思想方法等，進行合理的拓展與探究，進一步總結(jié)歸納得到一些相應的規(guī)律或結(jié)論——“二級結(jié)論”，是對基礎知識與思想方法等的再加工、再探究，進而更加有效地解決一些相應的數(shù)學問題，實現(xiàn)對相關(guān)知識的理解與掌握，提升數(shù)學能力，優(yōu)化解題過程，提升解題效益，拓展數(shù)學思維，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).