基于聲擾動方程的氣動噪聲傳播積分計算方法

鄭雯斯，王芳

1.西北工業大學，陜西 西安 710072

2.北方民族大學，寧夏 銀川 750030

以FW-H 方程[1]為代表的經典聲比擬理論假設介質整場均勻，建立了聲壓與不同類型聲源之間的響應關系，成為工程應用中最受歡迎的氣動噪聲預測方法[2]。但流動在聲源區域通常存在梯度，對近場聲傳播起決定性作用的是聲源相對于緊臨周圍（約一個波長左右范圍）的非均勻平均流運動，而不是相對于無窮遠處的均勻介質運動。為了將非均勻平均流的作用包括在聲比擬理論中，需建立一個恰當的波動方程來描述聲波產生與輻射過程。

文獻[3]～[6]對非均勻平均流中的聲傳播進行了研究，提出了各自的波動方程。Goldstein[7]提出廣義聲比擬理論，將N-S方程重組為對流形式的線化N-S方程組，以此分析了射流中“真實”的氣動聲源。這些對流波動方程深化了人們對氣動噪聲產生機理的認識，但面對復雜流動問題，用于求解這些方程的格林函數不能獲得理論解。在實際應用中，如何準確求解格林函數成為噪聲預測中的一個關鍵。Tam[8]考慮了非均勻平均流的聲折射作用，發展了關聯近場聲源和遠場聲壓的伴隨格林函數方法，計算量小且不存在積分奇點，目前僅應用于固體邊界不起主要作用的氣動噪聲問題，如Karabasov 等[9-10]采用伴隨格林函數對射流噪聲在非均勻介質中的傳播進行過研究。針對非均勻介質中聲傳播，Goldstein[11]提出了線化勢函數模型，Pierce[12]發展了高頻近似模型，Bras 等[13]則應用兩個模型分析了運動介質中聲傳播的直接問題和伴隨問題。伴隨方法有益于解決非均勻介質中聲傳播問題，Spieser 等[14]采用伴隨方法研究了Ma0.9 的湍流噪聲問題，趙雯[15]采用伴隨方法分析了矩形噴口射流噪聲。

流動發聲與渦之間存在密切聯系，Powell[16]和Howe[17]提出的渦聲理論能從物理上清晰地解釋流體運動誘發氣動噪聲的機理，認為渦是流動發聲的根本原因。目前，渦聲理論多應用于低馬赫數流動產生的氣動噪聲問題，并認為聲波是在均勻介質中傳播，忽略了平均流與聲波間的相互作用。Ewert等[18]提出了考慮介質非均勻效應的聲擾動方程，但需要利用高精度時空離散格式[19-20]和無反射邊界條件[21-22]在時域內計算聲傳播，因而效率低。

高效、準確預測聲傳播是氣動聲學研究的一個重要方向。為了將渦聲思想應用于非低馬赫數流動，本文采用聲擾動方程描述聲波運動，依據伴隨方法構建關聯近場聲源與遠場聲壓的頻域格林函數，從而發展一種高效、準確的聲傳播積分方法，可為復雜流動氣動噪聲產生機理和復雜介質氣動噪聲傳播機制分析提供理論與方法支持。

1 方法描述

1.1 聲擾動方程

忽略黏性和熱傳導對聲傳播的影響，N-S方程可簡寫為

式中，標量ρ，p及矢量u，分別表示當地瞬態流動的密度、壓力和速度。將當地流動分解為平均流和非穩態擾動兩部分，即

式中，ρˉ，pˉ和uˉ表示無窮遠均勻來流分量；ρ′，p′和u′表示非穩態擾動量。利用式（2）線化式（1），得到

1.2 伴隨格林函數法

對圖1（a）所示聲波直接輻射問題，觀察點和聲源位置分別用矢量x和y表示，關聯兩者的格林函數為G(x,y)。為獲取滿足式（6）的格林函數，需將圖1（a）所示的直接問題轉化為圖1（b）所示的伴隨問題，伴隨格林函數用G(y,x)表示。對線性聲學問題，根據聲學互易定理有G(x,y) =G(y,x)。用G4和Gi（二維問題i=1, 2，三維問題i=1, 2, 3）分別表示壓力型和速度型伴隨格林函數。根據式（6），G4和Gi在頻域內滿足

圖1 直接問題與伴隨問題示意圖Fig.1 Schematic of direct and adjoint problems

式中，i和ω分別為虛數單位和圓頻率。

采用有限差分方法求解式（8）以獲得壓力型和速度型伴隨格林函數的數值解?？臻g離散采用五點四階中心差分格式。將聲傳播區域分為常系數和變系數波動區域兩部分，在常系數區域使用緩沖區（Buffer Zone）邊界條件結合拉伸網格的方法來吸收和衰減聲波，在固體邊界施加聲學硬邊界條件。

遠場聲傳播可采用下述積分方程描述

2 算例驗證

利用二維圓柱和NACA0012翼型繞流算例來驗證上述氣動噪聲預測方法的可靠性。采用Fluent軟件計算非定常流動以提取氣動聲源，湍流模型選擇基于S—A模型的IDDES方法。

2.1 二維圓柱氣動噪聲預測

二維圓柱直徑D=0.04m，無窮遠均勻來流馬赫數為0.3，基于直徑的雷諾數Re為100。流動遠場距離圓柱中心200D，對圓柱尾渦脫落區域進行網格加密處理，結構化網格總數約為20 萬個，聲學積分區域位于紅色線條內部，如圖2所示。

圖2 二維圓柱網格Fig.2 Configuration of mesh gird of 2D cylinder

圖3 為二維圓柱繞流展向渦量的空間分布云圖，低雷諾數層流運動在圓柱尾跡區域出現了周期性的渦脫落。流動計算得到的尾渦脫落頻率為416Hz，相應的無量綱頻率St=0.161。

圖3 二維圓柱瞬時展向渦量云圖Fig.3 Snapshots of the instantaneous spanwise-vorticity structure of 2D cylinder

將聲學觀察點置于以圓柱中心為原點、半徑為20D的圓上。對圓柱尾渦脫落頻率噪聲，選取120°觀察點，非均勻平均流和均勻平均流條件下壓力型伴隨格林函數虛部的空間分布如圖4 所示，兩者結果幾乎一致。尾渦脫落頻率波長與圓柱直徑比約為20，意味著近場非均勻流動區域的特征尺寸遠小于一個波長，這使得近場流動非均勻性對聲傳播的影響可以忽略不計。

圖4 二維圓柱壓力型伴隨格林函數虛部云圖Fig.4 Snapshots of the imaginary part of the pressure pattern adjoint Green's function for 2D cylinder

數值預測的90°觀察點聲場頻譜如圖5所示，與計算流體力學（CFD）直接計算結果相比，尾渦脫落頻率St=0.161及其一階諧波St=0.322 處，兩者的噪聲大小具有很好的一致性。圖6進一步顯示了尾渦脫落頻率的聲壓級指向性分布，各觀察點處的數值預測結果與CFD直接計算值非常吻合，最大誤差約為1dB。

圖5 二維圓柱聲場的聲壓級頻譜Fig.5 Spectrum of sound pressure level of 2D cylinder

圖6 二維圓柱尾渦脫落頻率聲場空間指向性分布Fig.6 Directivity of sound pressure level at the frequency of vortex shedding of 2D cylinder

2.2 二維NACA0012翼型氣動噪聲預測

NACA0012翼型弦長C=0.1m、迎角為7°的均勻來流馬赫數Ma=0.4，基于弦長的雷諾數Re=5×104。流動遠場距離翼型中心200C，網格總數約為32 萬個，在流動分離區域進行網格加密處理。圖7 為瞬時展向渦量空間分布，流動計算所得尾渦脫落頻率為St=2.92，對應的聲波波長與翼型弦長比為0.85，波長接近弦長預示非均勻平均流對聲波傳播的影響不能忽略。

圖7 二維NACA0012翼型瞬時展向渦量云圖Fig.7 Snapshots of the instantaneous spanwise-vorticity structure of 2D NACA0012 airfoil

觀察點布置在以翼型流向中心為原點、半徑為10C的圓上。對渦脫落頻率St=2.92，選取60°觀察點，非均勻平均流和均勻平均流條件下壓力型伴隨格林函數幅值的空間分布如圖8 所示。兩者的空間分布基本相似，但在渦脫落區域存在明顯差異。

圖8 二維NACA0012翼型壓力型伴隨格林函數云圖Fig.8 Snapshots of the pressure pattern adjoint Green's function for 2D NACA0012 airfoil

圖9 進一步給出了非均勻平均流和均勻平均流條件下，60°觀察點對應的速度型伴隨格林函數G1實部的空間分布。類似壓力型伴隨格林函數，渦脫落區域的非均勻平均流對聲傳播存在顯著影響。

圖9 二維NACA0012翼型速度型伴隨格林函數實部云圖Fig.9 Snapshots of the real part of thevelocity pattern adjoint Green's function for 2D NACA0012 airfoil

圖10 給出了90°觀察點聲場頻譜數值預測結果，與CFD 直接計算結果對比，兩者在頻率分布和峰值大小上基本一致。三個主要峰值頻率（St=1.96, 2.92, 3.87）的噪聲結果對比見表1，可以看出，St=2.92 處的噪聲差異最大，聲壓級的數值預測結果比CFD直接計算值高1.3dB。圖11進一步展示了不同頻率下的聲壓級指向性分布，在各觀察點處，本文方法的數值預測結果與CFD直接計算值吻合較好。

表1 二維NACA0012翼型主要峰值噪聲Table 1 Main peak noise of 2D NACA0012 airfoil

圖10 二維NACA0012翼型聲場頻譜Fig.10 Spectrum of sound field of 2D NACA0012 airfoil

圖11 二維NACA0012翼型不同頻率聲場指向性分布圖Fig.11 Directivity patterns of 2D NACA0012 airfoil noise at different frequencies

3 結論

為了考慮非均勻介質聲折射對氣動噪聲傳播的影響，本文采用聲擾動方程描述聲波在非均勻介質中的傳播，基于聲學互易原理構建關聯近場聲源與遠場聲壓的頻域伴隨格林函數。進而利用伴隨格林函數和聲擾動方程源項的數值計算結果，通過頻域積分計算噪聲傳播。通過研究可以得到以下結論：

（1） 二維圓柱和NACA0012翼型繞流噪聲的頻譜和指向性預測結果與CFD直接計算值吻合。

（2） 對聲波波長遠大于非均勻流動區域范圍的聲輻射問題，可以直接忽略非均勻流動對聲傳播的影響；而當聲波波長與非均勻流動區域特征尺寸相近時，非均勻流動對聲波的折射作用明顯。