如何利用圖形的平移解決規律探索題

郭祖濤

摘要：在初中數學日常思維訓練中，經常會遇到規律探索題.這類題雖然趣味性強，但學生的實際解決水平比較弱，導致大部分學生在見到此類問題時往往避之不及.針對該問題，教師一方面要認識到規律探索題是中考命題熱點題型，另一方面積極探索解決此類問題的方法，幫助學生不斷提高探究能力.本文中結合實例探究如何利用圖形的平移解決規律探索類問題.

關鍵詞：圖形的平移；規律探索題；趣味；方法

根據教學經驗，規律探索題在日常檢測與中考中出現的幾率非常大，且難度較大，往往是學生提高學業水平的“攔路虎”［1］.基于此，本文中從例題分析出發，嘗試總結出利用圖形的平移解決規律探索題的方法.

1 規律探索題的素養體現

規律探索題之所以是初中數學教學的難點，是因為規律的探索尤為注重對規律性特征的把握，而這又依賴于從情境式的問題中尋找隱含的數學關系，整個過程可以看成是對規律性結構的重建與加工.因此，規律探索題主要體現了以下素養：

首先，數學抽象與邏輯推理素養.將圖形的平移抽象成點的變化，通過點的變化進行邏輯推理，并得到其他點的坐標，這體現了數學抽象與邏輯推理素養.

其次，直觀想象與邏輯推理素養.通過圖形可直觀地觀察點的運動情況，并總結出點的變化規律，從而運用邏輯推理得到其他點的坐標，這是直觀想象與邏輯推理素養的體現.

最后，邏輯推理及數學運算素養.點的運動會導致坐標的變化，而其變化規律既要通過邏輯推理得到，同時應用其規律推理其他點的坐標時，又是數學運算的體現.所以，應用圖形的平移解決規律探索題時，體現了邏輯推理及數學運算素養.

2 例題分析及解法評析

下面結合例題分析嘗試總結利用圖形的平移解決規律探索題的方法.

例1 已知A1，A2，A3，A4，A5，……的坐標分別為（1，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1），（2，-1），……，如圖1進行下去，則點A2 013的坐標是（ ）.

A.（504，-503）

B.（504，504）

C.（-504，504）

D.（-504，-504）

解析：根據觀察不難發現，凡是角標數字為4的倍數的點全部位于第三象限.

因為2 013÷4=503……1，所以

A2 013在第四象限，故

A2 012在第三象限.

由2 012÷4=503，可知

A2 012是第三象限第503個點.

所以A2012的坐標應是（-503，-503）.故

A2013的坐標應是 （504，-503）.

故選答案：A.

解法評析：本題主要考查學生觀察規律、總結規律和應用規律解決問題的能力.規律的觀察重在用數學眼光看待問題，規律的總結重在用數學的語言表達問題，規律的應用重在用數學方法解決問題，這是學科素養的體現.在解決這類問題時，抓住角標的變化規律，就可以抓住點的變化規律［2］.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標系中，將點A（-1，0）做如下的連續平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）……，按此規律平移下去，則點A102的坐標是（ ）.

A.（100，101）

B.（101，100）

C.（102，101）

D.（103，102）

分析：根據題意可知，點A平移時所在象限每4次為一個周期.由102÷4=25……2，可知點A102的坐標與點A4n+2的坐標規律相同，分別求出A2，A6，A10的坐標，找出規律后即可求解.

解析：根據將點A（-1，0）作如下的連續平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）……，得到其中的規律就是點A平移時所在象限每4次為一個周期.

因為102÷4=25……2，所以

點A102的坐標與點A4n+2的坐標規律相同.

因為A2，A6，A10的坐標分別是（2，1），（6，5），（10，9），以此類推，

點A4n+2的坐標是（4n+2，4n+1），所以

A102的坐標是（102，101）.

故選答案：C.

解法評析：本題與例1的解法類似，都是找出點的下標的規律，據此找出點A的平移規律或平移周期，最后根據這一規律計算即可.

例3 有一個從原點出發的動點，按照如圖3所示的箭頭移動，每次移動一個單位長度，依次得到點P1，P2，P3，P4，P5，P6，……，它們的坐標分別是（0，1），（1，1），（1，0），（1，-1），（2，-1），（2，0），……，按照這樣的規律進行下去，點P60的坐標是.

分析：根據圖形分別求出n=3，6，9時對應的點的坐標，可知點P3n（n，0），將n=20代入可得.

解：因為P3（1，0），P6（2，0），P9（3，0），……，所以

P3n（n，0）.

當n=20時，P60（20，0）.

故填答案：（20，0）.

解法評析：本題考查了點的坐標的變化規律，仔細觀察圖形，分別求出n=3，6，9時對應的點的坐標是解題的關鍵.

3 方法總結

通過上面幾道例題的分析和解法評析不難發現，利用圖形的平移解決規律探索題，既有趣又探究意義十足，是訓練學生數學思維的重要方法.下面對利用圖形的平移解決規律探索題的方法作如下總結：

首先，利用圖形的平移解決規律探索題一定會應用圖形的平移知識，其中主要涉及點的平移規律［3］.所以，在教學中需幫助學生不斷鞏固和強化圖形平移中點的平移規律.筆者建議，教師可通過例題變式或舉一反三的形式，讓學生接觸各種點的運動方式，如例1、例2的“旋轉式”或例3的“S式”等.這樣一來，學生就會不斷積累相應的分析與解題經驗，更有利于問題的解決.

其次，奠定知識基礎后，接著通過圖形觀察點的運動狀態.通常點的運動蘊藏著一定規律，這個規律不僅呈現出周期變化，而且往往與點的角標規律有關.所以，結合序號分析點的角標的變化規律對解決這類問題非常關鍵.但是，有時候角標的規律可能比較難分析，這就需要教師補充規律探索中的數字式規律，從而幫助學生彌補這一不足.

最后，在找到點的角標規律后，將題中要求的點的角標與該規律聯系起來，并進行相關的計算即可求解.這種計算往往比較簡單，但仍需學生多加注意.

綜上所述，盡管規律探究題的難度不小，且其中點的運動過程需用心分析，但并非意味著學生遇到此類問題時可“繞道而行”，相反應“迎難而上”.因此，作為一線初中數學教師要善于從題中總結出解題方法，幫助學生解決疑難問題［4］.只有這樣，學生的探究能力和問題解決能力才會得到提高.

參考文獻：

［1］明廷軍. 關注圖形平移過程 掌握圖形變化規律——微課教學的實踐探索［J］. 中學數學研究（華南師范大學版）， 2020（18）：48-50.

［2］賀洪秋. 精心設計學習問題 促進目標有效達成——以《圖形的平移》教學為例［J］. 數學大世界（中旬）， 2021（8）：55-56.

［3］安德枝. 借助圖形運動 培養轉化意識 ——以《運用平移解決問題》教學為例［J］. 湖北教育（教育教學）， 2020（8）：73-74.

［4］林海. 利用平移變換的思想解決幾何綜合題的策略與方法［J］. 求知導刊， 2020（43）：65-66.

作者單位：安徽省宿州市碭山縣晨光中學