一題誘發　拓展利用　激發聯想　促進遷移

楊建霞

摘要：如何通過問題訓練，幫助學生快速分析問題，抓住問題突破口或切入點，提升學生解題的能力？本文中從日常訓練過程中所涉及到的含有“45°”角的幾個問題展開論述，深挖問題特點，尋求解題突破線索，從而彰顯問題的價值.在讓學生靈活掌握解題技巧或解題思路的過程中體會問題的本質所在，激發學生解題聯想與問題遷移，提升綜合素養.

關鍵詞：45°角；拓展利用；促進遷移；聯想

數學問題是啟發學生思維的源泉.教師在講解問題的過程中，只有抓住問題突破的方向，找到恰當的方法，才能正確啟發學生探究準確的思維路徑，在此基礎上引領學生及時總結相關解題方法與思路，將數學方法轉變為數學思想，再將數學思想沉淀為數學能力，從而轉化為數學綜合素養，至此，所訓練的問題才能真正凸顯其價值^［1］.

波利亞在《怎樣解題》一書中說過這樣的話：“教師最重要的任務之一是幫助學生分析問題，挖掘問題本質，尋求解題線索，辨析解題方法，有效地幫助學生提升分析和解決問題的能力.”

本文中以一道含有45°角的幾何問題為例展開研究分析，彰顯問題價值.

1 問題呈現

如圖1所示，已知D是△ABC所在平面內一點，BD⊥AD，AD交BC于點E.∠ABC＝45°，點F為AE上一點，BC平分∠FBD，若AE＝2BD，求證：AF＝2BD.

2 問題思考

分析題干，我們知道的已知條件為四個：BD⊥AD，∠ABC＝45°，BC平分∠FBD，AE＝2BD.顯然，比較明顯的條件就是∠ABC＝45°，如何突破這一條件是破解本題的關鍵.問題的結論是判斷AF與BD的大小關系，且滿足AF=2BD，觀察到此時，可以初步得到這些條件都與等腰直角三角形相關，故可以考慮構造等腰直角三角形找到解題切入點.

如圖2，過點A作AH⊥BC于點H，取AE的中點J，連接HJ，DH，則有HJ＝AJ＝JE，容易證得△AHJ≌△HBD（SAS），從而可以推出BD＝DH＝AJ＝JH，∠DBH＝∠DHB＝∠AHJ，再從推出的結論∠JHD＝∠AHB＝90°中判斷得到∠EBF＝∠EBD＝22.5°，再證明△ABF∽△HBD，推出AFDH=ABBH=2，可得結論，問題得證.

初步結論：從上述問題的解析過程來分析，遇到45°的條件時往往可以構造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的三線合一或者基本性質等展開進一步推理，再結合相關的條件構造全等三角形或者相似三角形，進而解決邊之間的關系或角度相等等問題.

3 拓展利用

如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且滿足AC＞BC，BD平分∠ABC，點E在BC上，∠EDB＝45°，若BE＝5CE，CD＝3，試求AB的長.

分析：本題條件中顯然凸顯的是∠EDB＝45°，根據已知經驗，怎么構造等腰直角三角形呢？有幾種可能性，其一過點E作BD的垂線，其二是過點B作DE的垂線.通過分析可以發現，前者在推理過程中與已知條件聯系不上，故可考慮后者.如圖4，作BF⊥DE，交DE的延長線于點F，FN⊥BC于點N，FM⊥AC于點M，DH⊥AB于點H，連接CF.由△DMF≌△BNF，推理得到四邊形MCNF是正方形.設CE＝a，則BE＝5a.根據邊之間的關系可進行突破、解答^［2］.

激發聯想：只考慮簡單的45°，可以直接構造等腰直角三角形，從而找到問題的突破口，作出相關解答.若出現和為45°或者差為45°的情況，又該怎么處理呢？

例如，如圖5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為平面內的一點.當點D在△ABC的外部，且滿足∠BDC-∠ADB＝45°，請你證明線段CD與AD的數量關系.

本題中給出的條件是∠BDC-∠ADB＝45°，這樣的條件顯然無法直接利用，根據上述問題給定的一種想法，可以在∠ADB外構造新的45°，這樣就能滿足∠BDC=∠ADB+45°.如圖6，在邊AD外直接構造等腰直角三角形，即過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接DE，CE，證△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD＝∠ACE，再證△DOC≌△DOE，得CD＝ED，即可解決問題.

結論升華：結合上面幾個問題的具體分析，我們發現如果遇到幾個角的差為45°角的問題時，可以根據相應兩個角的位置，重新構造等腰直角三角形，變差為和，再結合相關條件構造全等三角形或相似三角形進行分析研究^［3］.

4 促進遷移

如果在解題過程中遇到兩角和為45°時，往往與等腰直角三角形相聯系，或利用角之間和的關系進行等量代換，確定角與角之間的關系.

例如，如圖7，拋物線y＝13x²+bx-5交y軸于點C，交x軸于A，B兩點，且△AOC的面積為252.若點D的坐標為（8，11），連接BD，P為第一象限拋物線上一點，過點P作BD的垂線交x軸于點F，垂足為R，連接RO，RA，E為x軸上一點，連接PE，G為FP的延長線上一點，連接OG，OG＝EP，∠FEP+∠G＝45°，EF＝15，點Q在拋物線上，連接BQ，∠RBQ＝2∠ORA，求點Q的坐標.

在這道試題中一個比較明顯的條件就是∠FEP+∠G＝45°，如何轉化這個條件，形成推理條件呢？如圖8，根據∠FEP+∠FGO＝45°和∠1＝∠FGO+∠GOM，可以得到∠GOM＝∠FEP;再根據∠GMO＝∠PNE＝90°，PE＝GO，判斷得到△GOM≌△PEN（AAS）;再得出G，R，P的坐標分別為（-3，12），（3，6），（6，3）;

過點Q作QK垂直于x軸于點K，則QK＝BK;最后利用直線BQ的解析式得出結論.

從這幾道試題的研究過程可以發現，涉及到“45°”角的問題，通常構造等腰直角三角形，或者和等腰三角形聯系起來，借助相關條件形成全等三角形或相似三角形.不管哪種形式，都要準確判斷好構造的方向，或者聯系內在的隱形等腰三角形，這些都是解題的關鍵所在^［2］.

同樣地，遇到“60°”角的問題時，可以考慮構造等邊三角形，借助等邊三角形的特殊性獲取更多的條件，以突破問題的疑難點.

綜上可以發現，找到一種問題的解決思路，就能通過問題所體現的特點，舉一反三，這也是真正把握問題本質的要求所在.在教學中要充分挖掘這類問題的功效，加強問題聯想訓練，誘發學生解題思維，積極拓寬解題模式訓練，同時也要注意增強問題的潛在價值，在訓練過程中引導學生不斷深入探究，找到問題的模型，為提升綜合素養奠定基礎.

參考文獻：

［1］邵文鴻.研題 探解 變式 論法——以說題為載體的校本研修模式探索［J］.中學數學教學參考，2017（32）：65-67.

［2］楊華，邵春成.一道中考壓軸題的解法探究、反思與推廣［J］.初中數學教與學，2022（13）：18-20，7.

［3］李發勇.45°角的魅力——一道中考題的解法探究［J］.初中數學教與學，2019（21）：22-27.