考慮滲流和剪脹特性的Z-P準則及巷道穩定性分析

經來旺 黃 旭 尚佳樂 蔣浩杰 馮瑜騰 經 緯

(安徽理工大學土木建筑學院,安徽 淮南 232001)

巷道巖體存在大量的微裂隙,地下水的滲入進一步削弱了巖體的力學性能[1]。巷道作為地下交通、水利、礦山等工程中的關鍵部分,其穩定性直接關系到工程的安全性和可持續運行性。滲流可以改變巷道圍巖的應力分布,影響巖體強度和圍巖變形特性[2-3],將會導致巷道的塑性區擴大、變形加劇,最終可能引發巷道的失穩甚至坍塌。因此,考慮滲流作用下的巷道穩定性具有重要的工程價值。

目前,考慮滲流作用下的圓形巷道穩定性分析大多都是基于Mohr-Coulomb(簡稱M-C)準則和Hoek-Brown(簡稱H-B)準則[4]。彭立、黃阜等[5-6]基于HB準則推導了考慮地下水滲流作用下隧洞的彈塑性解析解,對比分析了考慮滲流和不考慮滲流對塑性區范圍和位移的影響,并將其與基于M-C準則計算得到的結果進行了比較。李宗利、呂曉聰等[7-8]簡化圓形隧洞的各影響因素為軸對稱,并基于M-C準則研究了滲流場對圓形隧洞應力場和位移場的影響,得出了他們的分布規律。M-C和H-B準則模型簡潔且適用性強,對后續研究提供了思想,D-P準則在此基礎上考慮了中間主應力效應。王睢等[9]采用Drucker-Prager(簡稱D-P)準則,以平面應變假設為基礎,推導了深埋有壓圓形隧洞在不同工況下的彈塑性解。D-P準則在評估巖石的破壞準則時會夸大中間主應力的作用,因此,在使用D-P準則進行巖石力學分析時,需要考慮實際情況并綜合其他影響因素。范浩等[10]采用統一強度準則,綜合考慮了中間主應力和剪脹對滲流作用下隧洞圍巖的影響,并基于非關聯流動法則對圍巖的塑性區進行了分析。統一強度準則的推導和應用相對復雜,涉及到多個參數和方程。潘繼良等[11]基于H.Matsuoka和T.Nakai提出的SMP準則,綜合考慮圍巖的剪脹特性和中間主應力對滲透水壓力作用下巷道圍巖的影響,其認為該準則較統一強度準則計算更便利,并且能夠有效地與M-C準則相匹配。Zienkiewicz和Pande于1980年提出的Zienkiewicz-Pande(簡稱Z-P)準則對M-C準則進行了修正,該準則不僅解決了M-C準則的奇異性問題,還能夠有效地考慮中間主應力的影響,在工程領域具有廣闊的應用前景。

綜上所述,目前的巷道圍巖分析研究普遍忽視了中間主應力、滲流和巷道圍巖的剪脹特性。因此,本文旨在研究地下工程中滲流作用對巷道穩定性的影響,探討受滲透水壓力作用下巷道圍巖的彈塑性特性,基于Z-P準則推導滲透水壓力作用下巷道圍巖塑性區的半徑、位移和應力分布的解析解,結合具體算例分析中間主應力和剪脹角對巷道圍巖塑性區的影響規律。同時,將所得結果與M-C、M-O和DP1準則計算得到的結果進行對比。

1 Z-P準則

為了改善M-C準則在某些情況下可能存在奇異點[12]以及未考慮中間主應力對材料破壞影響的兩個不足,Z-P準則對其進行了修正。在π平面上,Z-P準則通過對M-C準則的六邊形形狀進行修圓,函數曲線如圖1所示,很好地描述了土壤或巖石在不同應力狀態下的屈服行為,避免了尖點可能導致的數值計算問題。本文基于Z-P準則的雙曲線型屈服函數進行了巷道圍巖穩定性分析。通過調整系數,使得雙曲線能夠近似擬合M-C準則中的直線部分,曲線形式如圖2所示。

圖2 p-q子午面上屈服函數曲線Fig.2 Yield function curves on p-q plane

Z-P準則的一般表達式[13-14]為

其中:

式中,c表示內聚力,MPa;φ表示內摩擦角,(°);k表示屈服參數;g(θσ)是Z-P準則在π平面上隨著洛德角θσ變化的函數;J2表示偏應力張量的第二不變量,MPa2;J3表示偏應力張量的第三不變量,MPa3;σm為平均主應力,MPa。

當a=0時,可以消除雙曲線型Z-P準則中的尖點,使其在子午面上變為光滑的曲線,無限趨于M-C直線,即k=。

中間主應力系數n的值可以提供有關巖石或土壤受力狀態的信息,包括最大主應力σ1、中間主應力σ2和最小主應力σ3之間的關系,關系式為

結合式(1)和式(4)可得:

結合式(4)和式(5)可得:

當側壓力系數λ=1時,可將σθ、σr,和σz視為巷道圍巖的3個主應力,即滿足σ1=σθ,σ3=σr和σ2=σz,且σθ≥σz≥σr。令

其中:

式中,σθ為周向應力,MPa;σr為徑向應力,MPa。

M-C、DP1和M-O準則在巖土工程領域中使用廣泛,在進行巷道穩定性分析時,其準則表達式都可寫為以下形式:

各準則的M、N表達式如下:M-C準則:

M-O準則

DP1準則

2 計算模型

將滲透水壓力作用下的圓形巷道計算模型做如下假設:① 視為平面應變模型;② 巖體物理性質在空間上是均勻且各向同性的;③ 滲流過程中圍巖的滲透特性不會發生明顯的變化,并忽略浮力產生的影響。簡化的力學模型如圖3所示,取巷道半徑為R0,塑性區半徑為Rp,計算區域半徑為R1,初始地應力為σ0,孔隙水壓力為pw,巷道支護力為Pi。

圖3 滲流圓形巷道簡化力學模型Fig.3 Simplified mechanical model of a seepage circular alleyway

由Darcy定律[15]得到滲流微分方程為

邊界條件:

式中,P0為滲流產生的半徑R1處的孔隙水壓力,MPa。

由式(10)和式(11)可得孔隙水壓力pw(r)沿巷道徑向的分布規律:

3 圍巖彈塑性分析解

3.1 基本方程

根據彈塑性力學的理論,在考慮滲流影響時,將孔隙水壓力視為體積力,并且不考慮體積力中與浮力相關的內容,建立的平衡微分方程[16]為

式中,η為滲流系數。

幾何方程:

式中,εr為徑向應變;εθ為周向應變;u為徑向位移,mm。

物理方程:

式中,E為彈性模量,GPa;μ為泊松比。

3.2 彈性區分析

由式(7)、式(12)、式(13)、式(14)和式(15)可得:

其中:

求解式(16)得彈性區位移表達式:

由式(14)和式(17)可得:

式中,C1、C2為待定系數。

邊界條件:

式中,σrpe為彈塑性區域交界處的徑向應力,MPa。

在彈性區內始終有關系式:

由式(7)和式(20)可得σrpe表達式:

由邊界條件式(19)求得待定系數C1、C2:

式中,w=1-μ。

由式(15)、式(17)和式(22)可得彈性區的應力分布:

彈性區的真實應變需忽略初始地應力,得:

由式(14)和式(24)可得彈性區的真實位移。

3.3 塑性區分析

圍巖剪脹特性對巷道塑性區的形成具有直接影響[17-19]。在巷道開挖過程中,由于圍巖的剪脹特性,圍巖會產生側向膨脹,進而在巷道周圍形成明顯的應力集中。這些應力集中會導致圍巖中出現明顯的剪切帶,即巷道塑性區。通常情況下,塑性區的體積應變不為0。由非關聯流動法則,剪脹參數在塑性區滿足不同于彈性區的關系式:

式中,β為剪脹參數。

巷道圍巖的塑性區應變為彈性應變和塑性應變的疊加[20],即:

式中,εpr為塑性區的徑向應變;εpθ為塑性區的周向應變;εpre和εpθe為塑性區彈性部分的應變;εprp和εpθp為塑性區塑性部分的應變。令

由式(14)、式(25)、式(27)和式(28)得:

由彈塑性交界r=Rp處的位移性質可知up=uep,計算得塑性區的位移表達式為

忽略初始地應力σ0,得到塑性區的彈性應變為

由式(29)和式(31)可得:

其中:

結合式(7)、式(13)和式(19),可以得到塑性區的重分布應力為

由式(30)、式(32)和式(33)可得塑性區位移表達式:

根據邊界條件式(19)σpr∣r=R0=Pi,得:

由式(33)和式(35)可得塑性區半徑Rp的表達式:

將式(8)代入式(36),可以進一步得到塑性區半徑的表達式:

4 算例分析

某近似圓形巷道半徑R0=3 m,計算區域半徑R1=20R0=60 m,初始地應力σ0=30 MPa,孔隙水壓力系數η=1,孔隙水壓力P0=2 MPa,支護力Pi=0 MPa,圍巖的力學參數c=2.8 MPa,μ=0.3,φ=24°,E=2 GPa,剪脹角ψ=10°。

4.1 塑性區半徑分析

在考慮滲流和不考慮滲流的情況下,不同準則所對應的中間主應力系數n所確定的塑性區半徑,變化規律如圖4所示。

圖4 有無滲流作用時n值對塑性區半徑的影響Fig.4 Effect of n on the radius of the plastic zone in the presence or absence of seepage

由圖4可知,Z-P、DP1和M-O準則都顯示出對中間主應力敏感的特征。隨著中間主應力系數n的增大,塑性區半徑呈現出先減小后增大的變化模式,表明中間主應力存在區間效應。Z-P準則在n=0.4處有最小值,在n=0和n=1時,塑性區半徑相差無幾;M-O準則在n=0.5處有最小值,在n=0和n=1時,塑性區半徑相當;DP1準則在n=0.8處有最小值,在n=0和n=1時,塑性區半徑相差很大。這是因為不同的準則基于不同的假設和數學模型來描述材料的塑性行為。有無滲流作用下,整體變化趨勢不變,均呈現出拋物線型的變化模式。同時,當中間主應力系數n相等時,考慮滲流的情況下塑性區半徑較不考慮滲流時更大。這說明Z-P、DP1和M-O準則在考慮滲流和不考慮滲流2種情況下均能反映工程實際。當n=0時,M-O準則退化為M-C準則,此時的塑性區半徑值較Z-P準則偏大,表明M-C準則相較于Z-P準則更為保守。

4.2 圍巖應力分布分析

為了分析中間主應力系數n對巷道圍巖應力分布的影響,分別選取中間主應力系數n為0、0.25、0.5、0.75、1進行分析,得到的圍巖應力分布規律如圖5所示。

圖5 圍巖應力分布曲線Fig.5 Surrounding rock stress distribution curves

由圖5可知:中間主應力直接影響巷道塑性區范圍。在塑性區內,隨著距離的增加,周向應力逐步提高,在塑性區邊界處有最大值;在彈性區內,周向應力隨距離的增加逐漸恢復至原巖應力狀態。

圍巖應力在中間主應力系數n=0.5處有最大值,與圖4拋物線型的變化模式相關,關于最低點近似對稱,離對稱點越遠峰值越小。徑向應力隨著半徑增大而增大直至趨于原巖應力。當n=0和n=1時,巷道圍巖的徑向應力和周向應力具有相同的分布狀態。

4.3 塑性區位移分析

選取中間主應力系數n為0、0.5、1和剪脹角ψ為0°、10°、24°分析了塑性區位移的影響,與M-C準則進行對比,得到的位移圖如圖6所示。

圖6 剪脹對位移的影響Fig.6 Effect of shear expansion on displacement

由圖6可得: 塑性區位移up隨著半徑的增大逐漸減小,變化趨勢由陡變緩。當n不變時,up隨著剪脹角的增大而增大;當ψ不變時,n=0.5時up最小,且當n=0和n=1時,塑性區位移up重合。當ψ=0°時,巷道圍巖最大塑性區位移由n的不同從34.41 mm降至25.18 mm,降低了26.8%;當ψ=10°時,最大位移由n的不同從47.49 mm降至32.98 mm,降低了30.6%;當ψ=24°時,最大位移由n的不同從100.05 mm降至66.66 mm,降低了33.4%;從圖中還可以看出,M-C準則計算得到的位移較Z-P準則偏大。表明圍巖的位移變化受到中間主應力和剪脹角的雙重影響,M-C準則相較于Z-P準則更為保守。這是由于圍巖的位移變化受到剪脹系數的影響,剪脹系數與剪脹角以及強度準則之間存在關聯。

4.4 支護力對塑性區半徑的影響

選取支護力為0 MPa、1 MPa、2 MPa、3 MPa、4 MPa、5 MPa分析了塑性區半徑的影響,得到的關系圖如圖7所示。

圖7 支護力與塑性區半徑的關系Fig.7 Relationship between support force and radius of plastic zone

由圖7可知,塑性區半徑隨著支護力的增加明顯減小,當支護力不變時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大而增大。當支護力為0 MPa時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大由5.83 m增至6.73 m,增加了15.4%;當支護力為5 MPa時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大由4.19 m增至4.39 m,增加了4.8%,這說明隨著支護力的增加,提高了巷道圍巖的穩定性,滲流作用對圍巖塑性區半徑的影響逐漸減小。

4.5 內聚力和內摩擦角對塑性區半徑的影響

當內聚力c=2.8 MPa時,選取內摩擦角為24°、28°、30°、32°、36°五組數據,分析了內摩擦角對塑性區半徑的影響;當內摩擦角φ=24°時,選取內聚力為2.8 MPa、3.2 MPa、3.6 MPa、4.0 MPa、4.4 MPa五組數據,分析了內聚力對塑性區半徑的影響。計算孔隙水壓力從0 MPa到10 MPa下的塑性區半徑,結果如圖8所示。

圖8 內聚力和內摩擦角與塑性區半徑的關系Fig.8 Cohesion and internal friction angle as a function of the radius of the plastic zone

由圖8可知,塑性區半徑隨著內聚力和內摩擦角的增大明顯減小。當內摩擦角為24°時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大由5.83 m增至6.73 m,增加了15.4%;當內摩擦角為36°時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大由3.89 m增至4.03 m,增加了3.6%。當內聚力為2.8 MPa時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大由5.83 m增至6.73 m,增加了15.4%;當內聚力為4.4 MPa時,塑性區半徑隨著孔隙水壓力的增大由4.74m增至5.08m,增加了7.2%。這說明隨著內聚力和內摩擦角的增大,滲流作用對圍巖塑性區半徑的影響逐漸減小。

5 結 論

本文基于Z-P準則進行了巷道穩定性分析,研究了系數對巷道圍巖塑性區半徑、位移和應力分布的影響,得到如下結論:

(1)基于Z-P準則,推導得出了巷道圍巖塑性區半徑解析解,能夠有效地反映中間主應力、滲流作用和剪脹特性下的巷道塑性區半徑。

(2)圍巖剪脹特性對巷道應力分布和塑性區半徑影響較小,對位移分布影響較大;圍巖塑性區位移隨剪脹角的增加而增大。

(3)隨著中間主應力的增大,塑性區半徑、位移和彈性區應力先減小后增大,塑性區應力先增大后減小;考慮滲流作用下計算得到的塑性區半徑和位移更大。

本文僅考慮了中間主應力、孔隙水壓力和剪脹特性對圓形巷道穩定性的影響,忽略了應變軟化和擴容作用對巷道穩定性的影響,因此在后續的研究中,應當進一步研究上述因素綜合作用下的巷道穩定性。