基于擴展PI 抗擾補償器的高精度時間同步控制

代學武 賈志安 崔東亮 柴天佑

工業系統通常是任務關鍵型時間敏感系統,隨著工業物聯網的發展,如智能電網、車聯網、機器人/無人機群協同、分布式工業控制系統等都需要時間敏感網絡的支撐.時間同步作為時間敏感網絡關鍵技術之一,對目標跟蹤定位、協同控制、數據融合、介質訪問控制等起著關鍵作用.通常的嵌入式物聯網節點是以石英晶體振蕩器作為時鐘源,典型石英晶體振蕩器的精度通常在幾十 p pm (Part per million)至 1 00 ppm 左右[1],且由于制造誤差、溫度、壓力、加速度等環境變化而普遍存在頻率漂移,造成時鐘精度降低[2].因此通常采用時間同步算法,對漂移時鐘進行調控,使得各個漂移時鐘的時間值達到較高精度的一致性,以滿足應用需求.

現有時間同步協議主要采用帶時間戳的包交換方式來獲取節點間的時間差值,并基于該時間差對漂移時鐘的相位(即時間值)或者頻率進行調整,以減少時間差值,達到同步.常見的時間同步算法有,基于單向包交換的“接收者-接收者”同步,如參考廣播同步協議 (Reference broadcast synchronization,RBS)[3]等,雖然可避免雙向包交換中普遍存在的傳輸延遲不對稱性問題,但是面臨著只能在同級節點之間同步,不適用于大規模網絡.為克服擴展性差的不足,目前大多數時間同步協議采用的是雙向包交換,如IEEE1588 協議[4]等.

從控制論的角度來看,時間同步的本質是一個動態系統的狀態估計和反饋控制問題,即利用時間戳包交換獲取到包含了測量噪聲的時間差測量值,估計出時間差的準確值,然后對漂移時鐘的相位或者頻率進行調整.在狀態估計方面,采用較多的是線性擬合對時間差進行估計如泛洪時間同步 (Flooding time synchronization protocol,FTSP)[5]、多參考節點時間同步方法[6],以及Wang 等[7]提出的基于卡爾曼濾波的時鐘頻率漂移的估計方法,Yang等[8]提出的貝葉斯估計的時間同步算法等.在時鐘調控方面,傳統的時間同步算法如FTSP,RBS 等是一種控制增益為1 的比例控制,直接將測量或者估計得到的時間誤差調整本地時鐘.新近的研究如Carli 等[9]提出的通過比例積分控制器調節時鐘相位和時鐘頻率,其中主要通過積分作用抑制時鐘噪聲和延時抖動的影響.然而其面對復雜網絡收斂速度較為緩慢,為了更快收斂,Yildirim[10]提出了一種自適應時鐘同步方法,根據時鐘偏差的大小動態調整控制器參數,能更快達到同步,但其還是局限于比例積分控制器的調整策略,泛化性有待提高.而后提出的PISync 時間同步算法[11],在自適應比例積分控制器的基礎上,結合泛洪的分布式協議改善了系統的穩態誤差和可擴展性,使得時間同步算法適用于更加復雜的網絡化拓撲結構.

目前時間同步的研究主要是考慮時鐘相位噪聲以及通信延遲、計算機處理延遲等造成的隨機誤差,取得了較好的效果.但對于工業環境中由于往復運動、振動等造成晶振信號中出現特定頻率周期性擾動[12],導致時間同步精度變差的研究還沒有.如旋轉機械、周期性振動、飛行器在飛行過程中機身出現低頻振動[13],都是一些有限帶寬特定頻率的擾動信號,限制了時間同步精度.因此需要對于特定頻率的擾動進行有針對性的處理,實現高精度的時間同步.

控制理論的研究中,對于特定擾動的處理目前有內模抗擾控制(逆模型)[14]、自適應評判方法[15]、基于擾動觀測器(Disturbance observer,DOB)[16-17]的抗擾控制等,通常需要預先知道擾動的動力學模型,構建擾動的狀態空間模型,并將擾動作為擴展的狀態,構建增廣的龍伯格觀測器,實現對擾動的估計,進而予以相應的反饋補償,消除擾動的影響.針對模型未知的擾動,主要有自抗擾控制 (Active disturbance rejection control,ADRC)[18-19],采用擴張狀態觀測器(Extended state observer,ESO)實現對未知擾動的估計.Gao[20]采用極點配置的思想將ADRC 參數與頻率聯系起來,實現了更為簡化的參數整定方法.但是值得指出的是這些方法主要通過極點優化來實現抗擾性能的提高.Dai 等[21]針對故障檢測中的特定頻率擾動,提出了一種擴展PI 觀測器和相應的零極點聯合優化方法,利用傳遞函數矩陣(Transfer function matrix,TFM)的傳輸零點,使得傳遞函數矩陣降秩,對于特定頻率的擾動取得了更好的抑制效果.

本文針對時間同步中特定頻率擾動的抗擾控制問題,基于零點配置的思想,提出了一種新的擴展PI抗擾補償器結構,采用零極點聯合優化方法,且不依賴于擾動的精確模型,實現對本地漂移時鐘的反饋補償控制,提高了周期性擾動下時間同步系統的精度和抗擾性,滿足時間敏感工業應用的需要.本文的主要創新點如下:

1 ) 提出了一種新的基于擴展PI 抗擾補償器的高精度時間同步系統框架,將擴展PI 觀測器和二自由度內膜控制的原理相結合.區別于內膜控制[14]、DOB[16],本文提出的方法不依賴于擾動的具體模型,且較Dai 等[21]提出的擴展PI 觀測器而言,原理性區別在于本文的動態反饋回路是作用于實際的被控對象,而不是作用于被控對象的模型,這也是和傳統觀測器的根本區別.

2 )控制器和補償器的設計采用了二自由度控制的思想,更好地兼顧了抗擾性和控制精度.內環為抗擾補償作用,主要通過所設計的抗擾補償器,有效地減少了外部環境變化引發周期性擾動的影響,使得帶補償器的有擾時鐘能逼近于理想時鐘,從而提高了時間同步系統的抗擾性和魯棒性.外環為相位跟蹤作用,主要通過所設計的控制器消除時間同步系統穩態誤差,提高同步精度.在內外環共同作用下,能同時兼顧并維持較好的動態性能和穩態誤差.

3 )本文擴展PI 抗擾補償器的反饋回路設計采用零極點優化的思想,使得含有該補償回路的帶擾動被控系統逐步逼近于理想無擾動系統,從而實現了對特定頻率擾動的補償和抑制.并采用零點配置方法,利用多變量系統的零點,更好地抑制了特定頻率的擾動,并更好地實現了周期性擾動下的抗擾控制.

本文結構如下: 第1 節構建了工業網絡控制系統中的節點時鐘模型;第2 節提出了帶抗擾補償器的時間同步系統框架;第3 節和第4 節分別介紹了擴展PI 抗擾補償器和控制器的穩定性證明及參數優化方法;最后通過與傳統濾波器和擾動觀測器對比,驗證了擴展PI 抗擾補償器的良好的抗擾補償作用.

1 問題描述

現有大多數通信網絡是基于包交換的數字通信網絡.基于包交換的時鐘同步問題,是多個節點之間通過帶時間信息的包交換,獲取各個時鐘之間的時間偏差,進而對本地時鐘的相位和頻率進行相應調整,以實現所有節點的時鐘具有相同的時間值.

1.1 時鐘模型

工業網絡系統中,本地時間信息通常是由本地的以某個特定頻率運行的晶體振蕩器提供.精準時鐘是指晶體振蕩器頻率偏差始終為零的理想時鐘;晶振頻率受晶體自身因素以及外界環境影響而存在偏差和相位噪聲的時鐘,則為實際有偏時鐘.

設時鐘的時鐘值和時鐘速率分別用變量c和γ來表示,采樣間隔為h,則在第k個采樣時刻tk=kh,時鐘的時間值可以表達為

其中,ωc(k) 是時鐘的相位噪聲,γ(k)h為時鐘經過采樣間隔h后的時間值的增量.值得指出的是,對于理想時鐘的速率γ(k)≡1,而實際工業網絡嵌入式系統中廣泛采用的晶體振蕩器時鐘,由于制造容差、環境溫度、機械振動以及器件老化等原因,其頻率會發生漂移,因此對于實際時鐘有γ(k)1,時鐘速率在1 左右漂移.定義時鐘頻率偏斜χ(k)=γ(k)-1,用于表征實際時鐘速率相對于理想標稱時鐘速率的偏移,單位為 p pm.

值得指出的是,時鐘速率γ變化存在一定的隨機性,如經典的Brownian 隨機運動模型[22],同時,工作環境,如溫度、供電、機械振動等變化時,晶振頻率也會隨之發生波動.如晶振受到外力(外界加速度)作用時,會發生形變,造成頻率偏斜,相當于產生了頻率調制,頻率的變化和加速度成比例關系[23].周期性的加速度會導致頻率周期性波動,所形成的頻率擾動可以用一個具有特定頻率特征的周期性擾動信號來描述.因此,時鐘速率γ(k) 可建模為

其中,γ0為一個恒定的或者緩慢變化頻率偏差,如常見的無線傳感網節點平臺Atmel SMART SAM R21,γ0-1 通常在±20 ppm～±50 ppm[1],f(k) 用于表征加速度等環境變化導致的周期性擾動,可以用一組正弦信號來描述f(k)=∑aisin(ωik),振幅ai和頻率ωi由晶振本身特性和外界加速度擾動等決定[23].ξ(k) 描述熱噪聲的隨機擾動,通常可用一個Brownian 隨機運動過程描述[23].

不失一般性,時鐘速率的動態特性可以用差分方程描述,寫作γ(k+1)=γ(k)+ωγ(k),其中ωγ(k)為時鐘速率噪聲,由擾動f(k) 和噪聲ξ(k) 決定,可定義為

其 中,f′(k)=f(k+1)-f(k) 為周期性信號f(k)的差分形式,對應連續系統的微分形式,因此,f′(k)同樣可以由一個周期性信號來描述.同理,ξ′(k)可以由一個高斯過程來描述.

引入時鐘狀態變量x(k)=[c(k)γ(k)]T,定義時鐘擾動信號d(k)=[ωc(k)ωγ(k)]T,則一個無調控的自由時鐘,其狀態空間模型可以寫為

1.2 基于時間戳的觀測方程

在實際工業物聯網硬件系統中,本地時間是通過讀取本地時鐘的寄存器值,獲取時鐘的狀態值c(k),稱作時間戳.在讀取寄存器獲取時間戳的過程中,不可避免地存在某些操作延遲,如總線占用、函數調用、操作系統任務調度等,造成所獲得的時間戳與實際值有偏差.因此,第k次本地時鐘值進行觀測時,記有誤差的時間戳為y(k),時鐘觀測過程可以描述為

其中,η(k) 是時間戳獲取過程中隨機延遲等導致的觀測偏差,通常情況下可用一個高斯過程來描述[1].

綜合式(3)和式(4),并取C=[1 0],則時間同步的本地時鐘模型可以用狀態方程描述為

值得指出的是,式(5)描述的是自由時鐘,即時鐘按照自身有偏差的頻率進行更新,與標準時間的偏差通常會不斷變大,因此要實現時間同步,則需要設計負反饋控制器對本地的有偏差時鐘進行調控,以使其維持在較小的時間同步誤差范圍內.時間同步控制器的作用是通過控制輸入量進而調整時鐘的頻率或相位,設u(k) 為第k時刻的控制輸入量,則受控時鐘模型可以描述為

實際工業物聯網嵌入式系統中難以直接調整晶體振蕩頻率,常見的控制策略是相位調整,取B=[1 0]T.控制輸入u(k) 的取值主要是根據本地時間測量值y(k) 與參考時鐘的測量值的差值來確定,本文提出的PI 控制器的設計將在第2 節詳細介紹.

1.3 基于包交換協議的同步誤差獲取

時間同步的核心技術之一是如何獲取本地時鐘與參考時鐘的時間差.在工業網絡分布式系統中,參考時鐘與本地時鐘分布于不同節點,需要通過特定的網絡通信協議來獲取參考時鐘的信息.由于現有大多數通信網絡是基于包交換的數字通信網絡,本節主要討論工業物聯網中如何通過包交換協議獲取時鐘偏差.在第k時刻,漂移時鐘i和參考時鐘之間的同步誤差的真值,即時間偏差(k),定義為

其中,ci(k) 和c0(k) 分別表示第k時刻漂移時鐘i的值和主參考時鐘的時間值.結合式(6)和式(7),第i個受控時鐘的偏差模型可以表達為

其中,(k)表示第i個時鐘節點在第k時刻與主節點的時鐘相位偏差,ui(k)為第i個時鐘節點在k時刻相位補償量,χi(k)h表示第i個時鐘節點在k時刻由于自身時鐘頻率偏斜帶來的擾動,ωci(k) 為第i個時鐘的相位噪聲.

工業物聯網中的時間同步協議通常以雙向包交換為主,如 IEEE 1588 PTP (Precision time protocol)協議.不失一般性,本文以 PTP 機制為例,通過交換帶有時間戳的同步包完成點對點時鐘偏差θ(k)的獲取.

如圖1 所示,通過包交換過程[24],最終得到其時鐘偏差值θi(k) 為

圖1 時間戳包交換獲取時鐘偏差示意圖Fig.1 Time offset measurement by time-stamped packet switching

由于存在時間戳的不確定性,時間戳t1,t2,t3和t4中包含有觀測噪聲η(k),更重要的是包交換通信中普遍存在的傳輸延遲抖動導致雙向包交換不對稱,由 PTP 等時間同步協議獲得的θ(k) 是一個真值θ*(k) 帶偏差的觀測值,由此可得第i個時鐘的偏差觀測值為

其中,τi(k) 為第i個時鐘節點在k時刻包交換通信中雙向包交換不對稱、時間戳不確定性等帶來的擾動誤差.

由于這些誤差的影響,從而會導致同步精度的惡化.為進一步提高系統精度,本文提出了帶抗擾補償的時間同步系統設計方案.

2 基于抗擾補償器的時間同步系統

對于一個點對點網絡的時間同步,最終目標就是兩個時鐘的時間值ci(k) 和c0(k) 相等,亦即時鐘同步誤差 l imk→∞(k)=0.但由于漂移時鐘存在頻率偏斜、相位噪聲等,影響了時間同步的精度.為了進一步提高時間同步系統的精度和抗擾性,滿足時間敏感工業應用的需要,本文提出了擴展PI 抗擾補償器,主要用于減少擾動信號d(k) 對時間同步的影響,尤其是針對γ(k) 中的周期性擾動f(k) 設計了一種新型的擴展PI 補償器,提出了零點配置的補償器優化設計方法.針對γ(k) 中緩慢變化的擾動γ0和延時均值導致的相位測量擾動,采用了PI控制器消除穩態誤差,并證明了帶補償器的PI 控制閉環系統的穩定性條件.

本文提出的帶抗擾補償的時間同步的系統如圖2 所示,通過設計虛線框中的抗擾補償器,并選取合適的參數,將殘差信號通過傳遞函數矩陣Q(z)疊加到被控時鐘模型的輸入上,以此實現對于被控時鐘中周期性擾動信號f(k) 的抑制作用;補償后的漂移時鐘可以近似看作一個無擾動的理想時鐘,然后基于理想時鐘模型設計控制器實現點對點的時間同步,并通過積分控制消除緩慢頻率漂移γ0、時間戳不確定性、包傳輸延時不對稱等形成的偏差.

圖2 基于抗擾補償器的時間同步系統框圖Fig.2 Block diagram of the time synchronization system with the disturbance compensator

所提出的抗擾時間同步系統可以看作是一個內外環控制的雙閉環系統.外環考慮主從兩個時鐘,通過第k次包交換過程得到從時鐘i和主時鐘的偏差θi(k),偏差信號作為外環控制器的輸入,通過控制器的作用輸出(k)調節時鐘的相位,以此達到主從時鐘的同步;內環抗擾補償器則主要是對于時鐘模型中的擾動和噪聲進行一定的補償作用,由兩部分構成,包含一個無相位噪聲、無頻率偏斜和測量擾動的理想時鐘,用于描述在控制輸入(k)的作用下,一個無噪聲無擾動的理想時鐘的動態響應,可表達為

由于實際時鐘χi(0)0,與理想時鐘具有不同頻率偏斜,實際時鐘還存在噪聲和擾動的影響,在(k)的作用下,實際時鐘的輸出yi(k)與理想時鐘模型的輸出(k)并不一致.定義殘差信號ri(k)用來描述實際時鐘與理想時鐘的偏差.

內環抗擾補償器的第二個部分是一個動態系統,其動態響應特性可以用一個離散域的傳遞函數矩陣 (Tranfer function matrix,TFM)Q(z) 來描述.動態系統Q(z) 以殘差信號ri(k) 作為輸入,生成一個補償信號(k),與原有的控制信號(k) 相加后,共同作用于有擾動的實際時鐘系統.補償信號(k)的主要目的是抵消擾動d(k) 導致時鐘偏離理想時鐘的作用,使得在擾動不為零時,實際時鐘狀態xi(k) 與理想時鐘模型(k) 仍然保持一致,從而反向“補償”了擾動的作用.本文將Q(z) 稱作補償器反饋回路,與傳統的擾動觀測器不同,本文針對時鐘頻率偏斜中存在的擾動,提出了一種擴展PI 補償回路和零極點聯合配置方法,可以在擾動的結構不清楚的情況下,根據擾動頻率即可完成設計,實現對特定頻率擾動信號的補償消減作用,達到更高精度的時間同步.

值得指出的是,本文提出的如圖2 所示的抗擾時間同步系統,屬于一種抗擾性能和跟蹤性能二自由度控制的思想[13],即內環為抗擾補償作用,用于提高時間同步系統的魯棒性;外環為相位跟蹤作用,用于提供系統的時鐘相位同步性能.如后文所證明,在k→∞時,所提出的帶抗擾補償器的時鐘系統是穩態收斂的,在穩態下能很好地消除擾動的影響,其動態特性與無擾動理想時鐘模型一致.因此,在穩態下,控制器和補償器可以分開獨立設計,設計控制器時,將抗擾補償器補償后的時鐘系統作為一個擾動為零的理想時鐘系統即可.但是考慮系統的動態特性,抗擾補償器和控制器的參數會存在一定的約束關系,因此在設計控制器時,通過綜合考慮抗擾補償器的動態特性,對控制器參數進行優化設計,可以在保證穩態下抗擾性能和追蹤性能的基礎上,提高整個時間同步系統的動態響應特性.

3 基于擴展PI 的抗擾補償器設計

基于前述抗擾補償器的時間同步方案,本文提出的采用擴展PI 觀測器的新型抗擾補償器結構如圖3 所示.

圖3 擴展PI 抗擾補償器結構圖Fig.3 Structure of the proposed extended PI disturbance compensators

對于某個帶擾動不精確的漂移時鐘i,所提出的擾動補償器的無擾動的理想時鐘模型如式(11)所示,反饋回路Q(z) 是具有積分環節的動態系統.整個抗擾補償器可以視作一個(k)和yi(k)為輸入、vi(k)為輸出的動態系統.設ri(k) 為理想時鐘模型的輸出值(k) 與實際時間戳測量值yi(k) 的殘差信號,表示為

反饋回路Q(z) 是由K1,K2,K3,K4參數矩陣所構成的一個動態系統,可表示為

其中,zi(k) 為抗擾補償器反饋回路的擴展狀態變量.該動態反饋回路是以殘差信號ri(k) 為輸入、以vi(k) 為輸出的動態系統,vi(k) 通過一個Bc矩陣作為輸入信號,調節系統狀態值x(k),使得系統輸出值yi(k) 與理想輸出(k) 之間的殘差ri(k) 最小,系統輸出接近理想輸出.因為B和v都為m×n的矩陣,且B為列滿秩,因此存在n×m的偽逆矩陣Bc使得BBc=Im×m.

在補償器輸出的補償量Bcvi(k) 的作用下,實際作用于有擾漂移時鐘上的控制輸入為(k)+Bcvi(k),因為BBc為單位陣,代入時鐘模型(6),可得增加擴展PI 抗擾補償器后的被控對象的狀態空間方程為

抗擾補償器反饋作用補償值vi(k) 主要是受待設計的擴展PI 抗擾補償器的4 個反饋參數矩陣K1,K2,K3,K4決定,是影響擾動補償和同步精度的關鍵矩陣.下面重點討論所提出的擴展PI 補償器的收斂性和參數矩陣的優化設計方法.

3.1 抗擾補償器穩定性分析

對時間同步系統,本文提出的如式(13)和式(14)所示的擴展PI 抗擾補償器具有如下的穩定性定理.

證明.令帶補償的實際時鐘與理想時鐘模型狀態誤差ei(k)=(k)-xi(k),將系統理想模型(11)和實際系統(14)代入定義式 (12) 中,可得

將式 (13) 和式 (15) 代入式 (14),可得

將式 (15) 代入式 (13),可得

由于ei(k)=(k)-xi(k),結合式 (16) 和理想模型 (11),可得

聯立式 (15),(17)和(18),由實際時鐘和擴展PI 補償器構成的整體系統可以用增廣狀態空間方程描述

不難看出,對于補償器狀態zi(k) 和估計誤差ei(k) 所構成的閉環動態系統 (19),當狀態轉移矩陣的特征根在單位圓內,系統是穩定的,即無擾動di(k)=0 時 l imk→∞ei(k)=0.當存在隨機噪聲時,即di(k)0,因為隨機噪聲的數學期望為0 且相互獨立,故系統誤差ei(k) 在統計平均的意義下是收斂的,即

上述結論在不考慮噪聲和擾動時是正確的,當僅考慮隨機噪聲在統計平均的意義下是一致的情況時,如果存在非零均值擾動,則理論上還不完善.

對于一個存在特定頻率擾動的工業網絡時間同步系統,可以構造一個擴展PI 抗擾補償器,該抗擾補償器的零點由開環系統的零點和矩陣K1的特征值組成.即通過配置參數矩陣K1便可以配置相應的零點到擾動信號的特征頻率附近,利用零極點對消的原理使傳遞函數矩陣降秩[21],從而衰減擾動信號的影響.

3.2 抗擾補償器零極點優化設計

抗擾補償器的目的是為了使被控系統中即使存在擾動d時,其實際輸出y與期望的無擾動系統的輸出仍保持一致.即在d0 時,仍然具有y(t)=(t),也就是使得受擾系統的輸入-輸出的動力學特性符合理想的無擾動的動力學模型,從而使得針對無擾動模型所設計的控制器保持良好的跟蹤性能.因此,抗擾補償器優化設計的目的就是通過選擇合適的參數矩陣K1,K2,K3,K4,使得在d0 時,殘差信號ri(k) 最小.

針對上述優化問題,結合時間同步中存在特定頻率的頻率擾動,本文提出了一種零點和極點聯合配置的方法,優化系統性能,達到消除擾動的干擾,使得添加了補償器的動態系統(11),(13)和(14)盡可能接近無擾動系統的理想輸出.

對于如式 (19) 的系統方程,Gd1(z) 定義為擾動信號ηi(k) 到殘差輸出ri(k) 的傳遞函數矩陣

定義Gd2(z) 為擾動信號d(k) 到殘差輸出ri(k)的傳遞函數矩陣

考慮被控系統所有的擾動信號對殘差的影響,取擾動傳遞函數矩陣Gd(z)=Gd1(z)+Gd2(z).

1 ) 零點配置: 考慮測量擾動主要集中在有限頻率的周期信號,如果將零點配置在擾動頻率處,那么就可以有效地使得擾動信號進行衰減,使得系統輸出更接近無擾動系統的理想輸出.對于采樣周期為T的離散系統,如果存在一個干擾頻率為ωi的時鐘頻率干擾信號,則矩陣可以構造為

不難求出,該矩陣的特征根為ρi=e±jωiT.如果時鐘系統中存在n個不同頻率的擾動信號,則K1可以構造成一個 2n×2n的分塊矩陣

因此,矩陣K1的特征根是各分塊矩陣特征根的集合{ρi}.根據系統零點使得閉環系統的傳遞函數矩陣(TFM)降秩的原理[21],通過上述設計,將補償器閉環系統的零點配置在擾動頻率{ωi}處,利用在{ωi}處由擾動信號到殘差信號的TFM 發生降秩,從而可以有效削弱擾動信號對殘差信號的影響,有助于更好地達到實際系統的輸出與無擾動系統的輸出一致的目標.

2 ) 極點配置: 在利用零點配置確定反饋矩陣K1后,下一步通過極點配置和函數優化方法,選擇合適的K2,K3,K4取值,達到保證補償器系統的穩定性,并同時優化系統性能的目的,即狀態轉移矩陣的特征根在單位圓內,并同時優化參數選擇K2,K3,K4,使得擾動信號對殘差信號ri(k) 的影響最小化.

綜合考慮在系統穩定和相應參數矩陣關系約束的條件下,可以得到測量擾動頻率ωi信號對ri(k)的影響,并使得其對殘差ri(k) 的影響最小化,可以得到ri(k) 對于擾動信號的魯棒性目標函數為

其中,mi為權重,其參數取值是通過頻譜分析得到的相應頻率擾動的幅值大小來選擇.幅值越大,對應的mi權重分量也越大,從而使得相應頻率的擾動信號對輸出的影響越小.同時考慮約束條件使得系統穩定,即狀態轉移矩陣的特征根在單位圓內,=0 為K2,K3矩陣的參數約束,參數矩陣的具體參數約束設定詳見定理2 的時間同步控制器參數設計.

4 時間同步控制器設計

由于點對點網絡時間同步最終的控制目標是時鐘偏差真值 l imk→∞(k)=0,且實際包交換獲取時鐘偏差的過程中會受到包交換通訊不對稱影響,從而帶來時鐘擾動偏差,因此要實現點對點時鐘同步必須要設計合理的控制器,起到相位調節作用,實現時鐘相位跟蹤效果,達到時鐘同步.

為更好地消除穩態下由于包交換延時不對稱導致的穩態誤差,本文選取PI 控制器作為同步系統的外環控制器,以提高系統的跟蹤性能.PI 控制器以包交換獲得的時鐘偏差θi(k) 作為輸入信號,其控制方程可以描述為

其中,ωi(k) 為PI 控制器的內部狀態變量,體現積分控制器的作用.

考慮包交換過程的噪聲,則PI 控制器的方程可以改寫為

且由于ri(k)=-θi(k),為便于分析,將抗擾補償器反饋回路 (13) 中的ri(k) 替換為-θi(k),即

受控時鐘偏差模型(8)代入PI 控制器方程,得

定義狀態變量,得到狀態空間模型為

其中,zi(k) 為2 × 1 狀態變量;K2、K4為2 × 1矩陣;K1、K3為2 × 2 矩陣.

取狀態變量pi(k)=[θi(k)ωi(k)zi(k)]T,那么式(29)可以化簡為

為分析控制系統的穩定性,先給出引理1.

引理 1[2 5].若A,B,C,D是n×n矩陣,且CD=DC,則有分塊矩陣的行列式,可計算為

為了更好地說明抗擾補償器參數矩陣K1,K2,K3,K4的參數設定,特別地,對于單頻擾動即K1為2×2 的矩陣,定義

對于本文提出的帶擾動補償的PI 控制器,有充分條件如下.

定理 2.對于如圖3 所示帶PI 抗擾補償器的時間同步系統,采用如式(22)和式(24)的零極點優化的方法設計補償器增益,當滿足以下兩個條件時

2 )控制器增益α和β的取值范圍為

則所設計的時間同步系統是漸進穩定的.

證明.對于如式(30)所示的狀態空間方程,其狀態轉移矩陣G可以設定為分塊矩陣,即

展開式(32)并整理,可得特征多項式方程為

對于式(30)所示的系統,其脈沖傳遞函數可以表達為

由終值定理可以求得

由此可得,其時鐘偏差最終可以收斂為0,且抗擾補償器和外部控制器的擴展狀態最終都可以穩定到0.

定理2 中,K2,K3滿足=0,是穩定性的一個充分條件,可以在設計抗擾補償器時予以考慮,詳細可參考第3.2 節抗擾補償器的極點配置(式(24)),以此實現基于抗擾補償器的時間同步系統設計和穩定性分析.

5 仿真驗證

為了驗證本文提出的帶抗擾補償的時間同步系統的性能,本節的實驗基于硬件實驗平臺獲取的晶振時鐘參數,搭建仿真系統進行驗證.所選硬件平臺為Atmel SMART SAM R21[1],根據硬件實測數據,包交換過程存在過程延時約為500 μs,過程噪聲τ(k) 標準差為στ=0.29×10-6,設定初始相位偏差θ0=500 μs,初始時鐘偏斜γ0=20 ppm,并考慮相位噪聲ωc(k) 和測量噪聲η(k) 標準差為σc=ση=1×10-6.根據Schriegel 等[26]基于晶振振動實驗,在5 g 重力加速度下時鐘晶振的頻率漂移約為3 p pm,且考慮工業現場振動多為低頻振動,式(2b)中頻率漂移噪聲f′(k) 設定為f=0.1 Hz、幅值為3 ppm 的正弦周期信號,并考慮熱噪聲ξ′(k) 為σγ=0.29×10-6的隨機噪聲,因此,式 (2b) 可以表達為

其中,ω為σγ=0.29×10-6的白噪聲,T為采樣周期,本文中仿真設定同步周期T=1 s.

主時鐘考慮采用由衛星信號為基準的標準時鐘信號,即為理想時鐘,通過設定各個噪聲和擾動的值,對實際模型與主時鐘進行對比,得到開環時鐘偏差信號,如圖4 所示為自由時鐘偏差θ的變化曲線.在不加控制作用的情況下,時鐘偏差逐漸變大,且自由時鐘頻率偏斜χ(k) 如圖5 所示為一個正弦趨勢變化的曲線.

圖4 自由時鐘偏差 θ 的變化曲線Fig.4 Clock offset θ of a free clock

圖5 自由時鐘頻率偏斜 χ (k) 的變化曲線Fig.5 A free drifting clock's frequency skew χ(k)

利用參考時鐘獲取自由時鐘偏差信號,并進行快速傅里葉變換 (Fast Fourier transform,FFT),得到時鐘偏差信號的頻譜圖,如圖6 所示.從圖6中可以看出,其主頻是頻率f=0.1 Hz 的擾動信號且幅值約為 3.5×10-6,其他頻點的信號較小,主要是白噪聲的影響,與仿真設定噪聲信號相符.

圖6 時鐘偏差的FFTFig.6 FFT of the clock offsets

5.1 抗擾補償器參數設計

基于擴展PI 的抗擾補償器的參數設計主要是對于4 個參數矩陣K1,K2,K3,K4的參數選擇,通過擾動頻率頻譜分析得到其主頻f=0.1 Hz,通過式 (22) 即可求出K1的值.求解出K1之后,通過式(24)在系統穩定性和矩陣參數的約束條件下,求得最優解K2,K3,K4.

本文中,對于特定頻率f=0.1 Hz 的擾動信號,ω=2πf,通過式 (22) 可知,存在K1為 2×2 的矩陣,使得K1矩陣的特征根為 e±0.2πj.

通過極點配置,配置K2,K3,K4矩陣的參數使得系統穩定,最終求得擴展PI 抗擾補償器的極點,分別是 0.8458±0.5155j、0.6891±0.5874j,都在單位圓內,滿足系統穩定條件.

為了對比性能,搭建兩個參考系統.第1 個參考系統采用卡爾曼濾波替換本文提出的擴展PI 抗擾補償器,PI 控制器不變;第2 個參考系統僅包含PI 控制器,擾動補償器部分采用傳統擾動觀測器-比例積分擾動觀測器,值得指出的是,其為擴展PI抗擾補償器的一種特例,即當式(13) 中K1=K3=I為單位陣時,擾動補償器部分即為比例積分擾動觀測器.

5.2 同步精度對比

同步誤差的收斂曲線如圖7 所示.從圖7 中可以看出,傳統擾動觀測器的超調量和調節時間明顯大于擴展PI 抗擾補償器和卡爾曼濾波的結果.而添加卡爾曼濾波和擴展PI 抗擾補償器的超調量和調節時間等動態參數都比較接近,因此從時間同步系統的動態跟蹤特性來看,擴展PI 抗擾補償器和卡爾曼濾波可以使得系統以較小的超調量更快地達到收斂.

圖7 不同同步方法下的時鐘偏差 θ 收斂曲線Fig.7 Convergence of clock offset θ of different synchronization methods

穩態下的時間同步誤差如圖8 所示,工業物聯網要求的高精度時間同步通常是指系統的穩態誤差在要求的精度范圍內,即考慮的是系統的穩態指標.圖8 所示的是3 種時間同步方案下,系統達到穩定后,穩態誤差波動范圍.

圖8 穩態同步誤差的對比圖Fig.8 Comparison of the steady-state synchronization errors

從圖8 中可以看出,傳統擾動觀測器和添加卡爾曼濾波后的時鐘偏差都是正弦波形式振蕩,其主要是由于特定頻率的擾動信號并沒有被濾除,其中傳統擾動觀測器相比于卡爾曼濾波周期性擾動信號表現不很明顯的原因是卡爾曼濾波器對于白噪聲的抑制作用較為明顯,凸顯出較為規律的正弦擾動信號.而擴展PI 抗擾補償器的時鐘偏差波動曲線明顯可以看出主要是隨機擾動造成,周期性擾動的影響已經基本被消除,且其時間同步精度可以達到4 μs以內,相比于傳統方法精度提高了兩倍.

5.3 同步誤差頻譜分析

為了更好地說明本文所提時間同步方法對于特定頻譜擾動的抑制作用,我們對時鐘同步誤差θ進行FFT,得到時鐘同步誤差θ幅頻特性對比圖,如圖9 所示.

圖9 不同同步方法下的同步誤差 θ 幅頻特性對比圖Fig.9 Specturm comparison of the synchronization error θ in different synchronization methods

從圖9 所示的同步誤差的頻譜分析可以看出,傳統擾動觀測器和卡爾曼濾波后f=0.1 Hz 處的擾動仍然是主頻,說明其對特定頻率的信號并沒有明顯的衰減作用,只是對所有噪聲有一定的衰減作用.且從圖9 中可以看出,卡爾曼濾波對于白噪聲的抑制效果更好,因此圖8 中卡爾曼濾波的穩態同步誤差表現出較為規律的正弦擾動信號.而針對本文考慮的低頻噪聲,傳統擾動觀測器和卡爾曼濾波的效果不是很理想.通過擴展PI 抗擾補償器輸出的時鐘偏差幅頻圖可以看出,其對于特定頻率的擾動具有很好的抑制作用,這也進一步說明了圖8 中擴展PI 抗擾補償器穩態誤差較小的原因.

綜上分析,擴展PI 抗擾補償器相比于卡爾曼濾波器和傳統擾動觀測器具有更好的抗干擾特性,特別是對于特定頻率的周期信號,可以達到很好的抑制效果.由此也進一步驗證了本文提出的擴展PI 抗擾補償器具有良好的擾動抑制特性.

6 結束語

考慮點對點時鐘同步系統存在周期性的頻率漂移、測量擾動和包交換隨機延遲等情況,本文構建了一種帶擴展PI 抗擾補償器的時間同步系統,通過零極點優化配置實現對特定頻率的擾動信號的抑制作用,克服了傳統擾動觀測器的零點固定的局限性,并給出了外部控制器的參數取值范圍.實驗仿真采用點對點網絡進行分析,通過與傳統擾動觀測器和卡爾曼濾波等傳統方法的補償效果對比,凸顯了擴展PI 抗擾補償器的優越性,且本文提出的方案驗證了最終達到時鐘同步精度為4 μs,實現了高精度時間同步.