機械臂變長度誤差跟蹤迭代學習控制

陳 強 陳凱杰 施卉輝 孫明軒

迭代學習控制(Iterative learning control,ILC)能夠通過利用上一次的迭代經驗進行學習,不斷優化控制器和提高控制性能,最終實現有限區間內對期望軌跡的完全跟蹤,已廣泛應用于機械臂等執行重復任務的被控對象[1-5].經典迭代學習控制方法主要基于壓縮映射方法進行穩定性分析,包括D 型、P 型和PD 型學習算法[6-9].近來,基于Lyapunov理論的自適應迭代學習控制(Adaptive iterative learning control,AILC) 方法[10-14]相繼提出,能夠通過對不確定系統參數的自適應迭代學習,間接優化控制器和提高控制性能.

經典ILC 方法一般要求系統初值嚴格重置于期望軌跡初始點,即每次迭代過程中,系統初值需與期望軌跡的初值保持一致[15-17].然而,在機械臂等實際系統中,由于受環境因素和定位精度等影響,該初值一致條件一般難以滿足.因此,如何放寬初值一致條件是ILC 研究的熱點問題之一,現有的方法主要包括時變邊界層法[18],狀態修正方法[19-20]等.文獻[19]對迭代學習控制系統在5 種初值情況下的收斂性能分別進行了分析,并利用初值信息和期望軌跡構建新的期望軌跡.文獻[20]采用三角函數提出一種新型期望軌跡函數放寬解決初值一致條件,通過設計過渡軌跡銜接每次迭代的初始點與期望軌跡.然而,由于過渡軌跡接入點處的位置及其導數與期望軌跡相關,因此,狀態修正方法在每次迭代時往往需要設計不同的過渡軌跡.在此基礎上,文獻[21]提出一種誤差跟蹤方法,通過設計期望誤差軌跡和迭代學習控制器,保證誤差軌跡沿預設的期望誤差軌跡收斂.與狀態修正方法比較,誤差跟蹤方法的期望誤差軌跡設置不依賴期望狀態軌跡,且期望誤差軌跡接入點的位置及其導數可以簡單設置為零[22-23].

此外,由于機械臂等實際系統中往往存在系統約束、安全限制和信息丟失等問題,導致迭代學習控制器的設計過程中每次迭代長度發生變化,稱為ILC 不等長問題.例如,康復訓練機械臂由于患者體力不足或者力量不足,可能使迭代長度未到達指定迭代長度就提前終止.目前,已有國內外學者對ILC 不等長問題進行了研究.文獻[24-25]針對離散時間線性系統的ILC 不等長問題,構造迭代平均算子,通過利用往次迭代信息更新控制信號,證明了跟蹤誤差期望值能夠收斂到零,但控制器設計中要求已知迭代長度概率分布,且未對跟蹤誤差方差進行討論.文獻[26]考慮迭代長度概率分布未知的情況,給出變迭代長度下P 型學習律的設計方法,并證明跟蹤誤差在均方意義上的收斂性.然而,該工作并未考慮外部干擾的影響.文獻[27]考慮帶有干擾和測量噪聲的一類離散時間線性系統,提出基于改進型迭代平均算子的迭代學習控制方法,并在2 自由度機械臂實驗平臺上驗證該方法的有效性.文獻[24-27]考慮的系統均為離散時間線性系統,控制器設計一般基于壓縮映射方法,當前迭代的信息并未充分利用.

針對一類非線性連續系統的ILC 不等長問題,文獻[28]設計虛擬誤差變量補償未運行部分信息,并通過重新定義復合能量函數,證明當迭代次數趨向無窮時,系統輸出能夠實現對期望軌跡的完全跟蹤.文獻[29]通過引入指標函數,使得當前迭代中只對最相鄰的同一時刻信息進行學習,并構建改進型復合能量函數證明變迭代長度情況下系統狀態的收斂性.文獻[24-25]能夠有效解決非線性連續系統的ILC 不等長問題,但控制器設計仍需滿足初值一致條件.由于許多實際系統中ILC 初值問題和不等長問題同時存在,因此文獻[24-29]的工作無法直接應用于解決任意初態下的軌跡跟蹤問題.近來,文獻[30]針對機械臂軌跡跟蹤中的ILC 初值問題和不等長問題,提出狀態修正方法放寬初值一致條件,并證明變迭代長度下系統誤差的 L2范數收斂性.然而,狀態修正方法在每次迭代時往往需要重新設計過渡軌跡,導致計算量較大.

基于以上討論,本文研究任意初態下的機械臂軌跡跟蹤問題,提出一種變長度誤差跟蹤迭代學習控制方法.針對ILC 初值問題,構造與期望軌跡無關的雙曲余弦期望誤差軌跡,使得迭代初始值可任意設置,放寬經典迭代學習控制的初值一致條件.與現有的狀態修正方法相比,修正期望誤差軌跡僅需已知實際誤差初值及其導數兩個條件,且期望誤差軌跡表達式在每次迭代時無需重新設計.不同于現有的誤差跟蹤方法[21-23],本文設計的期望誤差軌跡只需設置一個常數項,使得誤差軌跡設計更加簡便.針對ILC 不等長問題,構造虛擬誤差變量構建誤差補償機制,用于補償未運行區間的誤差信息,放寬迭代長度不變的限制條件.與文獻[28-30]相比,本文提出一種全限幅迭代學習控制方法,能夠有效避免參數估計值因逐點收斂導致上下界不固定的問題,確保機械臂關節位置誤差在整個迭代區間上跟蹤期望誤差軌跡.

1 問題提出和預備知識

考慮n階自由度的剛性機械臂,其動態方程為[30]

其中,k=1,2,3,···,表示迭代次數,q1,k ∈Rn,q2,k ∈Rn,2,k ∈Rn分別表示關節位置、關節速度和關節加速度,M(q1,k)∈Rn×n為對稱正定的慣性矩陣,C(q1,k,q2,k)∈Rn×n為向心-科里奧利矩陣,G(q1,k)∈Rn為重力矩陣,dk ∈Rn表示包括系統模型不確定性和外部擾動在內的有界干擾,滿足||dk||≤,為一未知正常數,τk ∈Rn表示系統控制輸入.

機械臂系統(1)具有如下性質:

性質 1[2].矩陣(q1,k)-2C(q1,k,q2,k) 是斜對稱矩陣,即對任意向量x∈Rn,xT[(q1,k)-2C(q1,k,q2,k)]x=0成立.

性質 2[2].對于任意向量q,∈Rn和任意的已知向量v,Rn,存在一個未知的時變參數向量θ ∈Rm,使得

其中W(q,,v,)∈Rn×m,是一個回歸矩陣.

在控制器設計和穩定性分析之前,給出引理1.

引理 1[13].給定標量a和b,滿足＜a ＜,則有以下不等式成立

本文控制目標為針對任意初態下機械臂系統(1),設計迭代學習控制器τk,使得當迭代次數k趨向于無窮時,關節位置q1,k(t) 能夠在指定區間[Δ,Tk] 跟蹤期望軌跡qd(t),即當k→∞時,有1,k →0,t ∈[Δ,Tk]成立.

2 期望誤差函數設計

經典的迭代學習控制器設計一般要求系統滿足初值一致條件[15-17]

對?k成立.然而在實際運行中,由于機械臂定位誤差以及外部干擾等問題存在,條件(5)一般難以滿足.因此,本文構造一種不依賴于期望軌跡的期望誤差軌跡,以放寬初值一致條件(5).

如圖1 所示,期望誤差軌跡是由誤差過渡軌跡和恒為零的軌跡銜接而成,且期望誤差軌跡的設計需要滿足以下條件[21]

圖1 期望誤差軌跡Fig.1 Desired error trajectory

上述對期望誤差軌跡的設計不要求系統狀態滿足初值嚴格一致條件(5),而只要求被設計的過渡軌跡滿足條件(6)和(7).其中,式 (6)是為了保證期望誤差軌跡能夠銜接誤差初值和接入點,=1,k(0)表示期望誤差軌跡初值與實際誤差初值相等.式 (7)則是為了保證期望誤差軌跡在初始點和接入點處光滑可導,可以保證期望誤差軌跡在初始點光滑可導,=0 則保證期望誤差軌跡在接入點t=Δ 時刻光滑可導.

根據式(6)和式(7),本文構造一種新的雙曲余弦型期望誤差軌跡,表達式為

其中,Δ 表示接入點時刻,(t) 表示誤差過渡軌跡,具體表達形式為

為了使設計的期望誤差軌跡滿足條件(6),常數a的取值可根據確定,即滿足cosh(aΔ)=2.通過計算可得因此,a的取值只與預先設定的接入點時間 Δ 有關.由式 (9)可以看出,本文在期望誤差初始值和零誤差點之間構造光滑連續的誤差過渡軌跡(t),相當于為機械臂軌跡跟蹤控制安排一個理想的誤差收斂過渡過程,然后設計控制器,使得機械臂系統的實際位置誤差跟蹤這個“安排的誤差收斂過渡過程”,最終實現機械臂位置軌跡快速且精確跟蹤期望軌跡的控制目標.

由式(8)和圖1 可以發現,期望誤差軌跡在整個期望區間 [ 0,T] 連續可導,當狀態誤差實現對期望誤差軌跡的完全跟蹤時,關節位置q1,k能在指定區間 [ Δ,T] 完全跟蹤上給定的期望軌跡qd.

狀態修正方法[19-20,30]也是解決初值問題的方法之一.為了解決任意初值的跟蹤問題,狀態修正方法對期望軌跡進行修正,設計過渡軌跡連接每次迭代初始位置和期望軌跡,如圖2 所示.修正后的期望軌跡為[19]

圖2 狀態修正軌跡Fig.2 State rectifying trajectory

其中,qr,k(t)=A0t3+A1t2+A2t+A3是狀態過渡軌跡:

軌跡(10)保證了過渡軌跡能光滑地接入期望狀態軌跡.然而,參數A0和A1依賴于接入點的期望狀態軌跡信息qd(Δ) 和(Δ).由于系統初值q1,k(0) 和1,k(0) 隨迭代次數變化,當期望狀態軌跡發生變化時,參數A0～A3需要重新計算,導致計算量較大.不同,本文通過構造一種新的雙曲余弦型過渡軌跡

注 1.文獻[23]采用的是多項式形式的誤差過渡軌跡,表達式為

對比式(9)和式(11)的誤差過渡軌跡可以看出,兩種形式的參數設計雖然都與期望軌跡無關,但是本文設計的雙曲余弦形式過渡軌跡函數只含一個常數項a,設計更加簡單.

3 變長度誤差跟蹤迭代學習控制器設計

3.1 變迭代長度

本文考慮機械臂的變長度問題,即實際運行時間Tk隨迭代次數變化的問題.此時,系統可能會遇到Tk ＞T和Tk ≤T兩種情況.針對Tk ＞T的情況,可以發現在期望迭代長度 [ 0,T] 內的數據已經滿足下次迭代所需數據的要求,而 (T,Tk] 之間的數據由于超過期望迭代長度,無需參與下次迭代更新,因而可以直接舍棄.本文集中討論Tk ≤T的情況,即實際迭代長度在期望迭代長度之內.當t ∈(Tk,T]時,系統已經完成本次迭代,控制器不再參與系統運行,但參數更新律仍需將上次的迭代信息記錄到未運行區間,使得每次迭代都能是最相鄰有效的更新信息.定義Tmin和Tmax為Tk中最小和最大的迭代長度,則本文針對 Δ＜Tmin≤Tk ≤Tmax=T情況設計控制器.

假設 1[28].Tk是一個隨機變量,它的概率分布函數為

其中,P[·] 表示概率,0≤p(t)≤1 為一個連續函數.

注 2.假設1 描述了Tk的分布情況,從式(12)可得,FTk(Tmin)=0 和FTk(Tmax)＜1.其中,前者意味著當t∈[0,Tmin) 時,由于Tk ≥Tmin,因而系統會繼續運行;后者則意味著迭代長度Tk有一定概率滿足Tk=Tmax,即系統有一定概率運行至最大迭代長度,進而保證在迭代次數趨于無窮時,Tk=Tmax的情況可以出現無窮次.此外,由于控制器和參數學習律的設計與Tk的概率分布函數無關,因此,假設1 中Tk的概率分布函數無需提前已知,假設1 可適用于大部分實際系統.

由于運行到t=Tk時刻,系統會回到初始狀態進行下一次迭代,因此,在本次迭代中系統不包含(Tk,T]時刻的跟蹤信息.與已有文獻使用零補償信息的方式不同[24-25],本文利用Tk時刻的誤差值補償未運行部分的誤差信息,設計如下虛擬誤差變量

其中,αk=αk(t) 為虛擬控制器,具體設計將在第3.2 節中詳細描述.

注 3.當t∈(Tk,T] 時,z1,k和z2,k的跟蹤信息是通過誤差補償機制人為補全的,而非系統實際運行過程中產生的誤差信號.該部分補充的信息只用于穩定性分析,并不用于系統控制器和參數學習律設計.

3.2 控制器設計

為了保證變迭代長度情況下的穩定性,以下控制器和學習律的設計基于t∈[0,Tk] 和t ∈(Tk,T]兩種情況進行討論.

1 )情形1:t ∈[0,Tk]

步驟 1.構造Lyapunov 函數

對式(15)進行求導,可得

設計虛擬控制器為

其中,c1＞0 是正常數.

將虛擬控制器(17)代入式(16),則有

步驟 2.構造Lyapunov 函數

對式(19)求導,可得

根據性質1 和性質2,式(20)可以簡化為

其中,Wk ∈Rn×m為第k次迭代時的回歸矩陣,n表示機械臂的自由度,m表示時變參數向量θ的維數.

因此,設計實際控制器τk為

當t∈[0,Tk] 時,設計參數和的全限幅學習律為

將控制器(22)代入式(21),可得

2 )情形2:t ∈(Tk,T]

當t∈(Tk,T] 時,實際系統已經完成本次迭代運行,所以無需加入控制器.但是,參數學習律仍然需要保留上一次的迭代信息,此時全限幅學習律設計為

由以上分析可知,在t∈(Tk,T] 時無需設計控制器,且學習律(26)和(27)中并未包含z1,k,z2,k的相關信息.因此,虛擬誤差變量z1,k,z2,k在t ∈(Tk,T]時并不影響控制器和參數學習律的設計.

注 4.與已有迭代平均算子[24]方法相比,本文設計的學習律(26)和(27)能不斷保存上一迭代時刻的參數信息,為之后的參數學習保存最近一次相同時刻的迭代信息,使得每次學習律都是根據最相鄰一次的迭代信息進行,因此能夠充分利用以往迭代中的信息.

注 5.本文采用全限幅學習律(23),(24),(26)和(27),避免參數估計值因逐點收斂導致上下界不固定的情況,使得參數估計值(t)、(t) 受到固定大小的飽和限幅.部分限幅學習律[10]也能保證參數估計值的有界性,但是由于部分限幅學習律中存在未限幅項,導致參數估計值的界并不是固定的值.

4 穩定性分析

定理 1.針對任意初態的n自由度機械臂(1),在假設1 的前提下,設計實際控制器(22)和參數學習律(23),(24),(26)和(27),使得當迭代次數趨向無窮時,實現關節位置誤差1,k在 [ Δ,Tk] 區間上以概率1 收斂.

證明.設計復合能量函數如下:

1 )證明Ek隨迭代次數單調遞減.

當t∈[0,Tk] 時,定義δEk=Ek-Ek-1,則有

式(29)中,V1,k+V2,k-V1,k-1-V2,k-1可以進一步寫為

根據(b-a)T(b-a)-(c-a)T(c-a)=2(bc)T(b-a)-(b-c)T(b-c)和引理1,有

同理,可得

將式(30)～ (32)代入式(29),可得

故當t∈[0,Tk] 時,Ek隨迭代次數單調遞減.當t ∈(Tk,T]時,根據積分的分段可加性,式(28)可改寫為

定義δ?1,k=?1,k(t)-?1,k-1(t),根據式(13)～(15)和式(19),有

與式(29)～ (33)的證明過程類似,可得

由式(37) 可知,為證明Ek在t∈[0,T] 上隨迭代次數單調遞減,只需證明δ?2,k=?2,k(t)-?2,k-1(t)≤0成立.由全限幅學習律(26) 和(27),可得

由式(38) 可知,δ?2,k=0 成立,進而可得當t ∈(Tk,T] 時,有δ?1,k ≤0 且δ?2,k=0 成立,因此,δEk(t)≤0 仍成立.綜上所述,Ek在 [ 0,T] 區間上任意時刻的值隨迭代次數增加而單調遞減.

2 ) 證明k=0 時,E0(t) 在 [ 0,T] 是有界的.

當t∈[0,Tk] 時,對式(39)求導,可得

因此,E0(t)≤E0(0)+TkL ＜∞是一個有界函數,即E0(t) 在 [ 0,Tk] 是有界的.

綜上所述,E0(t) 在 [ 0,T] 上是有界的.根據1)和2)兩部分的證明結果,可以得到如下結論:

由于E0(t) 有界且 0≤Ek(t)≤E0(t),可得

為了更直觀地說明z1,k采取 L2范數形式以概率1 收斂至0,引入滿足伯努利分布的隨機變量γk(t),取值分別為0 或1.當γk(t)=1,意味著在第k次迭代的t時刻系統仍在運行,即t≤Tk;當γk(t)=0,意味著在第k次迭代的t時刻系統已經停止運行,即Tk ＜t.由假設1 可知,γk(t)=1 發生的概率為q(t)=P(γk(t)=1)=P(t ≤Tk)=1-P(Tk ＜t)=1-FTk(t),且q(T)＞0 意味著系統有概率運行至最大迭代長度.由此,可以將z1,k寫成另一種形式,即

迭代次數趨向無窮時,根據式(43)和式(44),可得

注 6.根據式(17)和式(22)可知,如果控制器的參數c1和c2選取過大,則導致高增益控制;如果控制參數選取過小,則會減慢誤差收斂速度.學習律(23)和(24)的學習增益η,γ選取過小,會導致迭代學習控制的學習速率下降;但如果選取過大,則可能出現不必要的振蕩,甚至導致系統狀態發散.

5 仿真分析

考慮一個 2 自由度機械臂系統,其表達式為[30]

方法1 (M1).本文提出的誤差跟蹤迭代學習控制方法,包括控制器(17),(22)和學習律(23),(24).

控制器(22)中的回歸矩陣Wk如下所示:

方法2 (M2).機械臂自適應控制方法,其虛擬控制器和實際控制器分別設計為

仿真中系統初值設置為隨機變量q1,k(0)=[1+0.5rand(1),0.5+0.4rand(1)]T,設置每次的迭代長度Tk均勻分布在 [ 4,5] s,期望迭代長度為Tmax=5 s,期望軌跡給定為qd=[0.2cos(0.5πt),0.1sin(πt)+0.1cos(πt)]T.

仿真結果如圖3～ 11 所示.圖3 和圖4 分別描述關節位置q11,k和q12,k對期望軌跡qd1和qd2的跟蹤效果.其中,q11,1,q11,10,q11,30分別表示在第1 次、第10 次和第30 次迭代后的機械臂第1 個關節位置的輸出;q12,1,q12,10,q12,30則分別表示在第1 次、第10 次和第30 次迭代后的機械臂第2 個關節位置的輸出.由圖3 和圖4 可知,在任意初始狀態下,經過足夠多的迭代以后,本文所提的變長度誤差跟蹤迭代學習控制方法能夠實現關節位置在指定區間跟蹤期望軌跡,且在經過30 次迭代之后,兩個關節位置的跟蹤精度均優于第1 次和第10 次迭代的跟蹤精度.圖5 和圖6 分別表示兩個關節位置誤差對期望誤差軌跡的跟蹤情況,可以發現兩個關節位置誤差在整個迭代長度內沿期望誤差軌跡收斂.此外,在t=0.5 s 后,本文所提方法能夠保證機械臂兩個關節位置誤差均收斂至零點附近,這與前述理論分析結果保持一致.圖7 描述了性能指標avg(‖z1,k(t)‖) 以及Jmax隨迭代次數的變化趨勢.由圖7 可知,隨著迭代次數的增加,本文所提方法能夠有效提高跟蹤誤差的收斂性能.

圖3 關節位置 q11,k 和期望位置信號qd1Fig.3 Joint position q11,k and desired position signal qd1

圖4 關節位置 q12,k 和期望位置信號qd2Fig.4 Joint position q12,k and desired position signal qd2

圖5 誤差軌跡 11,k 和期望誤差軌跡,kFig.5 Error trajectory 11,k and desired error trajectory ,k

圖6 誤差軌跡 12,k 和期望誤差軌跡,kFig.6 Error trajectory 12,k and desired error trajectory ,k

圖7 性能指標Fig.7 Performance index

圖8 和圖9 分別表示M1 和M2 兩種控制方法下關節位置q11,k和q12,k對期望軌跡qd1和qd2的跟蹤效果.圖10 和圖11 表示兩種控制方法下關節位置誤差的收斂過程.由圖8～ 11 可知,在本文提出的M1 控制方法下,關節位置q11,k和q12,k的跟蹤速度更快,跟蹤性能得到較大提升,誤差收斂速度也更快,使得誤差能夠在指定區間內跟蹤給定的期望誤差軌跡.圖3～ 11 的仿真結果表明,針對任意初始狀態下機械臂軌跡跟蹤問題,本文提出的變長度誤差跟蹤迭代學習控制方法能夠實現關節位置誤差在指定區間收斂到零點,保證關節位置在指定區間內跟蹤給定期望軌跡.

圖8 關節位置 q11,k 跟蹤性能對比Fig.8 The comparison of joint position q11,k tracking performance

圖9 關節位置 q12,k 跟蹤性能對比Fig.9 The comparison of joint position q12,k tracking performance

圖10 關節位置誤差 11,30 收斂過程對比Fig.10 The comparison of the error 11,30 convergence processes

圖11 關節位置誤差 12,30 收斂過程對比Fig.11 The comparison of the error 12,30 convergence processes

6 結束語

針對機械臂迭代學習控制方法的初值與不等長問題,本文提出一種變長度誤差跟蹤迭代學習控制方法.為放寬系統的初值一致條件,利用雙曲余弦函數構造期望誤差軌跡,該期望誤差軌跡只需設計一個與期望軌跡無關的常數項,使得誤差軌跡形式較為簡單和直觀.針對ILC 不等長問題,定義虛擬跟蹤變量構建誤差補償機制,補償未運行區間的誤差信息,并在此基礎上設計迭代學習控制器,保證關節位置在指定區間上跟蹤給定的期望軌跡.此外,設計全限幅學習律,保證參數估計值的有界性.仿真結果驗證了本文所提控制方法的有效性.