基于耦合反步法的軋機垂扭耦合振動控制策略研究

張柳柳 錢 承 華長春 白振華 雷 彤

板帶高速軋制過程常常由于軋制條件的變化而誘發軋機出現振動問題.軋機振動不僅制約生產效率而且影響產品質量,嚴重時還會引起重大現場事故[1-4].目前對于軋機振動形式的分類主要為主傳動系統扭振、軋機輥系垂振和工作輥水平振動.然而,軋機作為一個復雜多質量體轉動系統,往往存在著軋制工藝過程參數與系統機構或者機-電-液界面多態之間的相互作用,從而引發板帶在軋制過程出現不同形式的耦合振動.

由于軋機耦合振動形式的多樣性及其機理的復雜性,軋機耦合振動問題吸引了國內外學者的關注[5-7].軋機耦合振動建模是振動控制的前提和基礎,文獻[8-10]研究了不同軋機振動模態之間的耦合,分別建立了軋機耦合振動模型;文獻[11]考慮了連軋機軋制過程張力和厚度波動,建立了存在時滯下的垂直、水平和扭轉方向耦合的再生顫振模型;文獻[12]考慮了運動板帶與軋機多模態振動下的耦合,建立了軋機系統耦合振動機理模型;文獻[13-14]研究了軋機機電耦合機理,分別建立了軋機機電耦合動力學方程;文獻[15]分析了軋機液壓系統和軋機輥系之間的耦合關系,建立了軋機機液耦合模型.然而,軋機系統是由多個不同子系統組合而成的,并且不同子系統之間存在相互耦合關系.考慮軋機傳動系統、液壓系統和軋機輥系機械之間的作用關系,建立軋機機電液垂扭耦合振動模型是十分必要的.

對于軋機振動的治理以往主要是從機械、工藝和電氣的角度出發對其進行研究.在機械方面,由于設備磨損或者裝配等問題造成的振動,可以采取更換設備、安裝防振墊片等措施來治理振動[16].對于非機械原因造成的振動,通過調整乳化液粘度和流量、增加抑振輥、優化軋制規程等工藝措施來抑制振動[17-18].在電氣方面,通過避免主電機電磁力矩的振動頻率與機械傳動部分的自振頻率的重合來消除振動[19].隨著控制理論的發展,先進控制算法逐漸應用到高層建筑、磁浮列車、機器人以及板帶軋制[20-22]等行業中的振動抑制控制之中.在軋機扭振抑制方面,文獻[23]提出了一種基于擴張狀態觀測器(Extended state observer,ESO)和線性二次型(Linear quadratic,LQ)的速度控制器,并將其應用于軋機主傳動系統的扭振控制,文獻[24]采用H∞扭振抑制控制器,來抑制熱連軋機組的軋機扭振問題.文獻[25]針對傳感器測量存在攝動的問題,將反步法和動態面技術相結合,提出了性能受限下的軋機主傳動系統自適應扭振控制策略.在輥系垂振抑制方面,文獻[26]利用擾動估計與補償算法,設計了基于擴張狀態觀測器的主動式振動抑制器,提出了新的振動主動抑制方法.文獻[27]針對金屬板帶厚度控制模型,設計了基于定量反饋理論的魯棒控制器來抑制軋機振動給板帶厚度帶來的影響,并將設計的控制器與比例積分微分(Proportionalintegral-derivative,PID)控制器進行比較,表明該控制器對參數不確定性和外部干擾具有較好的抑制性能.上述文獻分別針對軋機扭振和垂振提出了不同的振動抑制控制策略,然而并沒有考慮軋機不同振動形式間存在的相互耦合關系,進而對軋機耦合振動系統進行振動抑制控制研究.

隨著工業領域對系統控制性能要求的不斷提升,使得性能約束控制成為研究的熱點.性能約束控制[28-30]是通過選取合適的約束函數來限制系統的穩態誤差、最大超調量和收斂速度等性能指標,進而保證系統的暫穩態約束性能,廣泛應用于不同的非線性系統中.文獻[31]針對存在未知海洋干擾的船舶系統,提出一種基于時變非對稱障礙李雅普諾夫函數的最小參數自適應遞歸滑模控制策略;文獻[32]考慮了具有非對稱時變輸出約束的不確定切換隨機非線性系統,設計了自適應模糊容錯受限控制器;文獻[33]研究了非線性多輸入多輸出系統的跟蹤問題,利用狀態觀測器和障礙李雅普諾夫函數,設計了自適應輸出反饋控制策略.由于機械設計以及設備安全因素,軋制設備的軋輥振動位移和軋輥轉速等系統參數需要滿足不同的受限要求,如果設計控制算法時不考慮這些因素,可能會降低系統的性能,甚至導致系統不穩定.

本文考慮垂振系統中非線性軋制力、扭振系統中非線性阻尼以及軋機垂振系統和扭振系統存在的未知耦合關系,建立了機電液垂扭耦合振動模型.基于特定順序的反步法,提出適用于軋機機電液垂扭耦合系統的振動控制策略,避免了控制器循環嵌套問題.針對軋機耦合垂振系統和耦合扭振系統輸出性能受限,考慮到輸出變量需要滿足暫穩態性能受限要求,設計了基于神經網絡的預定性能控制器,并通過仿真驗證算法的有效性.

1 軋機垂扭耦合系統的建立

軋機輥系和主傳動系統示意圖如圖1 所示,包括電機、減速器、連接軸、機架、軋輥和液壓缸部分.為了便于后續對軋機輥系和主傳動系統建模,提出以下假設: 1) 軋機以板帶為中心線上下對稱,即軋機上輥系統和下輥系統是對稱的;2) 液壓缸的振動位移忽略不計,只考慮軋機垂直方向的軋輥振動.

圖1 軋機輥系與傳動部分機械示意圖Fig.1 Schematic diagram of roll and transmission system

根據集中質量法可以將輥系和傳動系統簡化成如圖2 所示的彈簧質量系統.圖2 中,A1為液壓缸活塞面積;A2為液壓缸有桿腔的有效工作面積;xv為閥芯位移;P1為液壓缸無桿腔的工作壓力;P2為液壓缸有桿腔工作壓力;Ps為液壓缸供油壓力;Pt為液壓缸回油壓力;m1為工作輥及軸承座等效質量.

圖2 軋機機電液垂扭耦合動力學模型圖Fig.2 Dynamic model of vertical torsional coupling of rolling mill

1.1 軋機垂振模型的建立

根據牛頓第二定律,軋機輥系動力學方程可以表示為

式中,k11為工作輥與液壓缸之間的等效剛度;c11為工作輥與液壓缸之間的等效阻尼;Fz(x1,x˙1) 表示為非線性軋制力,x1表示為垂振系統被控變量軋輥振動位移,表示為軋輥振動速度.

根據文獻[34],軋機液壓缸流量連續方程為

式中,Ct為液壓缸內泄露系數,V為液壓缸控制腔初始體積,βe為液壓油的體積模量.

液壓伺服閥基本流量方程[26]可以表示為

式中,Cd為閥口流量系數,w為閥口面積梯度,ρ為液壓油密度.

液壓缸伺服閥閥芯位移xv和垂振系統控制變量輸入電壓u之間的關系可以近似看成比例關系,表示為

式中,kv為增益系數.根據式(2)和式(3),可得

根據伺服閥流量特性可知,kq滿足 0,其中,是未知的正數.

因此,軋機垂振模型如式(6)所示:

1.2 軋機垂振模型的建立

根據文獻[27],軋機主傳動系統的動態方程可以表示為

式中,Tm為扭振系統控制變量電機轉矩,TL為負載轉矩,Tf為摩擦轉矩,Jm,JL分別表示電機和負載的轉動慣量,Cm,CL分別為電機和負載的阻尼系數,θm為電機轉動角度,θL為軋輥轉動角度,K為連接軸的剛度系數,為扭振系統被控變量軋輥角速度,為電機轉動角速度,為軋輥角加速度,為電機轉動角加速度.

軋機主傳動系統摩擦力矩為

式中,摩擦系數μ=ae-bvL+c,a,b,c為與乳化液濃度、流量、溫度相關的參數;vL為軋輥旋轉線速度,R為工作輥半徑.

將摩擦系數代入式(7),可得

式(10)描述了軋機主驅動系統電機和負載處的非線性阻尼

那么,式(9)可以進一步表示為

式中,ci(i=1,2,3,4) 為阻尼系數.

1.3 軋機垂扭耦合系統的建立

耦合軋機扭振系統的動態方程為

式中,f11(z21) 為垂振對扭振的未知耦合項,f21(z11)為扭振對垂振的未知耦合項.

2 軋機垂扭耦合控制策略

本節基于建立的耦合垂振系統模型(12)和耦合扭振系統模型(13),考慮輸出受限情況,提出軋機垂扭耦合振動抑制控制策略.根據建立的軋機垂扭耦合模型,利用反步法分別對耦合垂振系統和耦合扭振系統設計相應的振動控制器.

為了便于控制器設計,首先給出引理1 和引理2.

引理 1[35].對于任意的常數?＞0 和任意的變量z,滿足

引理 2[36].對于任意的常數ε2＞0 和任意的變量ν,滿足

2.1 耦合垂振控制設計

首先,針對軋機耦合垂振系統,引入下面的坐標變換

式中,α11和α12為虛擬控制器,具體形式將在后文給出.為了限制輸出變量ξ11的性能,構造非對稱的正切障礙李雅普諾夫函數,即

?1是給定的正數.

步驟 1.構建第1 部分的李雅普諾夫函數如下

采用徑向基函數(Radial basis function,RBF)神經網絡來逼近未知的非線性函數,可得

式中,φij(Zij),i=1,2,j=1,2,3,是神經網絡基函數,εij(Zij),i=1,2,j=1,2,3,表示神經網絡估計誤差且滿足|εij(Zij),為未知的正常數,Z11=z21.

將式(19)代入式(18)中,得

根據楊氏不等式可知

根據式(20),設計虛擬控制器和自適應律為

式中,γ11,l11是設計的正數.

將式(21)～ (23)代入式(20),可推出

步驟 2.構建第2 部分的李雅普諾夫函數,即

對V12求導,可得

根據引理2 可知,

由楊氏不等式可知,

利用RBF 神經網絡來逼近未知的非線性函數

根據式(26)～ (30),構造虛擬控制器和自適應律為

根據引理1,可以推出

將式(27)～ (34)代入式(26),得

步驟 3.構建第3 部分的李雅普諾夫函數,即

采用RBF 神經網絡來逼近未知的非線性函數,即

由楊氏不等式可知

根據式(38)～ (41),選取控制器和自適應律為

將式(42)代入式(38),得

將式(39)～ (45)代入式(38),得

2.2 耦合扭振控制設計

針對軋機主傳動扭振系統,引入下面的反步坐標變換

與耦合垂振類似,為了限制輸出變量ξ21的性能,構造非對稱的正切障礙李雅普諾夫函數,即

步驟 1.為了使得輸出變量ξ21趨于穩定,構建第1 部分的李雅普諾夫函數如下式:

對V21求導,可得

?2是給定的正數.

在軋制過程中,考慮到不同厚度和規格的產品在切換過程會使得負載轉矩存在不確定的干擾.因此負載轉矩可以表示為

式中,TL1為穩定軋制時的負載轉矩;TLD為軋制過程存在干擾導致的干擾轉矩,并且干擾轉矩TLD存在上界,即TL ≤.

根據引理2 可知,

式中,ρ211=JL/TL.

根據定義的狀態變換z22=ξ22+α21,由楊氏不等式可得

利用RBF 神經網絡來逼近未知的非線性函數,即

式中,Z21=(z11,z12,z21,μ2,2).

根據式(50)～ (54),選取的虛擬控制器和自適應律分別為

ε212,l21和l211是設計的正參數.

根據引理1,可得

式中,ρ21=JL/K.

將式(52)～ (58)代入式(50),可得

步驟 2.構建第2 部分的李雅普諾夫函數,即

利用RBF 神經網絡來逼近未知的非線性函數,即

由楊氏不等式,可知

根據式(62)～ (65),選取虛擬控制器和自適應律為

將式(63)～ (67)代入式(62),可得

步驟 3.構建第3 部分的李雅普諾夫函數,即

對V23求導,可得

利用RBF 神經網絡來逼近未知的非線性函數,即

由楊氏不等式,可知

根據式(71)和式(72),選取的虛擬控制器和自適應律分別為

ε232,l23和l231是設計的正參數.

根據引理1,可得

將式(71)～ (76)代入式(70),可得

下面給出本文主要結果.

定理 1.針對建立的軋機耦合垂振系統(12)和耦合扭振系統(13),考慮耦合系統存在輸出受限問題,設計的動態控制器(22),(31),(42),(55),(66),(73)和自適應律(23),(32),(33),(43),(44),(56),(57),(67),(74),(75),使得系統中所有的信號均是最終一致有界,并且軋輥振動位移和負載轉速跟蹤誤差被嚴格限制在非對稱上下界內,從而實現了對耦合振動的有效抑制.

證明.針對軋機機電液垂扭耦合振動系統,選取整體李雅普諾夫函數為V=V13+V23,根據式(46)和式(77),可以得出軋機耦合振動系統的李雅普諾夫函數導數滿足

式中,O=O13+O23,?=min{W13,W23}.

根據李雅普諾夫穩定性定理,可直接得出本文結果.

注 1.本文針對軋機機電液垂扭耦合系統進行耦合振動控制器設計.由于軋機機電液垂扭耦合系統的特定結構(扭振系統的第一個動態方程包含了垂振系統的前兩個動態),對于關聯系統普遍采用的分散設計方法[37-38]會造成控制器嵌套問題,故而不能應用于本文構建的垂扭耦合系統中.因此,本文針對該特定形式的系統,提出了新的耦合設計方法.通過依次對垂振系統和扭振系統設計相應的耦合振動控制器,最終實現對軋機機電液垂扭耦合振動的抑制控制.

注 2.本文考慮軋機機電液耦合系統存在輸出受限特性,基于反步法和李雅普諾夫穩定的思想,設計了軋機機電液垂扭耦合振動控制算法,利用李雅普諾夫穩定判據證明了軋機機電液垂扭耦合振動系統中狀態變量的有界穩定性.對李雅普諾夫函數求導存在小的殘差集合O,可通過調節設計參數使其任意小.

3 仿真驗證

為驗證本文提出的控制算法的有效性,選取650 mm 軋機為仿真對象,仿真驗證參數如表1所示.性能約束函數選取為5e-5t+0.1＜ξ11＜0.5(5e-5t+0.1),5e-5t+0.1＜ξ21＜0.5(5e-5t+0.1),選取控制律和自適應律如式(22),(23),(31)～(33),(42)～ (44),(55)～ (57),(66)～ (67),(73)～(75),同時設計參數為z2d=20,γi=10,εij=0.01,lij=lθi=1,高斯函數選取為

表1 軋機機電液垂扭耦合系統仿真參數Table 1 The simulation parametes of electromechanical hydraulic vertical torsional coupling system of rolling mill

軋機垂扭耦合系統狀態初始值選取為

仿真結果如圖3～ 8 所示.圖3 為在本文算法作用下垂振子系統中軋輥振動位移的響應曲線.為了驗證本文算法的優越性,在同樣的控制參數選取下,基于傳統反步控制策略的軋輥振動位移響應曲線同樣體現在圖3 中.由圖3 可以看出,軋輥振動位移在本文提出的控制算法下衰減速度、穩態誤差和超調量都得以保證,而在傳統無輸出性能約束控制作用下,垂振子系統的暫穩態性能指標較差.同理,圖4 為扭振子系統中負載轉速跟蹤誤差在有無輸出性能約束控制下的對比圖.從圖4 可以看出,負載轉速跟蹤誤差在本文提出的控制算法下趨于穩定,并且嚴格限制在規定的上下界內,而在傳統無輸出性能約束控制作用下,扭振子系統的暫穩態性能指標較差.從圖5 和圖6 可以看出,軋輥振動速度和液壓缸無桿腔工作壓力都趨于穩定.從圖7 和圖8可以看出,狀態變量z22和z23始終保持有界.

圖3 有無輸出性能受限下的軋輥振動位移對比Fig.3 Comparison of roll vibration displacement with or without output performance constraints control of coupled rolling mill vertical vibration system

圖4 有無輸出性能受限下的負載轉速跟蹤誤差對比Fig.4 Comparison of load speed tracking error with or without output performance constraints control of coupled rolling mill torsional vibration system

圖5 軋輥振動速度響應曲線Fig.5 The response of roll vibration velocity

圖6 液壓缸無桿腔工作壓力響應曲線Fig.6 The response of working pressure of rodless chamber

圖7 負載轉速與電機轉速差的響應曲線Fig.7 The response of load speed and motor speed difference

圖8 電機轉速響應曲線Fig.8 The response of motor speed

4 結束語

本文考慮軋機傳動系統、液壓系統和輥系機械部分之間的耦合影響,建立了軋機機電液垂扭耦合振動模型,進而研究了軋機機電液垂扭耦合振動控制策略.針對耦合垂振子系統和耦合扭振子系統輸出性能受限,基于耦合設計法,利用非對稱正切障礙李雅普諾夫函數和反步法,通過先設計耦合垂振自適應控制策略,再設計耦合扭振自適應控制策略,最終實現了對軋機垂扭耦合振動的有效抑制,并通過仿真驗證了算法的有效性.在今后的工作中,我們將考慮實際軋制過程不易測量信號的估計問題,進一步將變量受限低復雜度控制策略應用到軋機振動抑制控制中,實現對軋機振動的有效抑制.