核心素養(yǎng)視角下淺談平面向量在高中數(shù)學中的應用

王岳玲

(北京師范大學銀川學校,寧夏 銀川 750004)

《高中數(shù)學課程》指出:教師在教授平面向量及其應用時,要從物理、幾何、代數(shù)三個角度理解向量的概念與運算法則,引導學生運用類比的方法探索實數(shù)運算與向量運算的共性和差異[1].

1 平面向量在高中數(shù)學的應用

在高中數(shù)學的學習中,教師要時刻滲透數(shù)學思想方法,助力學生理性思維能力的提升,從而培養(yǎng)學生的數(shù)學六大核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.下面就數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)談談平面向量在數(shù)學中的應用.

1.1 平面向量在三角函數(shù)中的應用

平面向量在推導兩角差的余弦公式中起著很重要的作用,利用平面向量法對公式進行探究,重視公式的生成過程,更易于學生理解和接受相關知識.通過學習平面向量的性質以及坐標運算在三角函數(shù)中的應用,讓學生進行再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的討論探究,推導出兩角差的余弦公式,為同學們以后學習兩角和的余弦公式打好了基石.

下面用導學案的方式給出:如何用α,β的正弦、余弦來表示cos(α-β)?學生通過課前預習,在自學中通過發(fā)現(xiàn)問題-思考問題-產(chǎn)生疑問-再次思考-解決問題,以達到自學能力的培養(yǎng).

圖1 角的終邊示意圖(a) 圖2 角的終邊示意圖2(b)

首先,利用構造法構造向量

一方面,由平面向量的坐標運算得

①

②

(4)找出上面兩個圖中α,β的關系α=β+θ+2kπ,k∈Z,(如圖1),α=β-θ+2kπ,k∈Z,(如圖2)則α-β=±θ+2kπ,k∈Z,由誘導公式, cos(α-β)=cosθ③

由①②③可得兩角差的余弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

近年來,高考更注重考查學生對數(shù)學中的公式以及定理的推導證明,通過死記硬背方式來學習并不符合新課標的要求.這要求我們在數(shù)學學習中,應該用邏輯性強的導學案一步一步引領學生深度思考,激發(fā)學生的創(chuàng)造力,助力學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提高.

兩角差的余弦公式是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的根基,起著至關重要的作用.在利用平面向量這個工具時,要充分發(fā)揮數(shù)形結合的思想,通過構造向量,利用任意角三角函數(shù)的定義、數(shù)量積公式、角α與角β的關系,再結合誘導公式,得到兩角差的余弦公式.通過運用構造向量法、數(shù)形結合法、分類討論法和方程思想等,可以使學生的思維得到升華,培養(yǎng)學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

1.2 平面向量在平面幾何中的應用

1.2.1用基底表示向量

圖3 例1題圖

1.2.2建系(幾何問題代數(shù)化)

用平面向量法解決平面幾何問題的“三部曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．

圖4 例2題圖 圖5 例2建系圖

由△ABC的面積為1,|BC|=2,可知A點到底邊BC的距離為1,可引導學生畫出圖形,深度思考的學生會發(fā)現(xiàn)點A可以在圖4的虛線上運動,在此,可以設置自主探究環(huán)節(jié),讓學生自主探究5分鐘,進一步分析問題、解決問題,培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

例3已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形,E為AB的中點,點F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF與EC相交于點P,求四邊形APCD的面積．

1.3 平面向量在復數(shù)中的應用

方法一(待定系數(shù)法):設z1=a+bi,z2=c+di,由|z1|=|z1|=2可知

a2+b2=4

①

c2+d2=4

②

則z1+z2=(a+c)+(b+d)i,因為|z1+z1|=2,則

(a+c)2+(b+d)2=4

③

由①②③可知2ac+2bd=-4

④

方法二(平面向量法)

1.4 平面向量在不等式中的應用(推導柯西不等式的平面向量)

定理1(柯西不等式的向量形式)設a,b是兩個向量,則|a·b|≤|a|·|b|,當且僅當兩個向量共線時,等號成立.

定理2(二維形式的柯西不等式)若a,b,c,d都是實數(shù),則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

當且僅當ad=bc時等號成立.

1.5 平面向量在解三角形中的應用

1.5.1利用平面向量判斷三角形的四心問題

1.5.2利用平面向量判斷三角形的四形狀問題

可知O是△ABC的外心.

2 總結與反思

高考在不斷改革,原有的死記硬背、生搬硬套的模式已經(jīng)不能適應改革的要求.因此,在教學過程中,不論是新課講授,還是習題講練,都應該重視學生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在學生學習過程中,注重培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力,激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維.

同時,所有的自主探究、合作探究都應建立在學生的基礎之上.在教學中,要注重單元教學或者模塊教學,讓學生時刻認識到知識是連續(xù)貫通的,從而使學生進行有條理的深度思考,這樣有助于學生學會學習數(shù)學,掌握數(shù)學方法,抓住數(shù)學的本質.

本文通過探討平面向量在高中數(shù)學中的簡單應用,幫助學生認識到數(shù)學課程內(nèi)容結構的完整性和數(shù)學知識的連貫性.在教學中,通過數(shù)學思想方法的滲透,讓學生自主學習、自主探究和合作探究,從而達到培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.