高中數學三角函數常規題型解題策略分析
——以正余弦定理為例

張多昌

(甘肅省民樂縣職業教育中心學校,甘肅 民樂 734500)

正余弦定理是高中數學中的重要內容,主要應用于三角函數中“解三角形”的相關問題中,考查的形式有選擇題、填空題、解答題三種,難度為中等或者中等偏上.在實際解決問題中,學生通常需要以該定理為工具,結合三角恒等變換、面積公式等進行求解,對學生的轉化思想和推理能力等數學學科的核心素養要求較高[1].然而,目前的教學中,發現有很大一部分學生輕視了對該定理的學習,只是生硬地記住定理公式,對其結構特征和應用方法不甚了解,導致在實際應用中難以解決問題[2].本文結合具體實例,對正余弦定理的應用策略進行講解.

1 正弦定理和余弦定理介紹

在△ABC中,若角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則有

表1 正弦定理和余弦定理

2 正余弦定理在高中數學三角函數常規題型中的應用

2.1 求解三角形的邊長或者角度大小

A．30° B．45° C．60° D．60°或120°

例2在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,求A+B的大小( ).

解法探究利用余弦定理,可以解決已知三角形的三邊長度,求解三角形角度大小的問題.

2.2 判斷三角形的形狀

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．等邊三角形

D．直角三角形

2.3 結合不等式求解最值問題

2.4 求解三角形面積或者周長

2.5 求解與平面幾何相關問題

圖1 △ABC示意圖

總之,正弦定理的解題策略主要是邊化角,余弦定理的解題策略主要是角化邊.近些年,對該定理的考查,不再僅僅是簡單地套用公式,通常會與其他知識點(如三角形的內角和定理、三角形的面積公式、三角恒等變換及均值不等式等)結合,進行綜合性考查,具有一定的難度,需要學生能夠靈活運用數學知識.此外,強大的計算能力和轉化思維,也是解題的關鍵.教師在教學過程中,要注意培養學生綜合運用知識的能力,學會從不同角度思考問題,發散解題思維,形成解題策略,提高解題能力,發展數學核心素養[3].