尋根溯源 拾級而上 提升素養
--以一輪復習“導函數的隱零點”為例

南京航空航天大學附屬高級中學 (210007) 戈 敏

一 引言

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《標準》)把函數作為貫穿高中數學課程的四大主線之一,凸顯了函數在高中數學體系中的重要地位.導數作為研究函數問題的基礎性工具,在解決函數單調性問題中發揮著重要作用.基于函數單調性與導函數零點的密切關系,在函數綜合題的求解中對于導函數零點的處理是關鍵步驟.導函數的零點根據其能否精確求出分為兩類,一類是能精確求出的“顯零點”;一類是可以判斷其存在,但難以求出或無法求出的“隱零點”.“導函數的隱零點”是教材上探究的難點問題,也是高考的熱點問題.

高中數學教材濃縮了整個高中數學學科知識發展的精髓,是《標準》的物化形態與文本素材,也是《中國高考評價體系》“一核四層四翼”中的“必備知識”與“基礎性”,更是實現高中育人目標、培養學生數學核心素養的重要載體.高三一輪復習應回歸教材尋根溯源,擬合高考拾級而上,讓學生的數學思維在“活水”滋養中一路向陽生長.本文為基于此目標做出的積極的教學實踐嘗試.

二 教學過程實錄

1 尋根溯源,回歸教材

師:本節課我們來探究函數中一類典型問題,請大家先研究人教A版選擇性必修第二冊104頁第18題:已知函數f(x)=ex-ln(x+m),當m≤2時,求證:f(x)>0．

請大家先嘗試解決以下問題:

引例 已知函數f(x)=ex-ln(x+2),求證:f(x)>0．

師生總結:要得到函數的單調性,需要找到導函數的隱零點x0,用零點存在定理可以解決此問題．同時,通過繪制導函數圖象和原函數圖象,從圖象上可直觀感受導函數的正負分布和原函數的最值情況．

設計意圖:在導函數零點存在但不可精確求解的情況下,應用零點存在定理把該隱零點“逼”出來并設參表示,這樣才可以得到導函數明確的正負分界,并得到原函數明確的增減區間．“以形探路,用形強化”可以幫助學生更好的理解函數、挖掘函數性質、提升直觀想象素養,故在函數教學中提升學生的“用形”意識非常必要．

師:如何證明f(x0)>0?

合作學習:找到癥結在于“最小值f(x0)=ex0+x0,其中x0∈(-1,0)”的處理還不到位,繼而找到兩種解決辦法:繼續化簡f(x0)的表達式或者縮小隱零點x0的范圍．

師生互動:通過對兩種處理方式計算量上的對比,發現“繼續化簡解析式”的方法具有一定的優越性．

設計意圖:瑞士心理學家克拉帕雷落提出“意識化原則”,即只有在不順應時才能產生意識,只有在學習中不斷造成必要的心理障礙才能取得好的效果．此處f(x0)>0的證明帶來的學生認知上的沖突,有利于激發學生的求知欲和探究精神,是教師應該抓住的教育契機.根據戴爾的“經驗之塔”理論,對于處于學生最近發展區的教學內容,較高效的處理方式是發揮學生的主體作用,引導學生在合作交流與實際演練中感悟出導函數隱零點的強大功能,這樣既解決了函數單調區間問題,又帶出了一個等式,該等式在后續的證明或者求值問題中可以實現簡化解析式的妙用.同時,對于“一題多解”的問題,教師應引領學生進行方法上的優化選擇,引導學生深入思考、深度剖析解析式可化簡的緣由和具體持續簡化的過程.

師:可以進一步縮小f(x0)的范圍嗎?

設計意圖:在教學實踐中,“學生的念頭”是彌足珍貴的,教師應善于捕捉課堂即時生成的“念頭”資源．在小組合作探尋f(x0)>0的證法中,不少學生嘗試縮小隱零點所在范圍來解決問題,雖然此法在解決本題中沒有化簡解析式方便,但倘若改變待證結論使得解析式化到最簡仍舊無法解決問題,便應該從定義域下功夫了.“二分法”是運用函數性質求方程近似解的基本方法,“比較大小”是學生運算素養的基本體現,引導學生進一步縮小f(x0)的取值范圍,有利于促使學生深入思考、深度學習,加深對隱零點知識本質的理性認識.

師:如何解決書上習題?

生7:當m≤2時,有ln(x+m)≤ln(x+2),故f(x)≥ex-ln(x+2),引例已證得ex-ln(x+2)>0,故有f(x)>0．

設計意圖:教材中知識及知識生成過程蘊含著數學的質與魂,教材中的例習題使得知識運用“有章可循”、“有法可依”,其中的數學思想是促進學生能力提升素養發展的營養液,故教材是學生的知識之源和思維之源.高三復習教學應精心選擇好的素材和試題,重視對解題過程的反思,捕捉學生的念頭,引領學生回歸學習教材,幫助學生分析問題的本質,激發高三課堂的活力,提高課堂教學的效率和品位.[3]

2 拾級而上,擬合高考

師:接下來,請大家嘗試解決高考題．

(2017年全國高考數學II卷理科第21題)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0．(1)求實數a的值;(2)求證:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2

設計意圖:通過對教材知識和重點習題的回歸,學生面對本質相同的高考題,可以依托扎實的解題經驗來尋求突破,真正實現會一題、通一類,避免題海戰術,達到減負增效的享受數學學習的目的．

3 凝煉升華,提升素養

生10:導函數隱零點的確定過程,要用零點存在定理合理論證,同時注意盡可能縮小隱零點所在的范圍．

生11:利用隱零點方程可以化簡原函數最值表達式．當問題解決不了時,可以嘗試再次縮小隱零點所在范圍或者將最值表達式進行進一步的化簡．

生12:我們要重視教材上的習題,尤其是“綜合運用”和“拓廣探索”部分,里面蘊含的數學思想與方法可以幫助我們做通一類題．

設計意圖:引導學生對本節課所學內容進行梳理回顧、對所用數學思想與方法進行歸納總結、對重難點做深入理解和深度思考,有利于培養學生數學概括能力和語言表達能力,幫助學生養成良好的學習習慣,助力學生實現深度學習,發展數學學科核心素養.同時,再次引導學生感受回歸數學教材、研究高考題是實現高三數學復習減負增效的有效途徑．

三 結語

當前在高三一輪復習過程中,“回歸教材”往往被“填寫知識清單”或“題海復習戰術”所取代,而能夠進行深度教材內容回歸、梳理教材不同模塊之間的聯系,構建整個高中數學知識體系和學科思維方法體系的低耗高效復習模式并不多見．

我國現當代著名哲學家馮契將認識過程概括為從無知到有知,從知識到智慧的兩次飛躍,即通過對知識的理解、運用與體認,使知識化為主體人的思維方式與言行準則,將認知的知識轉化為求知、做事和為人的素養．在高三的一輪復習中,應對教材中核心知識生成過程中蘊含的數學思想與方法進行激活、遷移、新情境運用,對重點例習題進行解題經驗重組、變式訓練、深度挖掘,應注重教材與真題的進階式有機結合,抓住轉識成智的良機,助力學生從知識型學習者向能力型學習者轉變,促進學生思維能力與表達能力的提升,促使學科核心素養真正得以持續良性發展．