解三角形中取值范圍問題的解法探究與思考

福建省福清融城中學(xué) (350300) 王 強(qiáng)

解三角形問題一直是高考的高頻考點(diǎn),在解三角形的背景下,若已知的方程個數(shù)比未知的邊角元素個數(shù)少,就會變成不確定三角形,對于不確定三角形,我們常研究最值及范圍問題,這類問題注重與函數(shù)、不等式和幾何等知識的交匯融合,涉及的知識面廣,靈活性大,綜合性強(qiáng).本文結(jié)合典型例題,對解三角形中的取值范圍與最值問題的破解策略與路徑做一梳理與歸納,與同仁交流.

1 試題再現(xiàn)

圖1

2 問題剖析

3 解法探究

3.1 統(tǒng)一解析

為了敘述方便,對所用主要知識做統(tǒng)一解析:

3.2 多解探究

探究1遵循函數(shù)思想,利用正弦定理,化邊為角,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題.

探究2借助圖形觀察分析,利用數(shù)形結(jié)合思想,找臨界位置,此時△ABC為直角三角形.

圖2

4 策略剖析

解法一更具一般意義,是解決此類問題的通法. 本題是解三角形中的有關(guān)最值(取值范圍)問題,當(dāng)條件不夠時,需引入一個新的變量,構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個變量的函數(shù)．這樣,由于變量的引入,使得我們具備了運(yùn)用通法“知三求三”解決問題的條件,進(jìn)而用通法將問題予以解決．其中“函數(shù)思想”就發(fā)揮了重要作用,用運(yùn)動變化的觀點(diǎn),分析問題中的數(shù)量關(guān)系來建立函數(shù),可以以邊為變量,也可以以角為變量．

剖解法特征,探破解策略.此類問題的解題路徑為:

5 應(yīng)用賞析

以上兩個不同角度的探究,從基礎(chǔ)知識入手,運(yùn)用代數(shù)方法和幾何方法,通過合理轉(zhuǎn)化,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?找到解決此類問題的一般方法,顯然函數(shù)思想更具一般性與普適性.

分析:本題僅知一邊及其對角,顯然這是一類不確定三角形的求解問題,注意到本題是最值問題,若能立意與函數(shù)思想,則自然就能運(yùn)用通法將問題解決;當(dāng)然若能基于不等式思想,結(jié)合余弦定理,尋找和、積、平方和、倒數(shù)和這些結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系,也是求解三角形最值的重要方法之一.

圖3

6.解后反思

我們常說,教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體,那么如何在解三角形的教學(xué)中體現(xiàn)學(xué)生的主體地位?筆者認(rèn)為教師最基本應(yīng)該做到,引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光去觀察問題,即數(shù)學(xué)抽象,由數(shù)量關(guān)系或圖形去識別解三角模式,抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),巧妙轉(zhuǎn)化,掌握化歸轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng);同時還要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)思維去思考問題,即邏輯推理,合理引入變量,建立函數(shù)模型,求得正確的運(yùn)算結(jié)果,掌握函數(shù)方程思想,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．