一道“非對稱性”問題的解法優化與拓展

安徽省合肥市合肥一六八中學 (230601) 張 倩 吳志勇

圓錐曲線中極點和極線的理論為我們求有關定點、定值部分問題提供了大的方向,而韋達定理的使用往往使方向的正確性得到了嚴謹的證明.但在實際的解題中我們經常會遇到僅僅套用韋達定理不能一次性解決的“非對稱性”問題.本文以對一道試題解法進行優化處理為例,借此來談談對解決有關圓錐曲線中“非對稱性”問題的想法.

1 原題及求解

2 思路探求

探求一:利用橢圓第二定義將“非對稱性”轉化為“對稱性”

探求二:利用韋達定理部分消元

探求三:和積轉換代入化簡

3 方法與應用

綜合原題的解法和筆者的探求,可以將解決韋達定理應用中與“非對稱性”有關的方法總結為以下四種:⑴分析結構,平方消元;⑵利用圓錐曲線第二定義將“非對稱性”問題轉化為“對稱性”問題;⑶利用韋達定理部分消元;⑷和積轉換代入化簡.以下筆者分別用方法四解決一道與雙曲線有關的問題來彌補“探究三”的不完整性和方法二來證明一個一般性結論作為本文的收尾.

本題也可以采用其他的三種方法得出結論,但相對于本題的情況采用和積轉化法相對來說是比較簡潔的.故我們在平時的教學中,要引導學生熟練掌握四種不同的方法,根據具體的情況,靈活運用.最后我們來運用方法二證明一個一般性結論.