再議“齊次化”方法解決定點定值問題

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

定值定點問題是解析幾何中的典型問題,不僅是各類模考題的熱點,也是高考題的高頻考點,是學生既熟悉又頭疼的問題,熟悉在于平時經常會遇見,頭疼在于有思路沒答案、會而不對.在文[1]中有過介紹,對圓錐曲線上一定點M(x0,y0)和兩動點A,B(異于點M),已知動直線l過定點,求kMA+kMB或kMA·kMB為定值,已知kMA+kMB或kMA·kMB為定值求動直線l過定點.即定點求定值和定值找定點兩種不同類型.“齊次化”是解決圍繞著斜率和(積)為定值直線過定點的一種優化通法.

1 直接利用“齊次化”

評注:解析幾何中的定點定值問題,利用“齊次化”的方法是一種降低思維難度優化數學運算的通性通法.其本質是整體代換的思想設目標斜率式的直線方程,將圓錐曲線的方程轉化為關于斜率的一元二次方程,從而直接利用韋達定理處理斜率之積(和)為定值的問題[2].

2 轉化后用“齊次化”

圖1

(2)證明:直線CD過定點.

3 對“齊次化”再認識

例4 如圖2,過拋物線E:x2=4y上的點A(2,1)作斜率分別為k1,k2的直線,分別交拋物線E于B,C兩點.若k1+k2=k1k2,證明:直線BC過定點.

圖2

證明:設直線CD:m(x-2)+ny=1,代入

4 總結與反思

解析幾何蘊含著豐富的數學思想,是落實學生數學運算素養的重要載體.通過對“齊次化”的學習和再認識,學生不僅學會利用“齊次化”解決的定點定值模型,而且還掌握利用“齊次化”解決“雙斜率問題”的常見變形的方法,挖掘題干條件(隱含),構造目標式的齊二次方程. “齊次化”的方法對解決定點定值引發的雙斜率問題,可以起到降低思維難度、簡化運算的效果.在教學中要回歸知識本質,強化通性通法,體會思維過程,著眼素養提升.