一個有趣的代數最值問題

湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉

筆者通過進一步研究“葉軍數學工作站”的一個三次方程問題,提出并解決了如下最值.

問題已知集合M={(a,b,c)|a+b+c=ab+bc+ca,a,b,c>0},?(a,b,c)∈M有an+bn+cn+(2n+1-3)abc≥2n+1(n∈N*),求nmax.

解:本文約定用∑表示對a,b,c輪換求和.

(1)當p>4時,②式顯然成立.

由(1)、(2)知n=5時符合題設條件.

變式已知M={(a,b,c)|a+b+c=ab+bc+ca,a,b,c>0},?(a,b,c)∈M有an+bn+cn+(2n+1-3)abc≥2n+1,n∈Z,求n的取值的集合.

當n=1時,由文[1]知符合題設條件;

當n=2,3時,分兩種情況p>4與3≤p≤4,運用三次舒爾不等式同n=5的證明可證.

又由原題知n=5符合題設條件,故n的取值的集合為{1,2,3,4,5}.

最后提出一個猜想,期待同仁給出證明.

注:1.函數y=(3x-16)2x-3+3在區間(5,+∞)單調遞增,且有唯一零點m;