一道算術平均三角形的解法探究與性質推廣*

廣東省佛山市順德區容山中學 (528303) 潘敬貞

廣東省汕頭市澄海中學 (515800) 林建群

一、平均三角形的定義

上述對應的條件分別稱為:算術平均三角形;幾何平均三角形;平方平均三角形;調和平均三角形.當a+c=λb(λ>1)時,稱ΔABC為一般算術平均三角形.本文以一道檢測題為例,對算術平均三角形的解法和性質進行探究.

二、試題呈現

三、解法探究

圖1

圖2

評注:解法一主要利用正余弦定理和三角恒等變形,所用到的知識也是學生較為熟悉的知識,但三角恒等變形對很多學生來說是個痛點,通過解法一的求解實踐亦可以提升學生利用三角公式進行恒等變形能力.解法二主要利用到三角形內心的有關性質,解法三則利用解析法構造軌跡方程,這兩種解法的視角較為新穎,對拓寬學生視野,引領學生進行深度思考,培育學生的理性精神和創新意識具有重要意義.

四、一般算術平均三角形的性質與推廣

通過分析上述命題,我們還可獲得如下相關命題:在橢圓中,焦點三角形的頂點位于短軸的端點時,其頂角取到最大值[1],由此可得命題3和命題4.

再結合三角形中的正切定理對文章所討論的問題進行推廣.首先介紹三角形的正切定理:

在ΔABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則有

在教學中,可以根據命題1至命題6命制試題供學生學習、訓練.