從一題多解到多題一解
--由一道高考題引發的思考

江蘇省常州高級中學 (213003) 李泊明

為了更好地備考,筆者認為我們要研讀課程標準、高考評價體系,并以高考真題為重要載體研究高考,并把高考的要求落實到平時的復習中去,切實提高學生的核心素養.本文以新高考I卷第18題為例,提出筆者對解三角形一輪復習的一些思考.

點評:本題是一道典型的解三角形綜合題,涉及到的知識點很多,有誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、基本不等式等,深度考查了考生的分析問題、解決問題能力.其中第(2)問思路較為狹窄,需要考生突破思維定勢,果斷利用正弦定理化邊為角,再利用第(1)問中推出的C、B兩角之間的關系消元.

分析完高考真題,筆者在今年的高三一輪復習解三角形模塊中進行了如下的從一題多解到多題一解的問題鏈設計,供大家參考.

對于以上三種解法,解法1利用余弦定理化角為邊,得到關于b,c的等式,再利用基本不等式直接得出bc的最大值,簡潔明了;解法2利用正弦定理化邊為角,再利用三角恒等變換將目標化為單變量B的函數,進而求得結果.這對三角恒等變形要求較高,但解法2的好處是,當對△ABC的形狀再加一些限制時,我們很容易由B的精確范圍得到△ABC面積的更精細的范圍;解法3固定B、C兩點,得到A點的軌跡,再利用幾何直觀得到△ABC面積的最大值,可以說計算量最小,但因為用到幾何直觀,更適合客觀題.

為了更好地體會以上一題多解之間的優劣以及適用情形,在詳細分析完例1后,給出了下面的一系列變式題.

分析:由于是求S的取值范圍,最優的做法是利用正弦定理化邊為角,再消元得到單變量的函數.

分析:由于是求S的取值范圍,并且還有銳角三角形的限制.最優的做法還是利用正弦定理化邊為角,再消元得到單變量的函數.

分析:l=2+b+c,只要求b+c最大值,最優的解法是由余弦定理化角為邊,利用基本不等式求最值.

分析:由于是求l的取值范圍,并且還有銳角三角形的限制.最優的做法還是利用正弦定理化邊為角,再消元得到單變量的函數.

分析:若用余弦定理得到4=b2+c2-bc,再求b+2c的最大值需構造不等式,這有一定技巧,而如果用正弦定理化邊為角就沒有難度了.

點評:以上6個變式將已知三角形的一角及其對邊這一經典模型討論的非常充分了,通過分析,我們對于正弦定理、余弦定理的使用和選擇認識更加深刻了.但實際解題中,我們會碰到很多有別于以上經典模型的題目,我們又該如何選擇合適的方法呢?

于是筆者又設計了以下的兩個例題.

點評:思路一可行,但運算量明顯大,實際解題時應該回避,選擇思路二.

點評:思路一和思路二運算量差不多,但思路二目標更明確,刻畫銳角三角形更簡單,是解三角形中求取值范圍問題的通法.

結束語解三角形是高考的重要考點,解三角的題目又靈活多變.一個三角形,角有三個,邊有三條,每個角又有三個三角函數值,既有正弦定理,又有余弦定理,還有幾何直觀,面積還有很多表達形式,三角恒等變換的公式等．教師要精選例題,通過一題多解讓學生掌握解決問題的常見思想方法.并且通過辨析多種解法的優劣,引導學生根據具體問題的個性化結構,全方位、多角度地觀察和分析問題,讓學生抓住問題的關鍵,明確問題的核心.還要從一題多解過渡到多題一解,掌握不同問題的通性通法,追求一般的思維方式,挖掘方法背后的思想,發揮思想的統領作用, 最終使學生能夠從數學思想方法的視角出發,分析和解決問題,并使之成為學生思考和解決問題的一種自覺習慣.