“拾級而上”巧設問 “固本溯源”求本質*

浙江省紹興市越州中學 (312075) 張 穎 何建東

問題解決是數學教學的核心和靈魂,分析、解決問題的過程是數學教學中師生交流的重要載體．而如何有效地設計問題鏈以引起學生的思考,是保證課堂教學有效性的基礎和關鍵．新課程、新教材、新高考(“三新”)背景下,數學教師通過巧妙設計問題來引導學生思考,通過探求知識本質來促進學生思維,最終達到發展學生核心素養的目的．本文結合筆者在“數列通項”專題復習教學實踐,設計了“基礎型、發展型、拓展型”三種層次的問題鏈,在此基礎上對相關知識的內涵與外延進行更本質的梳理與概括．

1 “明晰內容”細解析

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對數列內容教學定位是:探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律,建立通項公式和前n項和公式;能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題,感受數學模型的現實意義與應用;了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系,感受數列與函數的共性與差異,體會數學的整體性;能在具體的問題情境中,發現數列的等差關系和等比關系,并解決相應的問題．

正因為數列問題的分析與解決可以考查學生的邏輯推理、數學運算、數據分析等多種核心素養,是新高考的重要內容.數列問題除了考查等差數列和等比數列兩種最特殊最基本數列的知識、概念與公式外,數列通項和數列求和是非常重要的兩大問題類型,它們也是更高難度要求的分類討論、數列放縮、數列與函數等其他內容結合的綜合性問題的重要橋梁紐帶．正因此,好的問題教學設計更能達到好的教學效果.

2 “拾級而上”巧設問

基于“三新”背景的高中數學教學更應側重科學有效的問題鏈設計,根據數列通項的內容解析,筆者認為可以設計如下三種問題鏈:

(1) 基礎型問題鏈,這類問題鏈側重于基礎知識檢查鞏固與基本方法嘗試掌握.

問題1已知數列{an}滿足a1=1,an+1=an+2,求an．(答案:an=2n-1)．

問題2已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an,求an． (答案:an=2n-1)．

問題5 已知數列{an}的前n項和Sn=2n2+3n+1,a1=6,求an．

(2)發展型問題鏈,這類問題鏈側重于基本能力適度提高與基本思想靈活運用.

問題7 已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+3,求數列{an}的通項公式．(答案:an=2n+1-3)．

問題9 已知數列{an}滿足a1= 1,an + 1= 10an2,求數列{an}的通項公式．

(答案:an=102n-1-1)．

(3)拓展型問題鏈,這類問題鏈側重于發展理科高階思維與拓展強化核心素養．

問題13 已知數列{an}滿足a1=a2=5,且an+1=an+6an-1,求數列{an}的通項公式．

問題14已知數列{an}滿足a1=1,a2=6,an+1=4an-4an-1,求數列{an}的通項公式．

(答案:an=n·2n-2n-1)．

3 “固本溯源”求本質

數列通項的求解由易及難,從知識、方法到能力、思想,再到思維、素養,可以進行探求,形成系列.

(1)定義法:形如an+1=an+m或an+1=man(n∈N+下同,m為常數),可根據定義判定為等差數列或等比數列,然后直接利用定義求得通項．

(2)累加法:形如an+1=an+f(n),可利用累加法消去等號兩側相同的項,得到通項．

(5)待定系數法:某些特別形式的遞推關系可以通過待定系數法,將數列關系轉化為整體的等差或等比數列,進行求解,常見題型有:

題型一an+1=pan+q(p,q均為常數且pq(1-p)≠0)．

題型二an+1=pan+rεn(p,q,r為常數,pqr≠0且p≠q)．

處理方法:等式左右兩邊同時取常用對數得lgan + 1= lg(panr) = lgp+rlgan,令bn=lgan,m=lgp,則bn+1=rbn+m(m,r為實數且mr(1-r)≠0)即變為形式一,再用待定系數法處理．

(7)特征根法:形如an+1=pan+qan-1(p,q為常數)的數列通項問題可以用特征根法進行求解,其特征根方程為x2=px+q,即x2-px-q=0．