雙抽象函數問題的特殊化求解策略探析

福建省福清第三中學 (350315) 周曉玲 何 燈

抽象函數問題在近幾年高考試題中頻繁出現(如2021年全國新高考Ⅱ卷第8題, 2022年全國乙卷理科第12題,2022年新高考Ⅰ卷第12題,2022年新高考全國卷Ⅱ第8題等),此類問題能夠很好的考查學生對函數中基本概念、基本性質的理解,考查學生綜合運用所學的知識解決問題的能力,在條件的轉化與策略的選擇過程中考查學生的思維創新能力,導向對發展數學抽象、邏輯推理等核心素養的關注.特別是雙抽象函數問題,由于問題條件的抽象性、函數關系的復雜性,求解方向的不確定性,導致學生普遍認為此類問題難以入手,往往選擇直接放棄.

《孫子兵法·兵勢篇》中孫子曰:“凡治眾如治寡,分數是也;斗眾如斗寡,形名是也”,即:治理龐大的軍隊如同治理少量的軍隊的方法,就是按一定編制將他們組織起來,讓龐大軍隊像小隊人馬一樣步調一致、聽從指揮的方法.“治眾如治寡”,這是孫子提出的一個方法論思想和一種管理學思想.將此法遷移到數學解題中,對于雙抽象函數問題,我們可以嘗試將兩個函數分而治之,針對其中一個函數,厘清其所具有的內蘊性質,在此基礎上,立意于特殊與一般思想,將其表達式特殊化和具體化,再通過兩個抽象函數的關系,得到另外一個抽象函數的表達式,從而突破問題求解難點,實現問題的輕松求解.

下面以兩道試題為例,闡述上述求解思想.

例1 (2023年2月福州市高三質檢第8題,單選)已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,f(x+1)是奇函數,且f(1-x)+g(x)=2,f(x)+g(x-3)=2,則( ).

A．f(x)為奇函數B．g(x)為奇函數

分析:本題中兩個抽象函數糾纏在一起,正面求解需要經過了多次的代換,且多個恒等式綜合在一起,導致求解思路不是那么明朗,如果學生沒有經過此類問題的大量訓練,勢必很難完成上述過程,就算學生經過了此類問題的專門訓練,也需要消耗大量的時間來摸索求解思路.注意到題設對于函數f(x)鋪設的條件較多,故先嘗試對f(x)進行研究.由f(x+1)是奇函數,可得f(x)圖象的對稱中心為(1,0).由f(1-x)+g(x)=2,f(x)+g(x-3)=2,消去g(x),得f(x+3)=f(1-x),則f(x)圖象的一條對稱軸為x=2.根據推導得到的f(x)的兩個性質,立意于特殊與一般思想,嘗試將f(x)特殊化為某個三角函數.

解析:由f(x+1)是奇函數,得y=f(x+1)圖象的對稱中心為(0,0),將y=f(x+1)圖象向右平移一個單位,得f(x)圖象的對稱中心為(1,0).由f(x)+g(x-3)=2得f(x+3)+g(x)=2,結合已知條件f(1-x)+g(x)=2,可得f(x+3)=f(1-x),得f(x)圖象的一條對稱軸為x=2.

A．-21 B．-22 C．-23 D. -24

分析:本題較例1而言,兩個等式右端數值不同,給加減消元后的等式的性質判定增加了難度,且增加了一個條件.本題題設對于函數g(x)鋪設的條件較多,故可嘗試先從g(x)入手,探明其所具有的性質.由f(x)+g(2-x)=5得f(x-4)+g(6-x)=5,將所得式子與g(x)-f(x-4)=7聯立,可得g(x)+g(6-x)=12,由此可得g(x)的圖象關于(3,6)對稱.又y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,且g(2)=4,根據這三個條件,立意于特殊與一般思想,嘗試將g(x)特殊化為某個三角函數.

解析:由f(x)+g(2-x)=5得f(x-4)+g(6-x)=5,由f(x-4)+g(6-x)=5及g(x)-f(x-4)=7,可得g(x)+g(6-x)=12,由此可得g(x)的圖象關于(3,6)對稱.

分而治之,上述解法將糾纏在一起的兩個抽象函數拆分開來,通過明晰其中某個函數所具有的性質,在特殊與一般思想的引領下,構造一個特殊函數,在此基礎上,實現問題的輕松求解.整個求解過程方向性明確,學生易于理解,彰顯了數學思想方法在解題過程中的引領作用.在日常解題過程中,老師們應引導學生嘗試換一個角度去思考問題,可能會有更深刻的認識,獲得不一樣的學習體驗.