一類恒成立問(wèn)題的多解探究與思考*

福建省福清融城中學(xué) (350300) 林世平

福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 (350300) 林新建

不等式恒成立問(wèn)題一直是高考熱點(diǎn)之一,因其考查的視角寬、靈活多變而成為重點(diǎn)考查內(nèi)容;這類問(wèn)題有一定的難度,對(duì)學(xué)生的能力要求較高,更是各地高三模擬卷中壓軸客觀題的常客之一.本文以2023年2月福州市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)第22題中第二題的第一問(wèn)為例,在充分挖掘圖像特征的基礎(chǔ)上,優(yōu)化解題途徑,通過(guò)一題多解的方式進(jìn)行探究與思考.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

例(2023年2月福州市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)第22題) 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a.

(1)若a=2時(shí),試判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

本題題干簡(jiǎn)練,又以我們熟悉的問(wèn)題方式呈現(xiàn),入口較寬,易于上手,且解法多樣.在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,突出考查數(shù)學(xué)理性思維以及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,著重考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 解法探析

(1)當(dāng)2-a≥0,即a≤2時(shí),得f′(x)≥0,故f(x)遞增,則f(x)min=f(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0恒成立.

(2)當(dāng)2-a<0,即a>2時(shí),得f′(x)<0,說(shuō)明f′(x)由負(fù)到正,則不妨令x=x0時(shí),f′(x0)=0,可知當(dāng)10,f(x)遞增;即f(x)在x=x0處取最小值,且f(x)min=f(x0)0恒成立相矛盾,故舍去.

綜上所述,a的取值范圍為a≤2.

上述兩種方法均是按照常規(guī)套路分析,在分類討論中又要虛設(shè)零點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,這無(wú)形增加了我們的思想負(fù)擔(dān);而分離參數(shù)后,要用到更為陌生的洛必達(dá)法則求解,顯然更不容易解決問(wèn)題.其實(shí)在求導(dǎo)之前,我們先從“直觀上”探析題設(shè)條件,就會(huì)有意外驚喜.

直觀之一:當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0恒成立;即函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的圖像位于x軸的上方(可以與x軸有交點(diǎn),又x=1時(shí),f(1)=0),只是此時(shí)函數(shù)f(x)的圖像不容易畫出來(lái).

直觀之二:進(jìn)一步感知f(x)>0,實(shí)際上就是(x+1)lnx>ax-a恒成立,而且它們的零點(diǎn)均是1,函數(shù)y=(x+1)lnx與y=a(x-1)的圖像在相切時(shí)取最值.

解法4:(切線放縮)由x>1時(shí),f(x)>0恒成立,實(shí)際上就是(x+1)lnx>ax-a恒成立,由解法3可知,左右兩函數(shù)剛好在(1,0)相切.易證得當(dāng)x≥1時(shí),(x-1)≥lnx,故當(dāng)a>0時(shí),(x+1)lnx>a(x-1)≥alnx.因?yàn)閤>1,lnx>0, 則(x+1)>a,求得a的取值范圍為0

評(píng)析:本題屬于一類不等式恒成立問(wèn)題,經(jīng)常以考查參數(shù)的取值形式出現(xiàn),主要考查學(xué)生的理性思維以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想,著重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3 感悟反思

由上述探究可以發(fā)現(xiàn),這類可轉(zhuǎn)化成ax+b≤f(x)(一般為凹函數(shù))或ax+b≥f(x)(常為凸函數(shù))的恒成立問(wèn)題,只要我們能夠根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想,直觀圖像的特征,挖掘其性質(zhì),就可優(yōu)化解決問(wèn)題的途徑.如,不等式ax+b≤f(x)恒成立(如圖1),即曲線恒在直線的上方;不等式ax+b≥f(x)恒成立(如圖2),就是直線恒在曲線的上方. 當(dāng)直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)在曲線包圍的區(qū)域中時(shí),是不可能存在實(shí)數(shù)a,b滿足恒成立要求的,如圖1、2中虛線所示.

圖1

圖2

直觀分析圖像特征,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題還可化為函數(shù)y=f(x)(具有凹凸性)和y=ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)大小比較,這樣就可以輕松解決問(wèn)題;顯然等號(hào)成立時(shí),是處于零點(diǎn)的相切狀態(tài).倘若曲線函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí),就可轉(zhuǎn)化為相切類型求解.

不等式恒成立的求參問(wèn)題往往讓學(xué)生望而生畏,尤其是較為復(fù)雜不等式,在化簡(jiǎn)過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)問(wèn)題,使得學(xué)生一碰到不等式問(wèn)題就沒(méi)有信心去解決問(wèn)題．因此教學(xué)中要多探究新的方法,簡(jiǎn)便的方法,重樹(shù)解決問(wèn)題的自信心.

4 應(yīng)用賞析

(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;

直觀之一:要使ex≥(a+1)x+b恒成立,必須(a+1)>0,要使(a+1)b最大,須b>0.

直觀之二:畫出圖象,如圖3,可直觀感知,函數(shù)y=ex與y=(a+1)x+b的圖像必須相切.從而明確了為何題設(shè)中給出的已知函數(shù)與所求問(wèn)題的關(guān)系,探求到問(wèn)題的本質(zhì),進(jìn)而快捷解決問(wèn)題.

圖3

5.結(jié)語(yǔ)

解決相對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題時(shí)應(yīng)先直觀分析函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為比較熟悉的函數(shù)間的關(guān)系,再畫出函數(shù)的圖像,將函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖像之間的相交或度量關(guān)系等問(wèn)題,以探清問(wèn)題的本質(zhì),從而輕松解決問(wèn)題.若問(wèn)題給出的函數(shù)無(wú)法離析出幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)間的關(guān)系,則再考慮用含參討論或分離參數(shù)的方法解決問(wèn)題.教師在課堂教學(xué)中一定要堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力并重的原則,加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),提升學(xué)生的思維靈活性,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).