問(wèn)題誘發(fā)思考 任務(wù)驅(qū)動(dòng)生成
--以“曲線與方程”教學(xué)為例

江蘇省海安市李堡中學(xué) (226631) 田淑蓓

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā),以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo),將要學(xué)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容分解成適合本班學(xué)情的教學(xué)任務(wù),讓學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下積極思考、探索、合作,并在探索與交流中獲得知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)及方法,提高課堂教學(xué)有效性.筆者在教學(xué)“曲線與方程”時(shí),以問(wèn)題為導(dǎo)向,以任務(wù)為驅(qū)動(dòng),讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)形成、發(fā)展、應(yīng)用等過(guò)程,取得了較好的教學(xué)效果.本文將教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)如下,供參考.

一、教學(xué)實(shí)錄

1、融入數(shù)學(xué)史,豐富內(nèi)涵

師:任何概念、公式、定理等內(nèi)容的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展都需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程,人們認(rèn)識(shí)曲線和方程亦是如此,現(xiàn)在我們跟隨著視頻來(lái)了解一下解析幾何的發(fā)展史.

教師播放視頻,視頻中介紹了古希臘數(shù)學(xué)家阿波利尼奧斯和法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬、笛卡爾的發(fā)現(xiàn):阿波利尼奧斯從純幾何的觀點(diǎn)研究圓錐曲線的性質(zhì);費(fèi)馬和笛卡爾雖然其研究的出發(fā)點(diǎn)不同,不過(guò)他們通過(guò)建立坐標(biāo)系將方程與曲線聯(lián)系在一起,創(chuàng)立了解析幾何.

設(shè)計(jì)意圖:將數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生知曉數(shù)學(xué)知識(shí)形成是一個(gè)漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程,有利于學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀.另外,通過(guò)數(shù)學(xué)史讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家研究曲線的方法,有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué).同時(shí)有效地融入數(shù)學(xué)史,讓數(shù)學(xué)課堂散發(fā)著濃濃的文化味,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情,提高課堂教學(xué)品質(zhì)[1].

2、合作交流,生成概念

探究活動(dòng)1:在平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出方程2x2-y=0(x≠0)的對(duì)應(yīng)曲線.

問(wèn)題給出后,教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手作圖.

師:說(shuō)一說(shuō),你是用什么方法畫(huà)曲線的?

生齊聲答:描點(diǎn)法.

師:那么曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)從何而來(lái)?

生1:解方程得來(lái)的.

師:剛剛在畫(huà)圖時(shí)我們挖掉了原點(diǎn),說(shuō)來(lái)說(shuō)一說(shuō),為什么要這么操作呢?

生2:因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)限定條件“x≠0”,由此可以判定該曲線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以在畫(huà)圖時(shí)應(yīng)該挖掉原點(diǎn).

師:非常好,想得很周全.若不挖掉原點(diǎn),你認(rèn)為是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)多,還是曲線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)多呢?

生3:我認(rèn)為是曲線上的點(diǎn)多,多了一個(gè)原點(diǎn).

師:剛剛用描點(diǎn)法得到了曲線的大致圖形,是否可以說(shuō)方程上所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上呢?

生4:應(yīng)該成立,以前作圖也是這樣做的.

接下來(lái)教師用幾何畫(huà)板演示,驗(yàn)證以上說(shuō)法是正確的.

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手畫(huà)體會(huì)方程與曲線間的內(nèi)在聯(lián)系,經(jīng)歷由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為學(xué)生理解方程的曲線提供了依據(jù).

探究活動(dòng)2:如圖1,請(qǐng)寫(xiě)出該曲線的對(duì)應(yīng)方程.

圖1

問(wèn)題給出后,很快學(xué)生就給出了答案:x-y+2=0(x≠-1).

師:誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō),你是如何求曲線的方程的呢?

生1:由圖1可知,直線過(guò)(-2,0)和(0,2)兩點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)式得直線方程為x-y+2=0(x≠-1).

師:很好,是不是直線上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都在曲線方程x-y+2=0(x≠-1)上呢?

生5:應(yīng)該是吧.

接下來(lái),教師繼續(xù)用幾何畫(huà)板進(jìn)行演示,讓學(xué)生更加直觀地感知點(diǎn)的坐標(biāo)始終滿足所求方程.

師:如果所求直線方程沒(méi)有x≠-1這一限制條件,你認(rèn)為是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)多,還是曲線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)多呢?

生齊聲答:應(yīng)該是方程的解多.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生更加直觀地體會(huì)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與所求方程的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系,為學(xué)生理解曲線的方程提供依據(jù).

探究活動(dòng)3:請(qǐng)按照要求畫(huà)如下曲線:①曲線C:到點(diǎn)O(0,0)距離為1的圓,且在y軸右側(cè)部分的曲線;②方程f(x,y)=0:x2+y2=1(y>0)表示的曲線.

師:結(jié)合圖形想一想,曲線C上的點(diǎn)的集合與方程f(x,y)=0的解是否存在包含關(guān)系?

生齊聲答:不存在.

師:很好,這就說(shuō)明曲線與方程不能建立某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)思考辨析讓學(xué)生不僅理解概念的內(nèi)涵,而且掌握概念的外延,為后期概念的靈活應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

師:結(jié)合以上3個(gè)探究請(qǐng)大家想一想,若使方程和曲線可以相互表示,需要滿足什么條件呢?(生積極交流)

生6:以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的數(shù)量一樣多.

師:非常好,通過(guò)經(jīng)歷由數(shù)到形和由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化,我們知道以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,若想它們同時(shí)成立,就要確保其在數(shù)量上是一致的.

在此基礎(chǔ)上,教師給出方程與曲線的定義也就水到渠成了.

設(shè)計(jì)意圖:以豐富的實(shí)例為依托,讓學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比、抽象等過(guò)程揭示概念的本質(zhì)屬性,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括素養(yǎng)[2].

3、任務(wù)驅(qū)動(dòng),深化理解

探究活動(dòng)4:如圖2,以下方程與曲線是否一致,如果不一致,是否可以通過(guò)修改其中一個(gè)使方程變成曲線的方程,而曲線變成方程的曲線呢?

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)具體練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生思考、辨析,以此深化概念理解.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)修改方程或曲線來(lái)自動(dòng)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程與曲線概念的再認(rèn)識(shí)與升華.

師:在判斷曲線與方程不對(duì)應(yīng)時(shí),有時(shí)只要舉一個(gè)反例即可,而在判斷兩者對(duì)應(yīng)時(shí)需要嚴(yán)格證明.對(duì)于題(4),若要說(shuō)明方程與曲線的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,你認(rèn)為該如何證明呢?

生7:應(yīng)從兩方面證明,既要證明曲線上的點(diǎn)是方程的解,還要證明方程的解是曲線上的點(diǎn).

對(duì)于題4的證明,學(xué)生不知如何入手,教師進(jìn)一步引導(dǎo),將問(wèn)題具體化,給出如下問(wèn)題:證明:以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓的方程是x2+y2=1.

問(wèn)題給出后,教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考與交流,然后點(diǎn)明讓學(xué)生簡(jiǎn)述他的證明過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)以上環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì),讓學(xué)生通過(guò)親歷命題的證明過(guò)程進(jìn)一步理解方程與曲線的概念.同時(shí),通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透,有利于激發(fā)學(xué)生的探究熱情,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.另外,通過(guò)以上探究讓學(xué)生明白,數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,若想證明一個(gè)結(jié)論是否正確需要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明,以此培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4、課堂小結(jié),升華認(rèn)知

師:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你收獲了哪些知識(shí)和方法呢?

該環(huán)節(jié)教師以生生交流為主,在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行點(diǎn)撥與評(píng)價(jià),然后結(jié)合學(xué)生交流結(jié)果,給出圖3.

圖3

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí),形成方法,積累經(jīng)驗(yàn),以此達(dá)到深化理解,升華認(rèn)知的效果.

二、教學(xué)思考

在新課程的推動(dòng)下,高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越來(lái)越關(guān)注于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.教學(xué)中,教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)文化的滲透,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人功能,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)研究熱情.

本課教學(xué)中,教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際有目的、有針對(duì)性地設(shè)計(jì)探究性的問(wèn)題情境,讓學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷由數(shù)到形、由形到數(shù)、數(shù)形互化等過(guò)程更好地理解概念,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)[3].同時(shí),在此過(guò)程中,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考辨析,以此揭示概念的本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要不斷更新教學(xué)觀念,與時(shí)俱進(jìn),充分發(fā)揮教師啟發(fā)者和組織者的作用,從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),設(shè)計(jì)符合教學(xué)實(shí)際的問(wèn)題情境,啟發(fā)學(xué)生思考,暴露學(xué)生的思維過(guò)程,以此通過(guò)有效的點(diǎn)撥幫助學(xué)生突破教學(xué)重難點(diǎn),提高課堂教學(xué)效率.