面向沖突化解的雙線交匯區(qū)段列車編隊雙層優(yōu)化模型

寧 正， 張 雷， 何積豐

（1.同濟大學 上海市軌道交通結構耐久與系統(tǒng)安全重點實驗室，上海 201804；2.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

通過傳統(tǒng)措施優(yōu)化既有線路或更新改造基礎設施，都難以直接解決軌道交通需求超限與不均衡問題［1］。現(xiàn)有研究表明，虛擬編組技術具有突破線路的設計通過能力限制的潛力［2-3］。為了評估虛擬編組技術的適用性，Aoun等［4］的研究結果表明，虛擬編組技術的市場競爭力與線路的飽和度呈現(xiàn)正相關關系。Nold等［5］將虛擬編組聯(lián)掛與傳統(tǒng)的機械聯(lián)掛方式進行了對比，在巡航速度下虛擬編組技術具有動態(tài)耦合的突出優(yōu)勢，可以減少34%的旅行時間。Di Meo 等［6］也提出了相似觀點。Schumann［7］和Yong等［8］對虛擬編組技術在不同場景下的應用進行了仿真實驗。結果表明，虛擬編組技術可以根據(jù)不同環(huán)境提高車隊的運行密度，尤其在雙線交匯的瓶頸區(qū)段［9］。虛擬編組技術首先要解決編組車隊的穩(wěn)定控制問題，因此多數(shù)學者聚焦于可變參數(shù)和最優(yōu)控制策略設計，保證車隊的安全運行［10-11］。Ketphat 等［12］考慮實際列車運行中的干擾因素，對影響編隊效率的動態(tài)間隔進行了修正。Schwerdfeger 等［13］基于閉塞間隔和運行時刻表，通過調整虛擬編組列車的編隊運行過程和列車最晚接受的到達時間，優(yōu)化了軌道的最大容量。Liu 等［14］通過優(yōu)化固定數(shù)目列車編隊耦合與解耦次數(shù)來滿足車站的需求，提高既有線路的通過能力。曹源等［15］采用虛擬編組技術建立了基于客流的列車動態(tài)編組非線性規(guī)劃調度模型，降低了病毒在軌道交通上的傳播風險。

進入編組狀態(tài)時，一般要求只有領航列車接收控制中心的信息，而跟隨列車根據(jù)領航列車指令運行［16］。因此，編組過程需要提前獲取列車屬性（領航列車還是跟隨列車）、列車編組位置（列車所屬車隊以及列車在所屬車隊中的位置）等編隊計劃信息。編隊計劃是協(xié)同列車關系與線路資源占用的決策化問題，尤其面對合并交匯等復雜的線路結構，需要考慮外在環(huán)境和內部系統(tǒng)制約因素的相互影響。合理的列車編隊結構才有機會發(fā)揮虛擬編組技術的巨大優(yōu)勢。雖然目前軌道交通領域相關研究工作主要聚焦于編組的安全控制過程，但是相似問題在貨運汽車領域已經(jīng)得到充分研究［17］。因此，提出了一種列車編隊結構決策方法，考慮軌道交通系統(tǒng)的周期性運行、多限制、計劃性等特點，通過計算編隊列車匯合時間、設計編隊結構，提高既有線路的通過能力。針對雙線交匯區(qū)段協(xié)調運行過程中可能存在的沖突，建立雙層優(yōu)化模型。上層模型優(yōu)化列車群的通過效率，從而化解潛在沖突；下層模型優(yōu)化列車編隊過程，從而提高編隊質量。

1 列車編隊過程

雙線交匯區(qū)段是指來自不同分支線路方向的列車經(jīng)過道岔控制通過路徑時，共用的部分軌道區(qū)段。既有系統(tǒng)主要采取降低分支線路服務頻率以保證交匯區(qū)段安全間隔的措施，避免線路沖突［18］。例如，當匯合線路的設計通過能力最小時間間隔為2.5 min 時，兩分支線路等比例發(fā)車，每個分支方向必須保證5.0 min 的運行周期。如圖1a 所示，既有系統(tǒng)以絕對制動距離計算移動權限，需要與前車保持較大行車間隔，即使交匯線路保持最緊湊的運營方案，分支線路也要保證較大的運行周期，從而產生運能瓶頸。虛擬編組技術通過支持編組內部的相對制動距離，如圖1b所示，減少必要的行車間隔，為解決雙線交匯區(qū)段的瓶頸問題提供了新的解決方案。

虛擬編組需要一系列協(xié)調過程，以實現(xiàn)列車在非編組獨立運行、組編協(xié)調、編組運行、解編運行等多狀態(tài)之間的轉換，其中組編過程是影響虛擬編組效率的關鍵［16］。當接收到組編指令時，列車協(xié)調相對速度以進入相對制動的防護距離內，直到車隊中的所有列車滿足組編條件，轉入組編運行狀態(tài)。因此，需要根據(jù)軌道交通系統(tǒng)的特點和約束，確定列車組成不同車隊的效率。考慮到軌道交通經(jīng)常采用周期性運行圖并通過設置冗余時間提高服務質量和運營效率，本研究允許所有列車在一定范圍內調整進入交匯區(qū)段的時間，以增加列車對虛擬編組的適應性。如圖2所示，T1，0和T2，0分別表示分支線路上的運行周期（服務間隔），列車可以在發(fā)車時間窗內選擇合適的匯入時間；α表示不同支線路的首車發(fā)車時間偏移，α的變化會影響不同分支線路列車的匯入次序。例如，當分支線路列車數(shù)目分別為m、n時，會產生(m+n)！/(m！+n！)種次序。合理的匯入時間和次序以及編隊組合，可以避免在匯入過程中產生的安全沖突并提高通過效率。

圖2 周期性服務的雙線交匯列車潛在車隊形成過程Fig.2 Potential marshaling formation of periodic service trains operating at junctions

2 問題假設與數(shù)學描述

為簡化問題，闡述本研究中提出的基本觀點，作出如下假設：

（1）基于同質化列車，假設列車在恒定的牽引和制動加速度下行駛。

（2）考慮既有系統(tǒng)站臺長度的影響，只聚焦于2輛列車編隊的場景，其中車隊中的第1 輛列車為領航列車，第2輛列車為跟隨列車。

（3）為了提高虛擬編組適應性，基于緩沖時間設置時間窗，但時間窗不宜設置過大，以免改變列車在支線的運行次序。在共線交匯區(qū)段列車以先進先出的順序通過。

（4）由于列車可以通過增加速度差在較短時間內退出編組，因此只聚焦于產生運能瓶頸的匯入過程，匯入時間為列車進入共線區(qū)段的時間。

問題相關變量及參數(shù)如下：

（1）集合。R表示線路方向集合，雙線交匯區(qū)段是指由道岔連接的2個不同方向支線路的列車駛入的同一共線路段，R={r|r=1，2}，設定索引r標識線路方向。Ir表示來自不同方向匯入交匯共線區(qū)段的列車集合，Ir={ir|ir=1，2，…，|Ir|}，ir表示從方向r進入雙線交匯區(qū)段的列車i，ir+1表示ir后匯入共線區(qū)段的接續(xù)列車。τ表示時間窗集合，τ={τir|ir∈Ir}，τir是列車ir所屬的時間窗。

（2）參數(shù)。Svc為安全耦合間隔，vcru為線路設計巡航速度，vlim，min為道岔區(qū)段限制速度的最小值，vlim，max為道岔區(qū)段限制速度的最大值，atra為列車的常用牽引加速度，Ltrain為列車長度，Llength為交匯區(qū)段長度，m為列車質量，Hvc為列車編隊內部間隔，H0為交匯區(qū)段的涉及通過間隔（編隊外部的行車間隔），twork為道岔工作時間。

（3）中間變量。tir，coor表示列車ir的組編協(xié)調時間，Tir，ir+1表示列車ir與列車(ir+1)進入交匯區(qū)段的時間間隔，tir，coorl表示當列車ir為領航列車時所需要的協(xié)調時間，tir，pass表示列車ir通過交匯區(qū)段的時間，tir，wcru表示列車ir以非組編方式通過交匯區(qū)段的時間，tir，wde表示列車ir需要與后車成編組通過交匯區(qū)段的時間，Lir，vc表示列車ir需要的協(xié)調距離，Lir，vcl表示列車ir為領航車時的組編協(xié)調距離，Lir，vcf表示列車ir為跟隨列車時的組編協(xié)調距離，Lir，cru表示列車ir不需要組編時的協(xié)調距離，Lcoor表示列車群的協(xié)調距離之和表示列車ir通過交匯區(qū)段的平均速度，θir表示列車ir的編隊屬性權重。

（4）決策變量。tir表示列車ir的匯入時間，進一步可以根據(jù)匯入時間確定列車次序；vir，vc表示列車ir通過道岔區(qū)段的實際速度；cir表示列車ir所在編隊的位置屬性權重。

組編過程中列車要完成從獨立運行到編隊運行的狀態(tài)轉移。協(xié)調策略是一種速度軌跡規(guī)劃方法，使獨立列車能根據(jù)接收的編隊信息，減小與組隊列車間的速度差并縮短行車間隔，以達到耦合條件。Liu等［19］提出了后車爬升到更高速度，然后再降速減小速度差的追趕策略以縮短行車間隔。直接應用該策略會產生較大的速度波動。此外，實際中列車一般以接近最大軌道速度的巡航速度作為理想組編速度，難以通過后車加速的方式縮短間隔。

考慮到雙線交匯道岔區(qū)段存在限速，借用自然降速過程完成組編過程。因此，提出了一種前車等待的多速度協(xié)調策略，在保證可行性的同時提高線路利用率。如圖3 所示，編隊中的最后一輛車出清道岔區(qū)段進入交匯區(qū)段后，以最優(yōu)速度曲線加速至巡航速度vcru，從而提高整個車隊的通過效率；車隊中的前行列車在道岔區(qū)段限制速度范圍[vlim，min，vlim，max]內選擇合適的速度vir，vc，延時加速一段時間后，再依次選擇合適的時間加速，直到車隊中最后加速的領航列車加速至理想耦合速度，車隊達到組編運行條件。每列車協(xié)調時間tir，coor是根據(jù)編隊組成以及隊內每輛列車的匯入時間tir確定的。所提出的協(xié)調策略可以使列車速度接近巡航速度，此時列車之間的距離接近耦合距離，即列車可以在tir+tir，coor時刻達到耦合狀態(tài)。設列車ir是領航列車，列車(ir+1)是車隊中最后一輛跟隨列車，協(xié)調距離計算式如下所示：

圖3 交匯區(qū)段的車隊組編協(xié)調策略Fig.3 Coordination strategy of train marshaling formation at junctions

將式（2）和式（3）代入式（1），可得以下協(xié)調時間和協(xié)調距離計算式：

根據(jù)列車編隊過程和協(xié)調策略，匯入時間和編隊組合除了互相影響，還影響車隊通過雙線交匯區(qū)段的通過效率。根據(jù)列車編隊屬性（是否需要編隊）和在編隊中的位置不同（是否為領航列車），列車所需協(xié)調過程和通過時間的計算模型不同。因此，定義二值函數(shù)cir表示列車位置權重。當列車ir為跟隨列車時，cir=1；當列車ir為領航列車時，cir=0。當cir=0 時，定義二值函數(shù)θir為列車ir的編隊屬性權重，令θir=cir+cir+1。如表1所示，若θir=1，則表明cir+1=1，也就是說列車（ir+1）是跟隨列車，此時列車ir是車隊中的領航列車，需要采用領航列車的編隊協(xié)調計算方法；若θir=0，則表明cir+1=0，此時列車ir是單元素領航列車，即以不編組的方式通過交匯區(qū)段。

表1 列車編隊屬性和編隊位置的二值函數(shù)表示Tab.1 Binarization function used to characterize the attributes and positions of train in the train marshaling process

3 列車編隊雙層優(yōu)化模型

列車編隊過程需要同時滿足運輸需求和運行控制系統(tǒng)的限制，優(yōu)化目標涉及2個互相制約的主體。因此，提出了列車編隊雙層優(yōu)化模型。上層模型優(yōu)化列車匯入時間和編隊屬性及位置，提高系統(tǒng)效率；下層模型通過優(yōu)化列車的編隊屬性、編隊位置和編隊速度提高編隊的質量，匯入時間是中間變量。

3.1 下層優(yōu)化模型

列車通過編隊協(xié)調獲得與相鄰列車合作組隊的機會，但受編隊條件限制，組隊過程中部分車輛需要額外行程時間付出，編隊優(yōu)化的目的是列車更合理地組成車隊，避免過長編隊協(xié)調距離而造成的資源浪費，或導致安全沖突。下層模型從協(xié)調過程、編隊穩(wěn)定性和編隊均衡性3 個方面定義編隊指標，目標函數(shù)如下所示：

式中：Rv、B分別為列車群的相對動能、編隊均衡性子目標；αdown、βdown、γdown分別為3 個目標歸一化的權重系數(shù)。

列車在編隊中的位置和編隊屬性不同，其協(xié)調距離不同，協(xié)調距離越長意味著需要組編的兩列車與理想耦合條件的偏差越大。根據(jù)編隊屬性權重定義列車群的編隊協(xié)調距離，計算式如下所示：

列車在組編過程中需要進行速度協(xié)調以滿足耦合條件，多速度的協(xié)調過程提高了列車組編潛力，但是相鄰列車間的速度分布不均衡性增加了列車追蹤控制的復雜度，將會降低列車編隊過程的穩(wěn)定性。因此，引入相對動能（TRKE）［19］概念，一方面可以評價列車編隊的風險程度，另一方面可以進一步映射速度波動性。編隊總體相對動能為

本研究主要聚焦于編隊協(xié)調過程，列車組編過程速度變化主要是由為列車通過道岔區(qū)段選擇的耦合速度不同而產生的，所以將相對動能中的瞬時速度替換為協(xié)調過程中的列車平均運行速度，即：

線路采用單一編組時，多采用行車間隔的標準差作為均衡性評價指標［20］，提高運營服務質量；采用虛擬編組在交匯區(qū)段形成多編組車列時，為保證服務水平和車輛運用效率，需要提高大小編組均衡性［21］。如圖4 所示，即使通過能力（平均行車間隔）和大小編組數(shù)目一樣，不同編組分布方式也會呈現(xiàn)不同的服務水平。

圖4 編隊均衡性優(yōu)化示意圖Fig.4 Schematic diagram of formation equilibrium optimization

定義編隊不均衡度指標為基礎時段內的平均輸送能力標準差，計算式如下所示：

式中：|b|是單位時段內劃分的基礎時段數(shù)目；Pj=表示基礎時段內的平均輸送能力，是基礎時段通過能力（平均行車間隔的倒數(shù)）與列車平均編組數(shù)ζˉ和車輛定員Ptrain的乘積。標準差越小，編隊越均衡。

下層優(yōu)化列車協(xié)調過程中必須滿足以下約束：

3.2 上層優(yōu)化模型

上層模型目標是列車組成車隊以提高通過交匯區(qū)段的效率，目標函數(shù)為：

上層目標要滿足下層目標約束；式（21）限制了每列車只能在規(guī)定發(fā)車時間窗內出發(fā)；式（22）表示相鄰列車必須滿足運行間隔要求，當相鄰列車為同一個車隊時要滿足編組Hvc，不在同一個編隊時，編隊之間常態(tài)間隔H0；式（23）和式（24）表示相鄰列車來自不同方向時，發(fā)車時間必須大于道岔工作時間；式（25）表示一般線路不考慮越行，列車在交匯區(qū)段必須保證先進先出的原則，因此當列車進入交匯區(qū)段之后，必須依次通過交匯區(qū)段；式（26）表示列車以組編方式通過交匯區(qū)段的時間必須小于不組編方式所需的時間。

4 求解算法

雙層規(guī)劃問題屬于雙層遞階結構的系統(tǒng)優(yōu)化問題，具有非凸和不可微性，是典型的NP-hard 問題。列車編隊優(yōu)化模型中不但上下層目標和決策變量相互影響，而且決策變量（匯入時間和列車編隊屬性）與位置相互限制，所以基于粒子群算法設計雙層嵌套啟發(fā)式方法進行求解，如圖5所示。

圖5 基于雙層嵌套粒子群算法的列車編隊模型求解流程Fig.5 Flow chart of train marshaling modeling based on bi-level nested particle swarm algorithm

步驟1輸入迭代次數(shù)、種群大小、更新速度等參數(shù)，線路信息、列車參數(shù)、發(fā)車時間窗和服務周期等系統(tǒng)信息參數(shù)以及相應的約束條件。

步驟2上層粒子群生成的初始種群表示匯入時間，作為上層粒子和傳遞粒子，傳入下層粒子群算法。

步驟3下層粒子群步驟中根據(jù)上層傳入的匯入時間，構建列車時間間隔矩陣，并生成下層粒子群初始種群，表示列車編隊屬性、編隊位置和編隊速度。

步驟4對下層模型進行編隊適應度計算，優(yōu)化列車編隊協(xié)調距離、編隊安全性和大小編隊均衡性。

步驟5返回列車編隊屬性和下層適應度函數(shù)值，計算上層模型車隊通過適應度，并檢驗上層模型約束。

步驟6對上層粒子的速度和位置利用交叉變異進行更新處理，形成新的粒子，再傳入下層模型。

步驟7直到迭代至上下層設置的最大迭代次數(shù)，否則迭代次數(shù)加1，并轉到步驟3。

5 仿真算例分析

5.1 仿真基礎數(shù)據(jù)

應用仿真案例說明所提方法的有效性。選取上海地鐵某線路的雙線交匯區(qū)段進行模型驗證，算法所需相關參數(shù)如表2所示。

表2 仿真數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation data

5.2 結果分析

5.2.1 算法收斂性與迭代結果

為討論雙層嵌套粒子群算法的收斂性，設置首車匯入時間偏離α=0 s，各支線路以1∶1 的方式發(fā)車，T1，0=T2，0=120 s。上層種群數(shù)目為30，最大迭代次數(shù)為300；下層種群數(shù)目為30，最大迭代次數(shù)為300。粒子群算法的收斂過程如圖6所示，算法可以在較小迭代次數(shù)內收斂。

圖6 雙層嵌套粒子群算法的計算結果與迭代過程Fig.6 Calculation results and iterative process of bi-level nested particle swarm algorithm

5.2.2 列車編隊優(yōu)化結果和效益

根據(jù)基礎仿真數(shù)據(jù)，各支線路以1∶1 的方式發(fā)車，隨著首車發(fā)車時間偏移和運行周期增加，編隊結構優(yōu)化的列車群在交匯區(qū)段通過時間較既有模式提升，如圖7a所示。仿真結果表明，在較小的運行周期和首車時間偏移范圍內，列車組成編隊可以有效提高交匯區(qū)段的通過能力。受發(fā)車時間窗的限制，當支線路列車周期小于120 s 時，列車難以組成車隊，而當列車在支線路的基礎周期大于170 s時，組編運行的收益就不再明顯。時間偏移α=0 s和運行周期T1，0=T2，0=120 s時列車編隊結果如圖7b所示。當交匯區(qū)段通過能力確定時，若不組編則分支線路至少要保證2 倍的交匯區(qū)段服務間隔，相比之下組編方式可以使列車在分支線路以120～179 s 的服務周期內發(fā)車，并在交匯區(qū)段獲得不同程度的通過效率提升。

圖7 列車編隊效益和編隊結果Fig.7 Train marshaling efficiency and results

5.2.3 組編協(xié)調速度與編隊優(yōu)化分析

根據(jù)列車編隊模型，協(xié)調速度與編隊效率呈現(xiàn)非線性關系。為討論協(xié)調速度對列車編隊效率的影響，當α=0 s 和運行周期T1，0=T2，0=130 s 時，對可選范圍內固定組編協(xié)調速度所計算的編隊模型進行仿真。編隊結果如圖8 所示，與雙層編隊模型計算的可變協(xié)調速度下的列車通過時間進行了對比。仿真結果表明，可變協(xié)調速度下的組編運行在多場景下具有更優(yōu)效率，但不是固定協(xié)調速度越大編隊效果越好，在固定協(xié)調速度為12 m·s-1時接近可變協(xié)調速度優(yōu)化效果。

圖8 固定協(xié)調速度與變速度列車編隊通過時間差Fig.8 Difference of traveling time between trains with fixed and variable coordination speeds

5.2.4 編隊質量與編隊效果分析

通過雙層優(yōu)化模型的嵌套交互過程，可以在優(yōu)化通過效率的同時提高編隊質量。與只優(yōu)化上層通過效率時的結果進行對比，結果如圖9所示。隨著運行周期和首車時間偏移的增加，考慮編隊質量的雙層優(yōu)化模型有更優(yōu)的通過效率。上層優(yōu)化模型較雙層優(yōu)化模型效果最好的情況是：α=80 s，運行周期T1，0=T2，0=120 s，此時2種編隊方法的編隊屬性和編隊指標結果如表3所示。其中，編隊屬性表示列車所屬車隊、在車隊中的位置。雖然雙層優(yōu)化模型延長了部分列車通過時間，但是具有更優(yōu)的編隊穩(wěn)定性和均衡性。

表3 雙層編隊與單層編隊模型結果對比Tab.3 Comparison of results between upper optimization model and bi-level optimization model

圖9 上層優(yōu)化模型比雙層優(yōu)化模型通過時間的減少Fig.9 Traveling time reduction of upper optimization model compared with bi-level optimization model

6 結語

針對虛擬編組列車在雙線交匯區(qū)段上的沖突化解與通過效率問題，提出了多種速度組編協(xié)調策略，并建立了考慮運輸需求和系統(tǒng)限制的列車編隊雙層優(yōu)化模型，同時優(yōu)化列車編隊效率和編隊質量。結果表明：所提的雙層嵌套粒子群算法可以在較小迭代次數(shù)內得到穩(wěn)定解，在較小的運行周期和首車時間偏移范圍內列車組成編隊，較既有模式有效提高交匯區(qū)段的通過能力；協(xié)調速度與編隊效率呈現(xiàn)非線性關系，可變協(xié)調速度的組編運行在多場景下具有更優(yōu)效率；相比僅優(yōu)化通過效率的編隊模型，考慮編隊質量的雙層優(yōu)化模型雖然在部分場景下延長了列車通過時間，但是可以提高虛擬編組編隊穩(wěn)定性和均衡性。

作者貢獻聲明：

寧 正：模型算法提出，最終版本修訂。

張 雷：研究問題提出，框架設計。

何積豐：學術指導。