動圓恒過兩類定點問題的探究

顏士橋

(江蘇省淮安市新馬高級中學,江蘇 淮安 211700)

圓錐曲線中的定點問題是高考的一個難點,其中動圓過定點問題是典型代表. 筆者經過問題的梳理與探究,發現圓錐曲線中的動圓恒過定點問題可以歸納為兩大類,下文對問題展開探究.

1 過定點O1(-b,0),O2(b,0)

圖1 命題1圖

故以線段MN為直徑的圓恒過兩定點O1(-b,0),O2(b,0).

圖2 命題2圖

圖3 命題3圖

圖4 命題4圖

圖5 命題5圖

證明設A(x0,y0),B(-x0,y0),C(x1,y1),則直線AC,BC的方程分別為

令x=0分別解得

所以，節日前夜的李打油有些恍惚，甚至，有點像交代后事。先是鼓勵我父親好好養傷，接著奉勸我快快解決個人問題，問我扎根村小是否心堅。我朝他瞥瞥康復中的父親。他說那就好，我來當花博士吧。他介紹的是錦江中心小學的校長，李打油說他統計過，每次鎮教育辦開會我至少偷窺人家三十次以上。其實不止。我因為她而熱愛開會。我倆后來在李打油的撮合下終于走進婚姻殿堂。這是后話，不說了。說說六一那天。

又A(x0,y0),C(x1,y1)在雙曲線上,有

故圓與x軸交于兩定點O1(-b,0),O2(b,0).

2 其中一個定點是焦點F

圖6 命題6圖

證明設B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為x=ky+c,代入雙曲線方程并化簡得(k2b2-a2)y2+2kcb2y+b4=0.

由韋達定理得

①

x1x2=(ky1+c)(ky2+c)=k2y1y2+kc(y1+y2)+c2

②

x1+x2=(ky1+c)+(ky2+c)=k(y1+y2)+2c

③

則以線段MN為直徑的圓的方程為

令y=0得

①②③代入,化簡得

圖7 命題7圖

則以線段PQ為直徑的圓的方程為

令y=0得

想學好高中數學并非易事,需要我們有動手運算、動腦思考的意識和敢于探究、不怕困難的精神.“圓錐曲線”是高中數學的一個難點,其中的定點問題和定值問題更是讓很多高中生頭疼.其實教師在教學中,可適當地利用網絡畫板、幾何畫板和GGB等軟件給學生展示動圓的運動過程,這樣就可以形象地看出,當圓在運動時,它恒過x軸上的兩個定點.這樣做可激發學生的學習興趣,讓學生覺得數學不僅不是那么的無趣,而且還挺好玩,這同時也為問題的證明提供了方向和可行性的思路.