一道高考解析幾何題的多解與課本溯源

楊小瑛

(江蘇省江安高級中學,江蘇 南通 226500)

解析幾何試題是高考的一個難點,它因運算量和思維強度大,令很多考生望而生畏.筆者對高考中的解析幾何試題進行探究,獲得一些心得.下文以2019年全國Ⅱ卷理科解析幾何試題為例,從各種角度給出試題的解析,并對試題進行課本溯源,希望對讀者有所啟示.

1 真題呈現

2019年高考數學全國Ⅱ卷理科解析幾何試題如下:

圖1 真題圖

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形;

(ⅱ)求△PQG面積的最大值[1].

2 一題多解

(2)(ⅰ)如圖1所示,問題等價于證明PQ⊥PG,下文從三個視角來證明.

視角1 常規思路,求出P,Q,G的坐標.

解法1設PQ的斜率為k,則PQ:y=kx(k>0).

故PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形[2].

點評該解法雖然有點復雜,但卻是最基本的方法,而且為(ⅱ)求△PQG的面積作了鋪墊.

視角2橢圓的第三定義.

解法2先證明引理1

點評該解法正是揭示了問題的背景:橢圓的第三定義.

視角3變換的視角,讓橢圓“圓”形畢露.

解法3設P(x1,y1),G(x0,y0),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),所以kPQ=2kGQ.

?2kGQ·kGP=-1

?kPQ·kGP=-1.

所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.

點評通過伸縮變換,把橢圓變為圓,根據圓周角定理和射影不變量來推導,恰恰揭示了問題的本質.

由引理2得,

3 課本溯源

第(1)問的背景是橢圓的第三定義,即引理1:

然而,這個結論(第三定義)卻是出自課本:2019年人教A版《數學選擇性必修第一冊》108頁例3.

4 教學思考

4.1 回歸課本

高考題雖千變萬化,但萬變不離其宗.課本是高考試題命制的依據,課本就是根本.我們不僅要熟悉課本的知識體系,更要熟悉課本的例題和習題,而且要對課本的例題和習題進行進一步的探究和推廣,打通課本與高考的通道.

4.2 研究高考真題.

通過研究往年的高考真題,不僅可以熟悉高考所考查的題型、考點和解題的思想方法,而且可以探究高考試題的特點,感知高考命題的趨勢與動向.高考試題也具有一定的周期性,所以我們有必要對往年的高考真題進行變式探究和深入研究.

4.3 數學思想方法的滲透

圓的很多性質(比如圓周角定理、垂徑定理等)都可以類比到橢圓,從而得到一些新的性質. 高考命題人往往也是從這個角度來命制試題,所以在平時的教學中,教師有必要進行拓展,把圓的性質類比到橢圓來研究.又比如,也可以把平面幾何的一些性質類比到空間幾何,這需要教師在日常的教學中進行滲透.

4.4 數學運算核心素養的培養

很多學生對解析幾何綜合題“望而卻步”,原因是其運算量太復雜.要提高學生的運算能力,需要教師在日常教學中做到以下三點:一是總結一些可以簡化運算的思想方法,如設線優化、點差法、換元法、對偶法等;二是要給學生充足的時間,讓學生親自動手作運算;三是教師要當面指點學生,指出其運算出錯的地方或者處理不當之處. 如此,學生的運算能力才會越來越好,最終達到培養學生數學運算核心素養的目標.