導數與三角函數的精彩交匯

高詠詠

(克拉瑪依市高級中學,新疆 克拉瑪依 834000)

筆者在一輪復習的教學中,梳理近些年高考試題,發現利用導數解決三角函數的交匯命題很多,而學生面對此類問題常因方法不當,或運算過程繁雜,導致雖做對但耗時太多,或做錯丟分,成績不理想.在高考復習備考中遇到此類問題時,如何幫助學生能夠準確、快速、高效地解答呢? 筆者通過梳理,現將該類問題整理成文,與讀者交流,以期拋磚引玉[1].

1 命題點一 利用導數研究三角函數的性質

三角函數的性質主要包含周期性、單調性、奇偶性等,解題時要能夠充函數與0的大小來研究函數的性質[2]

C.若f(x)在區間[a,b]上遞增,則b-a的最大值為π

D.f(x)有且僅有三個零點

點評本題結合三角恒等變換將三角函數進行化簡,考查三角函數的單調性,對稱性,零點、最值和極值等,需要考生熟練掌握三角恒等變換的變形公式,通過求導,分析出f(x)的單調性,可判斷AC,計算f(x)+f(π-x),可判斷B,結合f(x)的單調性、奇偶性和極值符號可判斷D.

2 命題點二 利用導數研究三角函數的零點

利用導數研究三角函數的零點問題,經常設計已知零點個數求參數的取值范圍或以三角函數為載體,證明所給函數的零點個數.

例2(2023寧夏銀川二中統測)設函數f(x)=aex+cosx,其中a∈R.

(1)若a=1,證明:當x>0時,f(x)>2;

(2)若f(x)在區間[0,π]內有兩個不同的零點,求a的取值范圍.

解析(1)f′(x)=ex-sinx,由x>0,得ex>1,sinx∈[-1,1],則f′(x)=ex-sinx>0,即f(x)在(0,+∞)上為增函數.故f(x)>f(0)=2,即f(x)>2.

點評函數的零點問題,解題策略是轉化為兩個函數圖象的交點,三種方式中(一平一曲、一斜一曲、兩曲)最為常見的是一平一曲.方法一是直接考慮函數f(x)的圖象與x軸的交點情況,方法二是分離參數法,兩種方法的本質都是一平一曲.另外,我們對某些函數或許可以通過換元,來降低函數的解決難度.

3 命題點三 利用導數研究三角函數的最值

利用導數研究三角函數的最值問題,關鍵在于能夠正確判斷出所給三角函數的單調性.

例3 (2023陜西安康模擬)函數f(x)=(1-cosx)sinx的最大值為____.

解析因為f(x)=(1-cosx)sinx,

所以f2(x)=(1-cosx)2sin2x=(1-2cosx+cos2x)(1-cos2x)=-cos4x+2cos3x-2cosx+1,

令t=cosx(-1≤t≤1),g(t)=f2(x),則g(t)=-t4+2t3-2t+1(-1≤t≤1),

所以g′(t)=-4t3+6t2-2=-2(t-1)2(2t+1),

點評該解法巧妙地利用換元法將三角函數問題轉化成了冪函數問題,通過利用導數研究函數的單調性求出最值[3].

4 命題點四 利用導數研究三角不等式恒成立問題

利用導數研究三角函數不等式恒成立問題要區別于能成立問題,要能夠將恒成立問題進行合理轉化.

得sinx>kx-1.

點評(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ為實參數)對任意的x∈D恒成立,求參數λ的取值范圍．利用導數解決此類問題可以運用分離參數法．

(2)如果無法分離參數,可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問題,可以考慮二次項系數與判別式的方法(a>0,Δ<0或a<0,Δ<0)求解.

三角函數與導數是中學數學中兩個重點內容,考查的分值比例和上課課時數量都相對較高,因此兩者的交匯命題會是高考命題的趨勢.因此,在高考備課中,要深入研究三角函數的相關性質,準確把握導數與三角函數的命題題型,進行針對性訓練.