以拐點為背景的高考模擬題

倪其圣

(睢寧縣菁華高級中學,江蘇 睢寧 221200)

縱觀近些年的高考題和各級各類模擬題,不難發現關于拐點問題的討論越來越多,且試題難度較大.文章基于這一現狀,介紹拐點的基本知識和相關結論,并舉例介紹相關解題方法,以期拋磚引玉.

1 預備知識

定義設曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線,且在切點近旁,曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的,這時稱點(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點[1].

比如,順著x軸的正方向看,在x=0附近,f(x)=x3圖象從凹變為凸,函數f(x)=sinx的圖象從凸變為凹,所以(0,0)是它們的拐點[2].

定理1 若函數f(x)在x0二階可導,且(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點,則f″(x0)=0.

性質1 三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的點正好是其圖象的對稱中心.

性質2 若一直線經過三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的拐點并與其圖象交于A,B兩點,則曲線y=f(x)在A,B處的切線的斜率相等.

2 模擬試題及其背景分析

例1已知函數f(x)=2lnx+x2+x,若正實數x1,x2滿足f(x1)+f(x2)=4,求證:x1+x2≥2.

點評通過高觀點引路,可看清問題的本質,從而得到好的解法,大大簡化運算.

例2已知直線x-9y-8=0與曲線C:y=x3-px2+3x相交于A,B,且曲線在A,B處的切線平行,則實數p的值為( ).

A.4 B.4或-3 C.-3或-1 D.-3

將拐點代入直線x-9y-8=0,得p3-13p-12=0,解得:p=-1,-3或4,下同解法1.

背景分析若直接運算,運算量相當大. 但如果我們通過高觀點提煉出問題的本質,就容易多了. 根據三次函數在A,B處的切線平行,結合性質2可知,直線必過三次函數的拐點. 所以只需求出三次函數的拐點,代入直線即可.

(1)討論函數f(x)的極值點的個數;

(2)若函數f(x)有兩個極值點x1,x2,證明:f(x1)+f(x2)>2a-3.

當a≤1時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調遞減,此時f(x)無極值點.

易證,當x>1時,ex>2x,所以a>1時,f′(ea)=2a-ea<0.

當x∈(0,x1)時,f(x)單調遞減;當x∈(x1,x2)時,f(x)單調遞增;當x∈(x2,+∞)時,f(x)單調遞減.

所以f(x)在x=x1處取得極小值,在x=x2處取得極大值.

綜上所述,當a≤1時,f(x)無極值點;當a>1時,f(x)有兩個極值點.

(2)當a>1時,f(x)有兩個極值點x1,x2,且滿足01.

先證f(x2)>f(2-x1).

因為當x∈(1,x2)時,f(x)單調遞增;當x∈(x2,+∞)時,f(x)單調遞減,所以f(x2)為(1,+∞)內的最大值,即f(x2)>f(2-x1).

所以,要證f(x1)+f(x2)>2a-3,只需證f(x1)+f(2-x1)>2a-3.

又g′(1)=0,所以x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)=f(x)+f(2-x)在(0,1)上單調遞減.所以x∈(0,1)時,g(x)>g(1)=2f(1)=2a-3.

因此f(x1)+f(x2)>f(x1)+f(2-x1)=g(x1)=2a-3.

(1)求實數a的取值范圍;

(2)求證:f(x1)+f(x2)>2.

解(1)實數a的取值范圍是a∈(1,+∞).過程略.

(2)由(1)知x1,x2為f′(x)=0的兩個實根,x1<0

下面先證x1<-x2<0,只需證f′(-x2)

因為f(x)在(x1,0)上也單調遞減,所以f(x1)>f(-x2).

設m(x)=ex+e-x-x2-2,x∈(0,+∞),則m′(x)=ex-e-x-2x.而m″(x)=ex+e-x-2>0,所以m′(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以m′(x)>m′(0)=0,從而m(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以m(x)>m(0)=0.

背景分析由f″(x)=ex-1=0,得x=0,故函數f(x)的拐點是(0,1),可知本題的高數背景是拐點偏移問題,即:已知x1+x2<0,求證f(x1)+f(x2)>2f(1).

設函數f(x)的拐點為(n,f(n)),則拐點偏移問題可大致分為以下兩類:

①已知f(x1)+f(x2)=2f(n),求證x1+x2>2n或x1+x2<2n.

②已知x1+x2>2n或x1+x2<2n,求證f(x1)+f(x2)>2f(n)或f(x1)+f(x2)<2f(n).

如何取突破這一類拐點偏移問題呢?我們抓住兩條主線即可:一是“減元”思想;二是“構造函數”,利用函數的單調性.事實上,對于拐點問題,我們也可以從圖象直觀的角度予以分析,弄清命題原理,對命題與解題兩方面思考[3],這樣可以大大提高解題效率.