應用“齊次化”思想解題分類解析

錢怡潔

(張家港市第二中學,江蘇 張家港 215600)

數學中的齊次式是指一個多項式或者分式中各單項式的次數均相同的式子.初中數學中的許多乘法公式比如平方差公式、完全平方公式及勾股定理等都是典型的齊次式,它們體現了數學的結構之美和對稱之美.對于一些非“齊次”的問題轉化為“齊次”問題來處理,這就是數學解題中的“齊次化思想”[1].運用“齊次化”思想解題,可以迅速尋找到解題的思路,將問題化繁為簡、化難為易,從而使問題得以圓滿地解答.下面舉例分類解析“齊次化”思想在解題中的應用.

1 在整式問題中的應用

例1 (2022年江蘇省南通市中考10)已知實數m、n滿足m2+n2=2+mn,則(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)的最大值為( ).

分析已知等式是非齊次式,目標式是“齊二次”多項式,首先分別將已知式代入完全平方和公式與完全平方差公式,利用非負性求出mn的范圍,然后將目標式展開并將已知式代入得到關于mn的式子求解.

解因為(m+n)2=m2+n2+2mn,

將m2+n2=2+mn

代入得(m+n)2=2+mn+2mn=2+3mn.

因為(m-n)2=m2+n2-2mn,

將m2+n2=2+mn

代入得(m-n)2=2+mn-2mn=2-mn.

由(m-n)2≥0,得2-mn≥0,解得mn≤2,

當m-n=0時,取等號.

故選B.

點評本題充分利用完全平方公式及目標式的“齊次化”解答,考查了完全平方公式、整式的乘法等知識,是“齊次化”思想應用的典型考題.

2 在分式問題中的應用

例2 (第13屆“五羊杯”初中數學競賽初三試題2)如果

分析已知給出的是“齊一次”連等整式,所求的是“齊一次”分式,將已知連等式引進參數,然后解方程組分別用參數表示a,b,c,最后代入所求式整體約去參數即可.

點評本題若由已知連等式轉換得到的三元一次方程組分別求出a,b,c的值后,代入所求式求值,計算較繁,而這里應用“齊次化”思想求解則比較簡捷.

分析所求式是一個“齊二次”分式,根據已知等式運用非負數的性質和兩邊夾法則求出a的值,代回已知等式后求出變量x,y的關系,最后利用“齊次化”思想求解.

從而得a=0.

將所求式的分子、分母都除以y2,得所以

故選B.

3 在方程問題中的應用

點評本題考查一元二次方程根與系數的關系及“齊次化”思想的解題應用.

4 在幾何問題中的應用

圖1 例5題圖

解設FC=m,AF=n,因為Rt△AFB∽Rt△ABC,所以AB2=AF·AC.

又因為FC=DC=AB,

所以m2=n(n+m),

又Rt△AFE∽Rt△CFB,

點評本題通過引入參數,運用“齊次化”思想求解幾何問題,體現了“齊次化”思想應用的廣泛性.

5 在解直角三角形問題中的應用

例6(2022年江蘇省揚州市中考18)如圖2,在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊,若b2=ac,則sinA的值為____.

分析條件等式是關于三角形三邊的“齊二次”關系,運用“齊次化”思想和直角三角形中銳角三角函數的定義解答.

解如圖2所示,在△ABC中,∠C=90°,所以由勾股定理得c2=a2+b2,所以b2=c2-a2.

圖2 例6題圖

點評本題考查“齊次化”思想及勾股定理和銳角三角函數的定義在解題中的應用.