基于高考題探究高中數學解題技巧教學
——以數列題為例

楊紅利

(江蘇省如皋市長江高級中學,江蘇 如皋 226500)

數列是指按照一定規律排列的一系列數的集合,是高中階段的一個重要內容,同時也是高考必考內容之一.該類題在解答題、選擇題和填空題均會有所呈現[1].主要考查以下幾個方面:(1)考查等差數列和等比數列的基礎知識、數列的單調性及周期性等;(2)考查通過已知條件求數列的通項公式;(3)考查在解決數列的基本問題之后,考查數列求和方法,在此基礎上,進一步考查“裂項相消法”“錯位相減法”等方法.在求和之后,可能會與不等式、函數、最值等問題進行綜合.注意當與不等式結合時,“放縮”思想及方法尤為重要;(4)考查“新數列”是等差或等比數列的證明方法,并求出通項公式[2].

1 求數列的通項公式

求數列通項公式主要以考查由遞推公式求通項公式,或已知前n項和求通項,或已知前n項和與第n項的關系式求通項為重點,特別是數列前n項和Sn與an關系的應用.該類題難度中等,常常出現在選擇題、填空題以及解答題的第(1)小問中.

1.1 公式法

若能夠根據題目中的已知信息,推出數列{an}是一個等差或者等比數列,則可以根據通項公式an=a1+(n-1)d或an=a1qn-1進行求解.

例1(2019全國1理9)Sn是等差數列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則( ).

A．a>0,b>0 B．a>0,b>0

C．a>0,b>0 D．a>0,b>0,

解析由題意可知,{an}是一個等差數列,則可以根據公式法進行求解.設等差數列{an}的公差為a>0,b>0,由a>0,b>0,得a>0,b>0,解得a>0,b>0,所以a>0,b>0,故答案為A.

1.2 Sn與an的關系式法

若已知數列{an} 的前n項和Sn與通項an的關系式,求an時,可以運用該方法求解.做題步驟為由Sn與an的關系式,類比出Sn-1與an-1的關系式,然后兩式作差.要注意分n=1和n≥2兩種情況進行討論,一定要檢驗n=1是否也適合an.

1.3 累加法

當數列{an}中有an-an-1=f(n),即第n項與第n-1項的差是個有“規律”的數時,就可以用這種方法.解題步驟為首先寫出所有項式子,而后等式的左右兩邊進行相加,最終運算求出通項公式.

例3已知a1=0,an+1=an+2(n-1),求通項an.

解析∵an+1-an=2n-1

∴a2-a1=1,a3-a2=3 ,a4-a3=5…

an-an-1=2n-3 (n≥2)

以上各式相加得an-a1=1+3+5+7+…+(2n-3)=(n-1)2(n≥2)

又a1=0,所以an=(n-1)2(n≥2),而a1=0也適合上式,

∴an=(n-1)2(n∈N*)

2 數列求和

高考數列求和部分重點考查裂項相消法和錯位相減法,多為解答題第二問,難度為中檔.

2.1 利用常用求和公式求和

該方法比較簡單,根據等比數列或者等差數列的求和公式進行運算即可.

解析設等差數列Sn的公差為Sn,則由Sn,Sn可得,Sn,Sn.

2.2 裂項法求和

裂項相消法就是將數列{an}的每一項進行分解,使相加后項與項之間能夠相互抵消,但在抵消的過程中,有的是依次項抵消,有的則是間隔項抵消.其可以細分為以下幾種:

表1 裂項相消常用公式

2.3 錯位相減法求和

如果數列{an}是等差數列,{bn}是等比數列,求數列{anbn}的前n項和時,常采用錯位相減法.做法為在等式兩邊同時乘以等比數列的公比,然后將Sn和qSn兩式相減.

例6(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)設數列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n．(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;(2)求數列{2nan}的前n項和Sn．

解析(1)由題意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由數列{an}的前三項可猜想數列{an}是以3為首項,2為公差的等差數列,即an=2n+1,證明如下:當n=1時,a1=3成立;假設n=k時,ak=2k+1成立．那么n=k+1時,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立．則對任意的n∈N*,都有an=2n+1成立;

(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②

2.4 分組法求和

就是將數列的項分成幾項,將這幾項分別求和,然后再合并,從而得到該數列的和.例如當一個數列可寫成cn=an±bn的形式,而數列{an},{bn}其中一個是等差數列,另一個是等比數列時,那么可用分組求和法.另外,如果一個數列可寫成cn={an,n為奇數;bn,n為偶數}的形式,也可以使用該方法.

例7(2016年全國II)Sn為等差數列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28．記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數,如[0.9]=0,[lg99]=1．

(1)求b1,b11,b101;

(2)求數列{bn}的前1 000項和．

(2)記{bn}的前n項和為Tn,則T1 000=b1+b2+…+b1 000=[lga1]+[lga2]+…+[lga1 000]．

當0≤lgan<1時,n=1,2,…,9;

當1≤lgan<2時,n=10,11,…,99;

當2≤lgan<3時,n=100,101,…,999;

當lgan=3時,n=1 000．

∴T1 000=0×9+1×90+2×900+3×1=1 893.

3 數列與二次函數

通項公式、前n項和公式都是關于正整數的函數,要善于從函數的觀點認識和理解數列問題.在高考中,經常將函數與數列的最值以及數列的取值范圍結合起來進行考查.在求解時,考生很容易忽視n為正整數的特點,或即使考慮了n為正整數,但對于n取何值時,能夠取到最值求解出錯.在關于正整數n的二次函數中其取最值的點要根據正整數距離二次函數的對稱軸遠近而定.

(1)證明:{an}是等差數列;

(2)若a4,a7,a9成等比數列,求Sn的最小值．

得2Sn+n2=2ann+n,①

所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),②

②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化簡得an+1-an=1,所以數列{an}是公差為1的等差數列．

通過對高考數列題的深入研究和探討,我們可以發現數列題的解題技巧和方法并不是固定的,而是需要根據題目的具體情況來靈活運用.因此,在教學中,教師應該注重培養學生的數學思維能力和解題策略,幫助學生理解數列的概念和性質,并掌握數列題的常用解題方法.同時,學生也應該注重平時的練習和積累,不斷鞏固和提高自身的解題能力.