例談“蒙日圓”考查的三個角度

金 毅

(呼和浩特市第二中學,內蒙古 呼和浩特 010000)

“蒙日圓”是一種非常重要的幾何模型,在高考和數學競賽中均有考查.本文從蒙日圓的軌跡方程出發,給出與蒙日圓有關的數學問題,以求多方面展示“蒙日圓”的考查特點,以便我們從不同的角度了解這種軌跡.

1 “蒙日圓”與軌跡

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線互相垂直,求點P的軌跡方程.

思考1 對例1一般化結論的探討.

化簡,可得s2+t2=a2+b2.

點評求“蒙日圓”的方程本質上屬于解析幾何中的軌跡方程問題.從結論1與結論2可以看出,橢圓與雙曲線都存在對應的一個蒙日圓.從方程的形式上看,兩種曲線的蒙日圓方程有較強的相似性.本文的證明方法是基于對斜率的構造,所以追求方程在未知數上的次數相等,便于構造斜率.值得一提的是,在證明結論2的過程中,兩條切線AP,BP斜率一直存在,故不必討論斜率不存在的情形.

2 “蒙日圓”與斜率

(1)求橢圓C的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程;

(2)過“蒙日圓”E上的任意一點M作橢圓C的一條切線MA,A為切點,延長MA與“蒙日圓”E交于點D,O為坐標原點,若直線OM,OD的斜率存在,且分別設為k1,k2,證明:k1k2為定值.

思考2 對例2一般化結論的探討.

事實上,根據橢圓本身的特點,我們可以得到基于結論3的一個推廣.

結論4 在結論3基礎上,當OA,MA斜率均存在時,k1k2=kOAkMA.

類似結論3,4的情況也在雙曲線中成立.

3 “蒙日圓”與面積

(1)求橢圓C的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程;

(2)若斜率為1的直線l與“蒙日圓”E相交于A,B兩點,且與橢圓C相切,O為坐標原點,求△OAB的面積.

思考3對例3一般化結論的探討.

回到例3,易得a2=3,b2=1,代入結論6,可得面積為2.

類似結論在雙曲線中也成立.

(a2k2-b2)x2+2a2kmx+a2m2+a2b2=0.

點評與蒙日圓有關的面積問題的處理可以與垂徑定理、勾股定理相結合,充分利用圓本身的特征解決面積問題,這樣的計算方式會極大減少運算量,在較短時間內得到準確的結果.從結果中可以看出這類三角形的面積由橢圓和雙曲線的參數以及AB的斜率決定.

“蒙日圓”是一種重要的幾何模型,我們通過對軌跡、斜率、面積三個方面的分析,從不同的角度了解了這種曲線,增加了對模型的認識.同樣的模型,不同的角度,可以提出不同的數學問題.不同角度的數學問題可以使幾何模型的學習變得更豐富、更形象、更生動.在不同的數學問題中,蘊含著不同的處理策略與計算方法,經過一番學習與討論,可以在方法的選擇上增加經驗,深刻體會模型本身所體現的數學本質.