惠更斯問題的三種解法及物理背景

王慧嫻

(江蘇省啟東市東南中學,江蘇 啟東 226200)

多元函數最值問題是數學競賽中的難點,它的解題思路靈活,解題方法新穎,學生不易掌握.惠更斯問題就是經典的多元函數最值問題.本文以惠更斯問題為例,從AM-GM不等式、指數變換和局部變動法等角度,給出惠更斯問題的三種解法,并介紹其物理背景.

1 惠更斯問題

2 三種解法

思路1利用AM-GM不等式.

兩個不等式相加,得

(1+b1)(1+b2)…(1+bn)

①

當且僅當b1=b2=…=bn時等號成立[1].

由不等式①,得

思路2指數變換.

解法2令bi=exi(i=1,2,…,n),由不等式①,得到

②

當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立.

f=a(1+eθ1)(1+eθ2)…(1+eθn)(1+eθn+1),

由不等式②,得

f=a(1+eθ1)(1+eθ2)…(1+eθn)(1+eθn+1)

同解法1知,此時

點評已知xi>0(i=1,2,…,n),且x1x2…xn=M,求函數f(x1,x2,…,xn)的最值.這時,我們可以利用指數變換,令xi=eθi(i=1,2,…,n),則問題轉化為,在限制條件“θ1+θ2+…+θn=lnM”下,求函數f(eθ1,eθ2,…,eθn)的最值.然后利用函數f(ex)的凹凸性或不等式②,問題可得到解決.

思路3局部變動原則.

解法3u作為n元函數,其定義域為n維立體[a,b]n,因此利用有界閉集上的連續函數必有最小值,可見最大值點是存在的.

用同樣的方法可得到,當u達到最大值時有

由此得到

設上式的比值為q,則

點評局部變動模式是一種讓某一因素變動而其余因素暫時固定,從而由局部到整體解決問題的模式.局部變動原則為:如果多變量X,Y,Z,…的函數f(X,Y,Z,…)在X=A,Y=B,Z=C,…處達到最大值,那么單變量的函數f(X,B,C,…)在X=A處,雙變量X,Y的函數f(X,Y,C,…)在X=A,Y=B處,等等,也達到最大值.

3 物理背景

惠更斯問題源于一個有趣的力學問題,問題的解可歸結為求解n元函數的最大值問題.惠更斯(Huygens)提出的問題如下:

根據在封閉力學系統中的能量與動量守恒原理,經過不太復雜的計算可以證明:兩個質量為m1與m2,初速度為v1與v2的絕對彈性的球發生對心完全彈性碰撞以后,它們的速度(速度方向沿著兩球中心的連線)由下面的式子確定:

③

由此看出,若0≤m≤M,則V≤v≤2V.

用什么方法可以把大質量物體的較多的動能轉移到質量小的物體呢?例如,可以在小質量球與大質量球之間放入具有中間質量m

這個問題由惠更斯提出,故也稱為惠更斯問題.

按照公式③,小球獲得的速度v可表示為變量m1,m2,…,mn的函數:

據此,可抽象出純數學味的惠更斯問題如下.

從對惠更斯問題的一題多解中,可以獲得求解多元函數最值問題的一般方法,比如AM-GM不等式、指數變換、局部變動原則等.最后分析惠更斯問題的物理背景,實現從物理問題到數學問題的過渡,體現了數學建模、數學抽象的核心素養以及“跨學科”教學理念.