一道全國高中數學競賽題的多種解法

李智清 馬 瑜

(玉溪師范學院,云南 玉溪 653100)

全國高中數學聯合競賽是中國高中數學學科較高等級的競賽,旨在培養高中學生對數學學習的興趣,獲得學習數學的樂趣,并能不斷開拓學生的思維和激發學生的鉆研精神.同時,在探索求解的過程中,從不同角度出發思考問題、分析問題和解決問題,體驗一題多解的妙趣.

1 問題呈現

問題如圖1所示,在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠BAD,在CD上取一點E,BE與AC相交于點F,延長DF交BC于點G.求證:∠GAC=∠EAC.

2 問題解析

2.1 利用梅涅勞斯定理

分析通過讀圖發現,B,F,E三點共線,且直線BFE是△DCG的截線,再由題可知∠BAC=∠DAC.本題要證明∠GAC=∠EAC.而∠GAC=∠BAC-∠BAG,∠EAC=∠DAC-∠DAE,因此,可以對直線BFE和△DCG利用第二角元形式的梅涅勞斯定理.同理,D,F,G三點共線,且直線DFG截△BCE,也可以對直線DFG和△BCE使用第二角元形式的梅涅勞斯定理[1].

證明如圖1,直線BFE是△DCG的截線,由第二角元形式的梅涅勞斯定理可得:

圖1 梅涅勞斯定理圖

因為AC平分∠BAD,所以∠DAC=∠CAB.

亦即(sin∠BAC·cos∠GAC-cos∠BAC·sin∠GAC)sin∠CAE=(sin∠DAC·cos∠CAE-cos∠DAC·sin∠CAE)sin∠GAC.

化簡后,可得cot∠GAC=cot∠EAC.

又∠GAC和∠EAC均是銳角,

故∠GAC=∠EAC.

2.2 利用塞瓦定理

分析通過讀圖發現,AC,BE,DG三條線段交于點F,且∠BAC=∠DAC,要證明∠GAC=∠EAC.而∠GAC=∠BAC-∠BAG,∠EAC=∠DAC-∠DAE,因此,連接BD,對點F及△BCD利用第二角元形式的塞瓦定理.同理,對點C及△BFD利用第二角元形式的塞瓦定理也是可行的.

證明如圖2所示,連接BD交AC于點H,對點F及△BCD應用第二角元形式的塞瓦定理可得:

圖2 梅涅勞斯定理圖

因為AC平分∠BAD,所以∠DAH=∠HAB.

亦即:(sin∠BAC·cos∠GAC-cos∠BAC·sin∠GAC)sin∠CAE(sin∠DAC·cos∠CAE-cos∠DAC·sin∠CAE)sin∠GAC.

化簡后,可得cot∠GAC=cot∠EAC.

又∠GAC和∠EAC均是銳角,

故∠GAC=∠EAC.

2.3 利用全等三角形的性質

分析求證兩個角相等的常用方法是利用全等三角形的性質.題中求證∠GAC=∠EAC,且這兩個角的AC邊是公共邊,就只需構造兩個全等三角形即可.

證明如圖3所示,連接BD交AC于點H,過點C作CK∥AB交AG的延長線于點K, 過點C作CL∥AD交AE的延長線于點L.

圖3 全等三角形圖

①

對點F及△BCD應用塞瓦定理可得:

②

因為CK∥AB,所以△ABG∽△KCG.

③

④

將①③④代入②中,可得:

即CL=CK,且∠KCA=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠LCA,在△ACK和△ACL中,有

所以△ACK≌△ACL.故∠GAC=∠EAC.

2.4 利用直角坐標系

證明如圖4所示建立直角坐標系,以A為原點,以AC所在直線為x軸,以垂直于線段AC的直線為y軸,設A(0,0),B(b,-kb),D(d,kd),C(c,0),F(f,0),其中,k為直線AD的斜率.

圖4 直角坐標系圖

即kAE=-kAG.故∠GAC=∠EAC.

2.5 利用解析幾何知識

證明如圖5所示建立直角坐標系,以A為原點,以AC所在直線為y軸,以垂直于AC的直線為x軸,設C(0,c),F(0,f),直線BC,CD,BE,DG的斜率分別為k1,k2,k3,k4,則直線BC的方程為y=k1x+c,即k1x-y+c=0.

圖5 解析幾何知識圖

直線CD的方程為k2x-y+c=0.

直線BE的方程為k3x-y+f=0.

直線DG的方程為k4x-y+f=0.

又由直線系知識可得,直線AB的方程為

(k1x-y+c)+λ1(k3x-y+f)=0.

即(k1+λ1k3)x-(1+λ1)y+(c+fλ1)=0.

直線AD的方程為

(k2+λ2k4)x-(1+λ2)y+(c+fλ2)=0.

直線AE的方程為

(k2+λ3k3)x-(1+λ3)y+(c+fλ3)=0.

直線AG的方程為

(k1+λ4k4)x-(1+λ4)y+(c+fλ4)=0.

又因為直線AB,AD,AE,AG都經過點A(0,0),

由∠BAC=∠CAD,得kAB+kAD=0.

所以∠GAC=∠EAC.

證明兩個角相等的方法多種多樣,常見的途經有:(1)利用全等三角形的性質;(2)利用等腰(邊)三角形的性質;(3)利用平行四邊形的性質;(4)利用等腰梯形的性質;(5)利用兩角的比例關系;(6)圓內相關定理,如:切線長定理、圓周角定理、弦切角定理、垂徑定理等;(7)利用解析法,可以建立直角坐標系;(8)利用三角函數進行計算.