構(gòu)造函數(shù)法在比較大小試題中的應用與思考

邱嘉怡

(華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東 廣州 510631)

縱觀近兩年的高考數(shù)學真題以及各地模擬試卷發(fā)現(xiàn),比較大小試題多次出現(xiàn)在選擇題中,且通常為7～12題的位置.這是一種命題的新特征,但本質(zhì)上此類題型考查的仍是構(gòu)造函數(shù)、求導以及導函數(shù)單調(diào)性的應用.研究如何運用構(gòu)造函數(shù)法解決比較大小問題,可以幫助學生掌握此類題型的基本求解思路以及解題關鍵.以高考真題及其變式為例進行問題的討論,能夠幫助學生擊破解題難點,充分抓住構(gòu)造函數(shù)的本質(zhì),加深利用導函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性方法的應用,并滲透相關數(shù)學思想方法.

1 數(shù)學問題分析

A.a

C.b

1.1 初步分析

觀察題目,涉及數(shù)值類比較大小問題,常用的解題方向為:插入中間值或通過同一函數(shù)的單調(diào)性進行比較.通過簡單計算a,b,c的大小可以發(fā)現(xiàn):

1=lne>ln1.012=a=2ln1.01>2ln1=0,

1>b=ln1.02>ln1=0,

a,b,c均介于0和1之間,因此無法通過插入中間值的方法進行比較.

其次,由于a,b均為以e為底的對數(shù)函數(shù),故可以考慮通過ex在(0,+∞)上的單調(diào)性比較a,b的大小,然后再分別比較c與a,b的關系即可.

1.2 解題關鍵

本題的解題難點在于如何比較c與a,b的大小.為此,通過觀察c與a,b之間的共性,構(gòu)造輔助函數(shù),并利用輔助函數(shù)的單調(diào)性進行大小的比較,正是解題的關鍵所在.而對于輔助函數(shù)的構(gòu)造,要點在于把握數(shù)值特點與結(jié)構(gòu)特征,通過對數(shù)字做適當變形,找出需比較的兩數(shù)之間具有共性的特殊值,將其視為新函數(shù)自變量的具體賦值,并基于兩數(shù)作差后的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)[1].

1.3 解答過程

由于a=2ln1.01=ln (1.01)2=ln (1+0.01)2=ln(1+2×0.01+0.012)>ln1.02=b, 因此只需分別比較c與a,b的大小即可.

由于a=2ln1.01=2ln(1+0.01),

記d(x)=2ln(1+x),則a=d(0.01);

且容易發(fā)現(xiàn),d(0)=0,h(0)=0.

由于1+4x-(1+x)2=2x-x2=x(2-x),

所以當0≤x≤2時,1+4x-(1+x)2≥0.

從而f′(x)≥0,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增.

故f(0.01)>f(0)=0.即d(0.01)>h(0.01).

從而a>c.

由于b=ln1.02=ln(1+2×0.01),

記p(x)=ln(1+2x),則b=p(0.01),p(0)=0.

由于1+4x-(1+2x)2=-4x2,

故當x≥0時,有1+4x-(1+2x)2≤0.

從而g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

故g(0.01)

從而b

綜上,b

2 解題方法討論

基于上述問題的分析與討論,可將比較大小問題的一般求解思路與涉及知識內(nèi)容整合成如圖1所示的知識框圖.

圖1 知識框圖

事實上,這類題型的求解重點與難點主要在于構(gòu)造函數(shù)法的運用.題干中的數(shù)值一般會涉及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等幾類常見的基本初等函數(shù).如何迅速發(fā)現(xiàn)數(shù)之間的共性,找出自變量x,并構(gòu)造出相應的輔助函數(shù),需要有一定的技巧性以及對數(shù)值特點與結(jié)構(gòu)的敏銳觀察.除此之外,會用導數(shù)或初等函數(shù)的單調(diào)性研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性也是解題關鍵.

3 變式訓練

解析由于2ln0.9=ln0.92=ln 0.81>ln0.8,

故a=-2ln0.9<-ln0.8=b.

因此只需分別比較c與a,b的大小即可.

由于a=-2ln0.9=-2ln(1-0.1),

記d(x)=-2ln(1-x),則a=d(0.1);

且容易發(fā)現(xiàn),d(0)=0,h(0)=0.

從而f(0.1)

接著, 由于b=-ln0.8=-ln(1-2×0.1),

記p(x)=-ln(1-2x),則b=p(0.1),p(0)=0.

從而g(0.1)

綜上,c

變式2 (2022年全國甲卷理科數(shù)學12)已知則( ).

A.a

綜上,a

構(gòu)造函數(shù)法的運用有助于學生發(fā)展良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).學生利用已有的數(shù)學知識經(jīng)驗,通過對問題情境的感受、領會、理解進行整合重組,構(gòu)造出一個新的數(shù)學對象——輔助函數(shù),并利用輔助函數(shù)實現(xiàn)對問題的轉(zhuǎn)化與表征,最后通過問題解決策略,對輔助函數(shù)單調(diào)性的研究實現(xiàn)問題解決.在這一問題解決的過程中,學生積累了新的數(shù)學知識與活動經(jīng)驗,從而使原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)得到豐富與發(fā)展.