緊抓問題條件形式 巧妙構造函數

付 洵

(贛東學院基礎教學部,江西 撫州 344100)

導數問題是高考試題中的重點和難點,其中與不等式的交匯問題更是考試的熱點內容,它的命題模式以抽象函數為基礎[1],對學生的思維能力要求較高.在求解時,要能夠通過所給條件的形式,選取合適的運算法則,適當構造函數[2],再根據所構造函數的單調性研究問題所給出的不等式問題.

1 根據f ′(x)±g′(x)構造函數

2 根據xf ′(x)±nf(x)構造函數

A．a

C．b>a>cD．a>b>c

又因為函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,

則a

3 根據f ′(x)±nf(x)構造函數

A．eaf(c)

C．ecf(1)eaf(b)

因為f′(x)>f(x),所以g′(x)>0.

因為c<1,所以g(1)>g(c).

所以ecf(1)>ef(c),C錯.

所以eaf(b)>ebf(a),D錯;

同理,g(a)>g(c),A對;g(b)>g(c),B錯.

4 根據f(x)±f ′(x)tanx構造函數

解析由題得f(x)cosx-f′(x)sinx<0.

因此g(x)在定義域上單調遞增.

代入函數得

故選D.

5 根據f(x)±f(-x)=g(x)構造函數

例5 設函數f(x)在R上存在導函數f′(x),對任意的實數x都有f(x)=f(-x)+2x,當x>0時,f′(x)>2x+1．若f(a+1)≥f(-a)+2a+1,則實數a的取值范圍是____．

解析因為f(x)=f(-x)+2x,

所以f(x)-x=f(-x)+x.

設g(x)=f(x)-x,則g(-x)=f(-x)+x.

故g(x)=g(-x).所以g(x)為偶函數.

因為g′(x)=f′(x)-1,且當x>0時,f′(x)>2x+1,所以g′(x)=f′(x)-1>2x>0.

所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增.

故g(x)在(-∞,0)上單調遞減.

因為f(a+1)≥f(-a)+2a+1,

所以f(a+1)-(a+1)≥f(-a)-(-a).

所以g(a+1)≥g(-a).

所以|(a+1)|≥|-a|.

點評由f(x)=f(-x)+2x,得f(x)-x=f(-x)+x,構造函數g(x)=f(x)-x,再整理出g(x)的單調性和奇偶性即可.一般地,若給出f(x)±f(-x)=g(x)可構造偶函數或奇函數.

6 根據所給比較大小的數值特點構造函數

例6 設a=2ln3π,b=3ln2π,c=3lnπ2,則( ).

A．a>c>bB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a

所以a>c>b．