偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計*

牛冰潔， 藍師義

廣西民族大學數學與物理學院，廣西 南寧 530006

隨機Loewner演變，簡稱SLE，是由Schramm（2000）研究環路消除游走與一致生成樹的尺度極限時引入的一類平面隨機曲線的連續增長過程.這個增長過程是由驅動項為一個時間改變的一維Brownian運動的經典Loewner 微分方程的解來描述.該SLE 過程與統計力學中很多離散統計模型的尺度極限密切相關.Smirnov（2001）證明了三角形格上的臨界滲流探索過程的尺度收斂于SLE6；Lawler et al.（2002b）猜測自回避游走尺度收斂于SLE83，Gwynne et al.（2021）證明了Liouville量子重力曲面上這個收斂性；Chelkak et al.（2012；2015）證明了Ising 模型尺度收斂于SLE3；Smirnov（2007；2010）證明了q= 2 的團簇模型尺度收斂于SLE163；Lawler et al.（2004）證明了環路消除游走尺度收斂于SLE2以及一致生成樹的Peano曲線尺度收斂于SLE8；以及Schramm et al.（2005；2009）證明了調和探索過程與離散高斯自由場分別尺度收斂于SLE4等.同時，SLE 使得Mandelbrot 關于Brownian 運動邊界的Hausdorff 維數的猜測（Lawler et al.，2001a）與平面Brownian 運動相交指數值的決定（Lawler et al.，2001b； Lawler et al.，2001c； Lawler et al.，2002a）等問題的解決是它最成功之一.SLE 具有多個不同的版本，其中最常見的有下面3 種類型：一是通弦SLE，其跡是單連通區域內從一個邊界點到另一個邊界點的一條隨機增長曲線；二是徑向SLE，其跡是從單連通區域的一個邊界點到該區域一個內點的一條隨機增長曲線；三是偶極SLE，其跡的演化是從單連通區域的一個邊界點到不包含該邊界點的一個邊界弧段.有關更多SLE 的基本理論與背景知識可參見（Kager et al.，2004； Lawler 2005； Marshall et al.，2005）.

對于上半平面內通弦SLEκ，基于它所滿足通弦Loewner 微分方程，Beffara（2008）已經導出了上半平面內通弦SLEκ跡與圓盤相交的概率表達式.本文將研究偶極SLEκ過程的相應問題，即偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計.很自然地，可以按照（Beffara，2008）的方法直接討論帶形區域內偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率問題，但這并不起作用，主要原因是利用帶形區域內偶極Loewner微分方程導致計算量太復雜.然而，我們發現若能先求出上半平面內偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計；然后，將帶形區域共形映射到上半平面上，由偶極SLEκ的共形不變性這個問題可以解決.本文的主要結果如下.

第一，導出上半平面內偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計，即：

定理1 固定0 <κ< 8，假設γ是上半平面H 內從1 到（-∞，0］的偶極SLEκ過程{ft(z)}的跡.令點z0∈H，α(z0) ∈( 0，π )是z0的幅角，則對所有ε > 0，當κ∈(0，8)時有下面表達式

這里B(z0，ε)表示以z0為圓心ε為半徑的圓盤；符號?表示每一邊都小于或等于某個常數乘以另一邊，它在下文的含義相同.

證明定理1 的方法是先給出上半平面偶極SLEκ過程所滿足的偶極Loewner 微分方程（見引理1），然后，基于該微分方程按照（Beffara，2008）的方法來討論.更具體地，對于0 <κ< 8，令{ }ft表示上半平面H內從1到（-∞，0］的一個偶極SLEκ過程，且它的殼Kt與跡γt的定義分別見文后的式(7)～(8).設z0為H內的某一個固定點，且δt為z0與殼Kt之間的歐氏距離.應用共形變換與Koebe 1/4定理得到δt的一個估計式.同時，把H Kt共形映射到單位圓盤內，且將直線R 上相關的驅動過程變換成單位圓周上的一個驅動過程其中αs為( )0，2π 內的一個擴散過程.對αs應用Girsanov變換并結合δt的估計式，可推出跡γ相交于圓盤的概率與αs在區間(0，2 )π 內存活概率是等價的，由后者的結果得到式(1)成立.

第二，給出帶形區域內偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計，即：

其中B(z0，ε)表示Sπ內以z0為圓心ε為半徑的圓盤；符號?的含義如同在定理1.

證明定理2的方法是通過共形映射將帶形區域內的偶極SLEκ變成上半平面內的偶極SLEκ.然后，根據偶極SLEκ的共形不變性由定理1 的結果，得到帶形區域內偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率表達式(2)成立.這將上平面內通弦SLEκ過程相應的概率估計推廣到了偶極SLEκ的情形.

值得指出，雖然證明定理1 與定理2 的方法類似于（Beffara，2008）的技術，但是，由于所考慮的方程和區域不同于（Beffara，2008），因此，所涉及的很多細節是不一樣的.

1 預備知識

簡要介紹本文涉及的通弦與偶極SLEκ的基本概念，更詳細的相關背景知識可參見（Bauer et al.，2005；Lawler，2005；Kemppainen，2017）等.

1.1 通弦SLEκ

上半平面內的通弦SLEκ：令H ?{z∈C ：Imz> 0}表示上半平面，這里C 是復平面.設κ> 0是一個實參數，Bt(0 ≤t< +∞)是實軸R 上從B0= 0 開始的一維標準Brownian 運動.對任意z∈Hˉ{0}，考慮Loewner微分方程

其中z從上半平面H內趨近于0.已經知道γ幾乎肯定是一條從原點到無窮遠點的連續路徑.

任意區域內的通弦SLEκ：假設D?C 是任意一個單連通區域，則Riemann 映射定理給出，存在一個共形映射?：D→H.設?t是Loewner方程(3)的解，初始條件為?0(z)=?(z)，z∈D，則過程{?t：t≥0}稱為在映射?下單連通區域D內的通弦SLEκ.易知?t=gt°?，其中gt是方程(3)的解.如果γt是過程{gt}的跡，則過程{?t}的跡是?-1(γt)，它是D內一條從D的一個邊界點到另一個邊界點的路徑.

1.2 偶極SLEκ

帶形區域內的偶極SLEκ：考慮帶形區域Sπ={z∈C ：0 < Imz< π}.則Sπ內的偶極SLEκ定義為下面偶極Loewner微分方程的解

已經知道，Sπ內偶極SLEκ的跡γt是從0到邊界Rπ的一簇隨機曲線.

注1 Beffara（2008）已經給出了通弦SLEκ跡與圓盤相交的概率表達式；在本文將討論偶極SLEκ跡與圓盤相交的概率估計（定理1與定理2）.

2 幾個引理

其中Bt如同前面是一個一維的標準Brownian運動.

證明 由Koebe 1/4定理可推出該引理成立，具體可參見推論3.19（Lawler，2005）.證畢

如同前面，設Bt是一個標準的Brownian 運動，Ft= σ{Bs：0 ≤s≤t}是由Brownian 運動產生的濾子.假設Mt是下面隨機微分方程的非負解：

并記λ為它的特征值.則這個擴散過程Xt在時間t之前不碰到邊界的概率為

符號?的含義如同前面.

3 相交概率估計

上半平面內通弦SLEκ跡與圓盤相交的概率表達式已經在（Beffara，2008）中給出.在這一節基于偶極Loewner微分方程(9)并結合引理1～4，首先給出了定理1的證明.其次，應用帶形區域Sπ與上半平面H 之間的共形變換，由偶極SLEκ共形不變性與定理1的結果，可以推出定理2成立.

將應用引理3 導出滿足方程(19)的αs與滿足方程(20)的αs具有相同分布.所以，下面只需考慮前者就足夠了.

事實上，根據方程(19)得

這結合式(25)與ω0的定義可推出式(2)成立.因此，完成了這個定理的證明.證畢